Mathematica教程-2常用的数学函数课件.ppt

1、 常用的数学函数常用的数学函数 Mathematica里定义了许多数学函数，包括三角函数、指数对数函数、双曲函数和许多特殊函数。这些函数都可以用在表达式里。命名规则一般使用习惯的英文缩写，应该注意的是：应该注意的是：函数名都是由字符串表示，字符之间不能有空函数名都是由字符串表示，字符之间不能有空格格；函数名字的第一个第一个字母总是大写大写的，后面的字母是小写的，但如果名字是由几个段构成的（如A ArcS Sin），则每段的第一个字母都必须大写，这些是Mathematica内部函数取名的规则。再一点应当特别注意：函数的参数是用方括号方括号括起来的。如S Sin x 三角函数三角函数 ：Sinx，

2、Cosx，Tanx，Cotx 等等反三角函数反三角函数：ArcSinx，ArcCosx，ArcTanx等等双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 ：Sinhx Sinhx，Coshx Coshx，TanhxTanhx，ArcSinhxArcSinhx，ArcCoshxArcCoshx，ArcTanhxArcTanhx 指数函数指数函数ExEx（或（或ExpxExpx），指数函数），指数函数axax对数函数对数函数lnln x x用用LogxLogx，以，以a a为底的对数函数用为底的对数函数用Loga,xLoga,x平方根函数平方根函数 ：SqrtxSqrtx ，绝对值函数，绝对值函数 ：A

3、bsx Absx Maxx1,x1,:取取x1,x2,中的最大值中的最大值Minx1,x2,:取取x1,x2,中的最小值中的最小值Signx:符号函数（符号函数（x大于大于0时值为时值为1，小于，小于0时值为时值为-1）常用函数的命令格式 Roundx:最接近最接近x的整数的整数Floorx:不大于不大于x的最大整数的最大整数Ceilingx:不小于不小于x的最小整数的最小整数Absx:x的绝对值或复数的摸的绝对值或复数的摸 x+Iy:复数复数x+iy；Rez:复数复数z的实部的实部Imz:复数复数z的虚部；的虚部；Argz:复数复数z的幅角的幅角Divisorsn:能整除能整除n的所有整数组

4、成的表的所有整数组成的表Modm,n:m被被n除的正余数除的正余数Quotientm,n:m/n的整数部分的整数部分GCDn1,n2:求求n1,n1，的最大公因数的最大公因数LCMn1,n2:求求n1,n2，的最小公倍数的最小公倍数。Random:01之间的随机数之间的随机数RandomReal,xmax:0 xmax之间的随机数之间的随机数RandomReal,xmin,xmax:xminxmax之之间的随机数间的随机数N表达式，表达式，k-求表达式的近似值，求表达式的近似值，k为可选项，为可选项，它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精度为六位有效

5、数字精度为六位有效数字N!:n的阶乘的阶乘N!:n的双阶乘的双阶乘 在在MathematicaMathematica中，除使用系统提供中，除使用系统提供的函数外，也可自定义函数。定义一个不的函数外，也可自定义函数。定义一个不带附加条件的一元函数的规则是带附加条件的一元函数的规则是fx_:=fx_:=或或fx_=fx_=后面紧跟一个以后面紧跟一个以x x为变量的表达为变量的表达式，其中式，其中x_x_称为形式参数。如果需要给出称为形式参数。如果需要给出附加条件，可在表达式的后面通过附加条件，可在表达式的后面通过“/；”与表达式连接，即形式为：与表达式连接，即形式为：fx_fx_：=表达表达式式/

6、；条件。调用自定义函数；条件。调用自定义函数fx_fx_时，只时，只需用实在参数（变量或数值等）代替其中需用实在参数（变量或数值等）代替其中的形式参数即可。的形式参数即可。对于定义的函数我们可对于定义的函数我们可以使用命令以使用命令Clearf清除掉或用清除掉或用Removef从系统中删除该函数。从系统中删除该函数。自定义函数自定义函数函数的立即定义函数的立即定义 立即定义函数的语法如下fx_=expr函数名为f,自变量为x，expr是表达式。在执行时会把expr 中的x都换为f的自变量x(不是x_)。函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作用。函数执行结束后也就没有了，不会改变其它全局定义

