向量法求夹角-ppt课件.ppt
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1、1ppt课件abABCD设设异面异面直线直线a、b的夹角为的夹角为cos=AB,CDcos|=AB CDAB|CD|=AB,CD或或=AB,CD 利用两条直线的方向向量的夹角的利用两条直线的方向向量的夹角的余弦余弦的的绝对值绝对值为两直线的夹角的余弦而得。为两直线的夹角的余弦而得。1 1 求直线和直线所成的角求直线和直线所成的角2ppt课件例例1 正六棱柱正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F12的底面边长为的底面边长为1,侧棱长为侧棱长为,则这个则这个棱柱的侧面对角线棱柱的侧面对角线 E1D与与BC1所成的角是(所成的角是()C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90 B.60 C.4
2、5 D.30 (2002年全国高考)年全国高考)解法一:解法一:连结连结FE1、FD、BC1四边形四边形BFE1C1是是平行四边形平行四边形 FE1 BC1 FE1D是异面直线是异面直线E1D与与BC1所成的角或补角所成的角或补角底长为底长为1,棱长为棱长为231DE=FE13DF又 FDE1为等边三角形为等边三角形 FE1D=60 B3ppt课件解法解法2:建立如图所示的直角坐标系。:建立如图所示的直角坐标系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxy,0,23,23B,2,3,11C,0,3,0D.2,23,211EBC1,2,23,21DE1.2,23,21cos ,=BC1DE1BC1
3、 DE1|BC1|DE1|32321故故 ,BC1DE1=60 E1D与与BC1所成的角是所成的角是60故应选故应选 B4ppt课件一一 法向量法向量:如果一个如果一个向量向量所在所在直线直线垂直于垂直于平面平面,则,则该向量是平面的该向量是平面的一一个个法向量法向量。1 1 证明线面平行证明线面平行二二 法向量的主要作用法向量的主要作用取和直线取和直线平行平行的向量,验证该的向量,验证该向量向量和和法向量法向量的的点积点积是否为零。是否为零。a设平面设平面的法向量为的法向量为n,na 是是 a 的的方向方向向量向量.aa n=0a a5ppt课件例例1.如图如图,正方体正方体ABCDA1B1
4、C1D1中中,E是的是的BB1中点中点,求证求证:BD1平面平面A1C1 ECDBAB1C1D1A1EO法一:证明:法一:证明:连连B1D1交交A1C1于于O连连OEOD1=OB1B1E=BE OE BD1BD1 平面平面A1C1 EOE 平面平面A1C1 EBD1平面平面A1C1 E6ppt课件ECDC1D1BAA1B1zxy证法二:如图所示建立直角坐标系证法二:如图所示建立直角坐标系,且设且设正方体的棱长为正方体的棱长为2,D1(0,0,0),B(2,2,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B=(2,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2,0,1)设平面设
5、平面A1EC1的法向量为的法向量为n=(x,y,z)nA1E=2y+z=0nC1E=2x+z=0令令 x=1 时,时,z=2,y=1n=(1,1,2)D1B n=0 D1B nD1B 平面平面A1EC1 D1B 平面平面A1EC17ppt课件2 2 证明面面垂直证明面面垂直如图设如图设n1,n2 分别是平面分别是平面、的的法向量法向量n1n2n1 n2=0当当时时a a验证两个平面的验证两个平面的法向量法向量的的点积点积是否为零。是否为零。8ppt课件3、求直线和求直线和平面所平面所成的角成的角CBn设直线设直线BA与平面与平面的夹角为的夹角为,n 为平面为平面的的法向量法向量,Ag g1 1
6、n 与向量与向量BA 的夹角为锐角的夹角为锐角g g1 1当当12g=CBAng g2 2n 与向量与向量BA 的夹角为钝角的夹角为钝角g g2 2当当22g=9ppt课件BACOEF例例1 如图所示如图所示,已知正四面体已知正四面体OABC,E、F分别是分别是AB、OC的中点。的中点。(1)求求OE与与BF所成的角;所成的角;(2)求)求BF与平面与平面ABC所成的角。所成的角。分析分析:(1)设设OA=caOB=bOC=abc求出求出OE,BF,然后可求然后可求 cos OE,BFBFOE|OE|BF=(2)可过点可过点O作作OO平面平面ABCABC于点于点OO,O若若OO与与BF所成的角
7、为20,则,则BF与平面与平面ABC所成的角为所成的角为210ppt课件BACOEFabc解解:(1)设正四面体设正四面体OABC的棱长为的棱长为1,OA=caOB=bOC=则则a b =c b =a c21|=1a|=|=bcOE21(+)abBF21cbOE BF =21(+)ab()21cb21(21a c+21cb a b|2b)1214141212111ppt课件cos OE,BFBFOE|OE|BF=23232132OE与与BF所成的角为所成的角为32arccos2BACOEFabc12ppt课件(2)求)求BF与平面与平面ABC所成的角。所成的角。BACOEFabc(2)作作OO
8、平面平面ABCABC于点于点OO,设设OO与与BF所成的角为20,则则BF与平面与平面ABC所成的角为所成的角为2OOO=OC+COc=32CEc=32()OEOCc=21(+)ab32c31(+)abc+13ppt课件BACOEFabcO|2OO91(+)2abc+(+)91|a|2|b|2+|c|2+2a bc b+2+2a c339132|OO36cos =OO,BFBFOO|OO|BF=()21cb31(+)abc+2336cbbbaccbca222121213214ppt课件BACOEFabcOcbbbaccbca2221212132cos OO,BF2112121414132323
9、2arccos求求BF与平面与平面ABC所成的角所成的角32arccos232arcsin评析评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线,但需要正确利用向量讨论线面关系不需作辅助线,但需要正确设出空间向量的基底,再利用多面体的性质算出或找出其它的设出空间向量的基底,再利用多面体的性质算出或找出其它的向量。向量。15ppt课件baln1n2g4.法向量法向量的夹角与二面角的平面角的关系的夹角与二面角的平面角的关系 设设 ,=gn1n2设设a l b的平面的平面角为角为 gbaln1n2gg两个平面的两个平面的法向量法向量同时同时指向指向或或背离背离。16ppt课件baln1n2gbaln1n2g 设
10、设 ,=gn1n2设设a l b的平面的平面角为角为 g两个平面的两个平面的法向量法向量一个一个指向指向另另一个一个背离背离。17ppt课件例例1 如图如图,在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,AC与与BD交于点交于点E,C1B与与CB1交于点交于点F.(1)求证:求证:A1C平面平面BDC1(2)求二面角求二面角BEFC的大小的大小(结果用反三角函数表示结果用反三角函数表示)证明证明:(1)以点以点D为坐标原点建立为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系,则则FEC1D1CDB1A1BAzxyC(0,1,0),A1(1,0,1),B(1,1,
11、0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1C=(1,1,1),C1D=(0,1,1),BD=(=(1,1,0)A1C C1D=01+1=0 0A1C C1DA1C BD=11+0=0 0A1C BDC1D BD=D A1C平面平面BDC118ppt课件解解:(2)同(同(1)可知)可知,D1B平面平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由由(1)A1C平面平面BDC1即向量即向量D1B 是平面是平面AB1C的一个法向量。的一个法向量。,A1C 是平面是平面BDC1的一个法向量。的一个法向量。A1C=(1,1,1),D1B=(1,1,1),cos ,A1C D1BA1C D1B=|A
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