《数学模型》第四版第二章初等模型共69页课件.ppt
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1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.4 实物交换实物交换2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.8 扬帆远航扬帆远航2.9 天气预报的评价天气预报的评价 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模
2、如果用初等和高等的方法建立的模型,其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型,其应用效果差不多,那么初等模型更高明,也更受欢迎差不多,那么初等模型更高明,也更受欢迎.初初 等等 模模 型型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量背景和问题背景和问题 20世纪世纪80年代出现激光唱片年代出现激光唱片(CD)与激光视盘与激光视盘(LD),统称统称光盘,用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等光盘,用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等.20世纪世纪90年代出现数字视频光盘年代出现数字视频光盘(DVD).21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体,带动
3、了出版、广播、通信、互联网等行业的发展带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展.CD的数据容量的数据容量:单层单层650MB(兆字节兆字节)DVD的数据容量的数据容量:单层单层4.7GB(千兆字节千兆字节)从数学建模的角度研究从数学建模的角度研究:光盘的数据容量是光盘的数据容量是怎么确定的,在一定条件下怎样使其最大化怎么确定的,在一定条件下怎样使其最大化.调查和分析调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道间距信道信道(螺旋线螺旋线)经过编码的数字信息,以经过编码的数字信息,以一定深度和宽度、不同长一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式,用烧蚀度的凹坑的形式,用烧蚀技术存储在光盘表面呈螺技
4、术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上旋线形状的信道上.当盘片上环形区域面积一定时,当盘片上环形区域面积一定时,数据容量数据容量的大小的大小取决于取决于信道的总长度信道的总长度与信道上存储数据的与信道上存储数据的线密度线密度.决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长激光的波长,和,和驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式.调查和分析调查和分析 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息,必须精确地聚焦所携带的信息,必须精确地聚焦.数据容量数据容量 激光波长激光波长 驱动形式驱动形式 信道长度信道长度
5、 线密度线密度激光波长激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.为了提高存储数据的线密度,应该使光斑尽量小,为了提高存储数据的线密度,应该使光斑尽量小,而光斑的大小与激光波长成正比而光斑的大小与激光波长成正比.激光器激光器激光波长激光波长(m)光斑直径光斑直径(m)信道间距信道间距(m)数据线密度数据线密度(字节(字节/mm)红外红外(CD)0.7821.6121红色红色(DVD)0.640.9250.74387蓝色蓝色(DVD)0.410.40.32800调查和分析调查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式每一圈
6、螺旋线上存储每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据各圈螺旋线上数据的线密度不变的线密度不变 容量取决于固定的线容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度密度和螺旋线总长度 恒定线速度恒定线速度(CLV)从光盘的容量比较,从光盘的容量比较,CLV优于优于CAV.数据读取时间数据读取时间:CLV每圈转速不同,当读出磁头在内外每圈转速不同,当读出磁头在内外圈移动时,需要等待光盘加速或减速,而圈移动时,需要等待光盘加速或减速,而CAV不需要不需要.对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息,多用
7、对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息,多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息,多用对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息,多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘R1光盘环形区域内圆半径光盘环形区域内圆半径,R2 外圆半径外圆半径,d 信道间距信道间距CLVCLVLCLCLV 信道总长度信道总长度 1CLV102()nkLRkd2121()()RRRRdd2221CLV()RRLd环形区域面积环形区域面积/信道间距信道间距 同心圆平均周长同心圆平均周长*总圈数总圈数 2121CLV22RR RRLd 数据容量数据容量线密度线密度,(n总
8、圈数总圈数)其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘螺旋线最内圈的长度近似为螺旋线最内圈的长度近似为2R1,总圈数可视为总圈数可视为dRR12 21CAV12RRLRd数据容量数据容量LCLV 信道总长度信道总长度 线密度线密度,CAVCAVLC当线密度当线密度、信道间距、信道间距d和外径和外径R2给定后,给定后,可选择可选择环形区域的内圆半径环形区域的内圆半径R1,使数据容量最大,使数据容量最大.模型求解模型求解 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度(mm)信息容量信息容量,(MB)影像时间影像时间(
9、min)红外红外(CD)0.785,611,17967918红色红色(DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色蓝色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm,R1=22.5 mm 2221CLV()RRLdCD信道长度在信道长度在5km以上,容量约以上,容量约680 MB;DVD容量在容量在GB量级量级.影像时间按照每秒钟占用影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算计算.模型求解模型求解 激光器激光器激光波长激光波长(m)信道长度信道长度 (mm)信息容量信息容量,(MB)影像时间影像时间(min)红外红外(CD)0.783,302,5994001
10、1红色红色(DVD)0.647,140,7552,76474蓝色蓝色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘21CAV12RRLRdCAVCAVLC222Rd即使在内圆半径的最佳选择下,即使在内圆半径的最佳选择下,CAV光盘光盘的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盘光盘.R1=R2/2时时LCA V最大最大 2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失玻璃窗相比,减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导,没有对流热
11、量传播只有传导,没有对流.T1,T2不变,热传导过程处于稳态不变,热传导过程处于稳态.材料均匀,热传导系数为常数材料均匀,热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系
12、数dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=48 10-3(J/cmskwh),k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计,作最保守的估计,取取k1/k2=16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取