7、的同名变量的值。例:定义函数定义函数f(x)=x*Sinx+x2,对定义的函数求函数值，并绘制它的图形。多变量函数的定义多变量函数的定义 也可以定义多个变量的函数，格式为fx_,y_,z_,=expr 自变量为x,y,z.,相应的expr中的自变量 会被替换。例如定义函数 f(x,y)=xy+ycosx 使用条件运算符定义和使用条件运算符定义和If命令定义命令定义函数函数 如果要定义如：可以使用条件运算符，基本格式为fx_:=expr/;condition 当condition条件满足时才把expr赋给f 当然使用If命令也可以定义上面的函数表表 将一些相互关联的元素放在一起，使它们成为一个整

8、体。既可以对整体操作，也可以对整体中的一个元素单独进行操作。在Mathematica中这样的数据结构就称作表（List）。表主要有三个用法：表a,b,c可以表示一个向量；表a,b,c,d可表示一个矩阵。建建 表表 在表中元素较少时，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符号表达式的列表 In2:=1+%x+x%Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2下面是对列表中的表达式对x求导 In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+2x In4:=%/.x-1 Out4=2,4,5 下面给出x乘i的值的表，i的变化范围为2,

9、6 In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=x2,x2,x2,x2 用Range函数生成一个序列数 In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 下面这个序列是以步长为2，范围从8到20 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20 如果表中的元素较多时，可以用建表函数进行建表 Tablef,i,min,max,step:以step为步长给出f的数值表，i由min变到max，Tablef,min,max:给出f的数值表，i由min变到max 步长

10、为1 Tablef,max:给出max个f的表Tablef,i,imin,imax,j,jmin,jmax,.:生成一个多维表 TableFormlist:以表格格式显示一个表 Rangen:生成一个1,2,.的列表Rangen1,n2,d:生成n1,n1+d,n1+d,.,n2的列表 表达式表达式 表达式的含义表达式的含义 Mathematica 能处理数学公式，表以及图形等多多种数据形式。尽管他们从形式上看起来不一样，但在Mathematica内部都被看成同种类型，即都把他们当作表达式的形式。Mathematica 中的表达式是由常量、变量、函数、命令、运算符和括号等组成，最典型的形式是f

11、x,y 表达式的表示形式表达式的表示形式 在显示表达式时，由于需要的不同，有时我们需要表达式的展开形式，有时又需要其因子乘积的形式。在我们计算过程中可能得到很复杂的表达式，这时我们又需要对它们进行化简。常用的处理这种情况的函数。Expandexpr:按幂次升高的顺序展开表达式Factorexpr :以因子乘积的形式表示表达式Simplifyexpr:进行最佳的代数运算，并给出表达式的最少项形式Apartexpr:将多项式为化为部分分式之和将多项式为化为部分分式之和表达式（x+y）4（x+y2）展开：还原上面的表达式为因子乘积的形式：多项式表达式的项数较多，比较复杂，在显示时显得比较杂乱，而且在

12、计算过程中没有必要知道全部的内容；或表达式的项很有规律，没有必要打印全部的表达式的结果，Mathematica 提供了一些命令，可将它缩短输出或不输出expr/Short:显示表达式的一行形式 Shortexpr,n:显示表达式的n行形式,命令后加一分号“；”不打印结果将表达式（1+x）30展开，并仅显示一行有代表项的式子：“%”称ditto运算符，有重复以前内容的意思。在计算过程中某次的计算可能要用到上次的计算结果,或者前几次的计算结果,就可用”%”符,用法如下:运算结果的读取-%运算符%读取上一个运算结果%读取上上一个运算结果%.%(n个个)读取前第n个运算结果%n或或Outn读取第n个运

13、算结果 置换运算符置换运算符“/.”“/.”代数式里的变量可以用某表达式替换，生成新的代数式里的变量可以用某表达式替换，生成新的代数式。也可以把代数式里的所有的变量用数值替代数式。也可以把代数式里的所有的变量用数值替换，得到此代数式的计算结果。替换的格式为：换，得到此代数式的计算结果。替换的格式为：expr/.xexpr/.x-x0-x0：表示将表达式里的变量：表示将表达式里的变量x x用用x0 x0代替。代替。expr/.xexpr/.x-x0,y-y0-x0,y-y0，：表示将代数式里的：表示将代数式里的变量变量 x,yx,y用用x0,y0,x0,y0,代替。代替。字符串字符串”/.”/.

