压缩机机组性能优化技术课件.pptx

1、5 无约束优化方法5.1 无约束优化方法简介5.2 最速下降法5.3 共轭方向法5.4 坐标轮换法5.5 单形替代法15.1 无约束优化方法的简介n研究无约束优化方法的意义p无约束优化方法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。p通过对无约束最优化方法的研究，可为研究有约束问题提供良好的概念基础。p约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来实现。n无约束优化问题基本解法p解析解法：利用无约束优化问题的极值条件，适用于目标函数简单的情况。p数值解法：按照定的逻辑结构进行反复的迭代数值计算，获得具有足够精度的近似解。适用于数学描述复杂和无法用数学方程描述的问题。2(1)()()k+

2、kkkxxd基本思想：最佳步长（一维搜索）搜索（迭代）方向，（由目标函数和约束条件的局部信息状态形成，分类的关键）5.1 无约束优化方法的简介n无约束优化方法的分类p依据:构成搜索方向和所使用信息性质p两类：3间接法：（利用目标函数一、二阶导数）最速下降法共轭梯度法牛顿法变尺度法直接法：（利用目标函数值）坐标轮换法单行替代法鲍威尔法无约束极小值算法基本框图5.2 最速下降法n基本原理4(1)()()kkkfkxxx作为迭代方向，又称为梯度法()kfxn 特点特点在确定搜索方向后，根据一维搜索确定最佳步长：(1)()()=kkkkfff kxxxT()()()=0kkkkfff kxxxT(1)

3、()0kkffxx相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。局部上看：在一点附近下降很快整体上看：下降速度并不快最速下降法搜索路径5.2 最速下降法n基本步骤5确定方向确定步长只是需要求一阶偏导数，并且其算法和计算程序简单，迭代过程直观，在迭代点距离函数最优点比较远时的下降速度还是很快的。将梯度法与其他优化方法配合构成更加有效和实用的算法。最速下降法程序框图5.3 共轭方向法6n 共轭方向法的引出共轭方向法的引出1()2TfTxx Gxb xc目标函数在极值点附近的二次近似函数对于二维的情况，目标函数为二元二次函数，任选取初始点x0沿某个下降方向d d 0作一维搜索，得x11000 xxd5.3 共

4、轭方向法7因为 是沿d0方向搜索的最佳步长：01100()0Tff xxdd如果按最速下降法，选择负梯度方向 为搜索方向，则将发生锯齿现象。1()fx若取下一次的迭代搜索方向d1直指极小点x*。0d0 x0 x1x*1 11d1()fxd1111xxd这样这样的的d1方向应该满足什么条件方向应该满足什么条件呢呢?5.3 共轭方向法8对于前述的二次函数:1()2TfTxx Gxb xc当 时，1xx10 x*是f(x)极小点，应满足极值必要条件，故有()0fxGxb111111()()()ff xG xdbxGd0将等式两边同时左乘 得，且：0()Td01()0TdGd11()fxG xb110

5、10()00Tff xxdd，d0与d1 关于矩阵G共轭5.3 共轭方向法9n共轭方向的概念设G为nn阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量d0和d1满足 ，则称向量d0与d1 关于矩阵G共轭。01()0TdGd当G为单位矩阵时，01()0Tddn 共轭方向法的性质共轭方向法的性质性质1 若非零向量系d0,d1,d2,dm-1是对G共轭，则这m个向量是线性无关的。性质2 在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n。性质3 从任意初始点出发，顺次沿n个G的共轭方向d0,d1,d2,进行一维搜索，最多经过n次迭代就可以找到的二次函数f(x)极小点。5.3 共轭方向法10开始给定结束00,xd1:m

6、in()kkkkkkkfxxdxd1kkxx*1kxx否是1kk0k 提供新的共轭方向共轭方向法的步骤：共轭方向法的步骤：共轭梯度法：共轭梯度法：共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。鲍威尔法：鲍威尔法：直接利用目标函数值来构造共轭方向。共轭方向法程序框图关键是新的共轭方向的确定5.4 坐标轮换法n基本原理11将多维的无约束优化问题转化为一系列一维的最优化问题。每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿着n个线性无关的方向（通常坐标方向）轮流进行搜索。()()()()1()0,1,2,1,2,kkkkiiiikiikinxxdde每一轮的迭代公

7、式：轮次坐标收敛判据：()()0*()kknknxxxx坐标方向坐标轮换法搜索过程5.4 坐标轮换法n基本步骤12用一维搜索最佳步长赋值新起点，进行下一轮5.4 坐标轮换法n特点13p 简单易实现；p 收敛效果与目标函数等值线的形状有很大关系，一般认为此法仅适宜n10的小型优化问题的求解；p 等值线为圆或长短平行于坐标轴的椭圆，此法很快收敛；不平行时，收敛速度很慢。p 当目标函数的等值线出现与坐标轴斜交的脊线时，这种方法完全失去求优效能。搜索过程三种情况5.5 单行替代法n基本原理14p 单纯形：n维空间中具有n+1个顶点的多面体；p 单形替代法（也称单纯形法）不是沿一个方向进行搜索，而是构成

8、的单纯形，求出这些顶点处的目标函数值并加以比较，确定它们当中有最大值的点及函数值的下降方向，再设法找到一个新的比较好的点替换那个有最大值的点，从而构成新的单纯形。随着这种取代过程的不断进行，新的单纯形将向着极小点收缩，直到搜索到满足收敛条件的极小值点为止。p 利用目标函数为二元函数为例：12min,f x x初始单纯形比较顶点函数值重心计算反射、扩张、收缩、缩边新单纯形基本步骤：反射点比最好点好扩张5.5 单行替代法15p 初始单纯形顶点：123123fffxxxxxx，p 除去最差点的其余点的中点423=+/2xxxp 反射5441=+xxxx53ffxx64411.22.+0=xxxx扩张

9、因子，取根据 f(x5)可能出现以下5种情况6523665235ffffxxx x xxxx x x如果扩张有利：如果扩张不构成新单纯形构成新单利：纯形最好点最差点次差点二维目标函数使用单行替代法示意图 5.5 单行替代法16最好点最差点352fffxxx反射点比最好点差，比次差点好235x x x构成新单纯形 反射点比次差点好，比最差点好收缩251fffxxx7454=+0.5xxxx收缩因子，取7123771ffffxxx x xxx如果：如果构成新单纯形收缩失败，需进行缩边：反射点比最差点还差加大收缩51ffxx8441414=xxxxxxx8123881ffffxxx x xxx如果：

10、如果构成新单纯形收缩失败，需进行缩边：次差点二维目标函数使用单行替代法示意图5.5 单行替代法17 在x1x4方向上所有点都比最差点差缩边 1ffxx139323113=2=2x-xxxx-xxx3911x x x构成新单纯形最好点最差点次差点通过反射、扩张、收缩和缩边得到一个新的单纯形，新单纯形比前一个单纯形更靠近最优点。二维目标函数使用单行替代法示意图缩边计算几何示意p 收敛判据*HLLLfffxx5.5 单行替代法n基本步骤1.构造初始单纯形顶点，可初选x0，从x0出发沿各坐标轴走步长h生成n个点，使单纯形各棱线性无关2.计算各顶点函数值3.比较各顶点函数值，标记最好点、次差点、最差点4.收敛判断5.除去最差点其余各点重心计算6.反射计算7.扩张、收缩、缩边计算8.不满足收敛继续迭代n特点p不需要计算导数，适合于非线性优化问题p维数较高时，计算较慢，适合于n1018123456扩张收缩缩边最优解