13、 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,材料的单层玻璃窗相比,可减少可减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气的热传导系所以如此小,是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低,而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t(min)种类种类 1 2
14、 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg)桨桨手数手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇(单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人)4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系.试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛
15、艇的尺寸和质量l/b,w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m)(m)7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对
16、桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型.模型假设模型假设1)艇形状相同)艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正比成正比2)v是常数,阻力是常数,阻力 f与与 sv2成正比成正比符号:艇速符号:艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,桨手数桨手数 n,桨手功率桨手功率 p,桨手体重桨手体重 w,艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3)w相同,相同,p不变,不变,p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立
17、建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11.021.7ntnbatloglog线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验.与模型吻合!与模型吻合!tn12487.216.886.325.84O划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析,发现并提出问题对实际数据做比较、分析,发现并提出问题.利用物理基本
18、知识分析问题利用物理基本知识分析问题.模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙.利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度).模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合(巧合!巧合!)问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分商定相互交换一部分.研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量的数量.设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,作图:作
19、图:若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点的偏爱,则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案:甲占有都是一种交换方案:甲占有(x,y),乙占有,乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox02.4 实物交换实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度具有同样的满意程度,即即p1,p2对甲是无差别的对甲是无差别的.MN将将所有与所有与p1,p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来,得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点
20、的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲,在另一条无差别曲线线M1N1上上,于是形成一族无差别曲线(无数条)于是形成一族无差别曲线(无数条).yxp1.yxp2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质:无差别曲线族的性质:单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多,多,宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多,多,就要以较多的就要以较多的
21、 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度(f 等满意度曲线)等满意度曲线)甲的无差别曲线甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质(形状可以不同)相同性质(形状可以不同).双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系坐标系xOy,且反向)且反向)甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB(交换路径)上(交换路径)上!因为在因为在AB外
22、的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内任一点矩形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值,设用货币衡量其价值,设交换前交换前x0,y0价值相同,则等价值相同,则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a,Y单价单价
23、b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计城市生活污水的流量是时刻变化的城市生活污水的流量是时刻变化的,在净化处理在净化处理前需要先进入一个集中、储存的大池子,再通前需要先进入一个集中、储存的大池子,再通过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备.背景和问题背景和问题集中、储存、均衡调节流量的池子称为集中、储存、均衡调节流量的池子称为均流池均流池.根据污水的流量设计根据污水的流量设计均流池的容积均流池的容积及水泵和输水及水泵和输水管的规格;在一定条件下按照
24、施工成本最小的原管的规格;在一定条件下按照施工成本最小的原则确定则确定均流池的具体尺寸均流池的具体尺寸.调查和分析调查和分析除了节假日等特殊情况以外,生活污水进入均流池除了节假日等特殊情况以外,生活污水进入均流池的流量是的流量是以天为周期以天为周期变化的变化的.典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量(m3/s)时间时间(h)01234567流量流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369时间时间(h)89101112131415流量流量0.05140.06300.06850.06970.0
25、7250.07540.07610.0775时间时间(h)1617181920212223流量流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天污水一天进入均流池的平均流量进入均流池的平均流量(忽略蒸发等损失)(忽略蒸发等损失)=从均流池用水泵从均流池用水泵打入净化设备的恒定流量打入净化设备的恒定流量 由以小时为单位间隔的由以小时为单位间隔的污水流入量污水流入量和从均流池到净化设和从均流池到净化设备的备的恒定流出量恒定流出量,可得,可得均流池均流池中污水随时间变化中污水随时间变化的容量的容量.调查和分析调查和分析 均流池的容积应该按照污水
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