14、”由一个除号和一个圆点符号组成由一个除号和一个圆点符号组成 字符串字符串”-”-”由一个减号和一个大于符号连成由一个减号和一个大于符号连成 关系表达式与逻辑表达式关系表达式与逻辑表达式 关系表达式是最简单的逻辑表达式，我们常用关系表达式表示一个判别条件。例如：x0,y=0。关系表达式的一般形式是：表达式关系算子表达式。其中表达式可为数字表达式、字符表达式或意义更广泛的表达式，如一个图形表达式等。在我们实际运用中，这儿的表达式常常是数字表达式或字符表达式。关系运算判断式说明A=B等于AB大于A=B大于等于AB小于Ay Out2=false下面是比较两个表达式的大小 In3:=32y+1 Out3

15、=True逻辑运算 四种主要逻辑运算：逻辑非、逻辑与、逻辑或、逻辑异或!p非运算P&q并运算P|q或运算Xore异或运算常用的符号常用的符号 (term)圆括号用于组合运算 fx 方括号用于函数 花括号用于列表 i 双括号用于排序%代表最后产生的结果%倒数第二次的算结果%（k）倒数第k次的计算结果%n 例出行Outn)的结果多项式的表示形式多项式的表示形式 多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。Expandploy 按幂次展开多项式ployExpandploy 全部展开多项式ployExpand

16、Allploy 全部展开多项式ploy Factorploy 对多项式poly 进行因式分解 FactorTermsploy，x,y,按变量 x,y,进行分解 Simplifypoly 把多项式化为最简形式 FullSimplifyploy 把多项式展开并化简Collectploy,x把多项式poly按x幂展开Collectpoly,x,y 把多项式poly按x,y.的幂次展开对x8-1 进行分解展开多项式（1+x）5 化简（2+x）4(1+x)4(3+x)3多项式的代数运算使用Cancel函数可以约去公因式 In8:=Cancel(2+3a+a2)/(1+a)Out8=2+a 两个多项式相除

17、，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式。两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加 Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返回商式和余式。方程及其根的表示方程及其根的表示 Mathematica把方程看作逻辑语句。在数学方程式表示为形如“x2-2x+1=0”的形式,在Mathematica中用“=”表示逻辑等号，则方程应表示为“x2-2x+1=0”。方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句。例

18、如用Roots求方程x2-3x+2的根显示为 用Solve 可得解集形式。求解一元代数方程求解一元代数方程 Solvelhs=rhs,vars:给出方程的解集 NSolvelhs=rhs,vars:直接给出方程的数值解集 Rootslhs=rhs,vars:求表达式的根 FindRootlhs=rhs,x,x0 以x=x0为初始值，求方程的解 当方程中有一些复杂的函数时，Solve 可能无法直接给出解来。此时可用FindRoot 来求解，例如：求例如：求3Cosx=logx的解的解 如果方程有几个不同的解，当给定不同的初始值时，会给出不同的解。如上例若求x=10附近的,则 因此确定解的起始位置

19、是比较关键，一种常用的方法是，先绘制图形观察后再解 如上例通过图形可断定在x=5附近有另一根求方程组的根求方程组的根 使用Solve和NSolve，FindRoot也可求方程组的解 求解 求方程的全解求方程的全解 求ax2+bx+c=0的根.我们用Solve函数解的结果是：这不大合理，因为对不同的a,b,c方程的解有不同的情况，而上面只是给出部分解。如果要解决这个问题可用Reduce命令，它可根据，a,b,c的取值给出全部值。解条件方程解条件方程 在作方程计算时，可以把一个方程看作你要处理的主要方程，而把其他方程作为必须满足的辅助条件，你将会发现这样处理很方便。譬如在求解像 这样的方程时，通常

20、我们采用 的代换方法使求解方程得到简化。在Mahematica中，我们通常是首先命名辅助条件组，然后用名字把辅助条件包含在你要用函数Solve 求解的方程组中。用Sc定义方程：，在这种条件下，求解方程。求和与求积求和与求积 在Mathematica中，数学上的和式符号用Sum表示，连乘 用Product表示。Sumf,i,imin,imax 求和 Sumf,i,imin,imax,di 以步长di增加i求和Sumf,i,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求和Productf,i,imain,imax 求积Product f,i,imin,imax,di 以步长di增加i求积Productf,I,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求积 Nsumf,i,imin,Infinity 求 近似值NProductf,i,imin,Infinity 求 近似值