初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学.doc

1、第八讲 由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性 函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函

2、数解析式是研究函数的两大重要课题【例题求解】【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且APB为直角三角形，则点P的个数为 思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明APB的哪个角是直角，故应分别就A、B、C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求【例2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是

3、下列图象中的( ) 思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度(千米时) 途中费用(元千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机2001610002火车100420004汽车50810002 若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小

4、时，记A、B两市间的距离为x千米 (1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式 (2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小? 思路点拨 每种运输工具总支出费用途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由WlW20，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式【例4】 已知在菱形ABCD中，BAD60，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2，8) (1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系； (2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角

5、线交点为P问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由 思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断COy与CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型 【例5】 如图，已知在RtABC中，B90，BC4cm，AB8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQBC，且交AC于

6、点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y (1)当AP3cm时，求的值； (2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式； (3)当y=2cm2，试确定点P的位置(2001年天津市中考题)思路点拨 对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是： (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论； (2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情

7、形等思想方法学力训练1 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，OAB90，有直角三角形与RtABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 2在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标) 3根据指令S，A(S0，0A180)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令4，60，则机器人应移动到点 ；(2)请

8、你给机器人下一个指令 ，使其移动到点(一5，5) 4如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60，且点A的坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB，那么点B的横坐标为( ) A B C D 5一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A爸爸登山时，小军已走了50米 B爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C小军比爸爸晚到山顶 D爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快6若函

9、数的自变量的取值范围为一切实数，则的取值范围是( ) Aml Dm17如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与RtABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)8如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与(表示第个图形)的函数关系式；(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时的值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计

10、算说明为什么?9如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)10如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与轴的夹角为30，那么点B的坐标是 11如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 12在直角坐标系中，已知A(1，1)，在轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点

11、P共有( ) A1个 B2个 C 3个 D4个 13已知点P的坐标是(l，)，这里、是有理数，PA、PB分别是点P到轴和轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 14甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V2(ViV2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析其中横轴表示时间，纵轴表示路程，其中正确的图示分析为( ) A图(1) B图(1)或图(2) C图(3) D图(4) 15依法纳税是每个公民应尽的义务

12、中华人民共和国个人所得税法规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率()1不超过500元部分52超过500元至2000元部分103超过2000元至5000元部分15(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?(2)设表示每月收入(单位：元)，表示应交税款(单位：元)，当1300x2800时，请写出关于的函数关系式；(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元? 16如图，在ABC中，C90，AC3，

13、BC4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与ABC的直角边相交于E，设AD=，ADE的面积为，当点D在AB上移动时，求关于之间的函数关系式17现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元(1)设运送这批货物的总费用为万元，这列货车挂A型车厢节，试写出与之间的函数关系式； (2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安

14、排车厢的方案? (3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元? 18如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动 (1)设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含的代数式表示)；(2)设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由 参考答案9