初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理.doc

1、第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】 已知、是方程的两

2、个实数根，则代数式的值为 。 思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数，且，那么的值为( ) A、 B、或2 C、 D、或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根

3、、满足，求m的值及相应的、。 思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例5】 已知：四边形ABCD中，ABCD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。(1)当m2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。(2)若M、N分

4、别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ1，且ABBC)的长是关于的方程的两个根。(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一点，CFDE于F，求BE为何值时，CEF的面积是CED的面积的，请说明理由 16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。(1) 若，求m的值。 （2）求的最大值。17、如图，已知在ABC中，ACB=90，过C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。18、设、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。参考答案 7