十二章能量法课件.ppt

1、第十二章第十二章 能量法能量法12-1 概概 述述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。简称变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即上所做的功，即U=W12-2 杆件变形能计算杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩UWPPll12Pl12PPlEAP lEAN lEA2222UNxEA xxl22()()d二、扭转二、扭转U

2、Wmm12m 122222mmlG Im lG IT lG IpppUTxG Ixxpl22()()d三、弯曲三、弯曲UW纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：UMxEI xxl22()()d12m12mmlEIm lEIM lEI2222四、组合变形四、组合变形UNxE A xxTxGIxxMxEI xxlpll222222()()()()()()ddd 截面上存在几种内力，各个内力及相应的截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。个内力只对其相应的位移做功。例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用

3、功例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的挠度。的挠度。解：解：M xP x()UMxEIxl22()d()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例：试求图示梁的变形能，并利用功能原例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求理求C截面的挠度。截面的挠度。解：解：UMxEIxl22()dP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab1210222022ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，例：试求图示四分

4、之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 为常量。为常量。解：解：MPR()sinWPBV12由，得：UWBVPREI34RUMEIRl22()d(sin)PREIR2022dP REI238 例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端端的集中力的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的点的垂直位移。已知垂直位移。已知GIp、EI为常量。为常量。解：解：,()sinMPRWPAV12由，得：UWAVpPRGIPREI32233RUTGIRMEIRpll2222()()ddTPR()

5、(cos)13442323P RGIP REIp12-3 单位载荷法单位载荷法P1P2CM x()Mx0()M xMx()()0P1P2CCP01UMxEIxl22()dUMxEIxl0022()dUM xMxEIxl1022()()dP1P2CP0CP01P1P2P0作功：U0PP12、作功：UP0在 上又作功：1 共做功WUU101 WU11UUM xMxEIxl00212()()dMxEIxMxEIxM x MxEIxlll202022()()()()ddd10M x MxEIxl()()d M x MxEIxl()()0d M x MxEIxl()()0d莫尔定理莫尔定理（莫尔积分）（

6、莫尔积分）M x MxEIxl()()0d对于组合变形：N x NxE AxT x TxGIxM x MxEIxlpll()()()()()()000ddd注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广义位移对应的广义力例：试用莫尔定例：试用莫尔定理计算图理计算图(a)所所示示悬臂梁自由端悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。PABABABlxxx11解：在 截面作用一单位力 如图所示(),()(),()10BbM xPxMxx vM x MxEIxBl()()0dPxEIxl20d PlEI33(),()(),()210在 截面作用一单位力偶 如图所示BcM xPxMx BlM x Mx

7、EIx()()0dPxEIxld0PlEI22 例：计算图（例：计算图（a）所示开口圆环在）所示开口圆环在 P力作用力作用下切口的张开量下切口的张开量 AB。EI=常数。常数。解：MPRMR()(cos)()(cos)110dABMMEIR200()()d21220PREIR(cos)d33PREI 例：半圆形小曲率曲杆的例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端固定，在自由端作用扭转力偶矩端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其，曲杆横截面为圆形，其直径为直径为d。试求。试求B端的扭转角。已知端的扭转角。已知E、。解：解：RTmMmTM()cos,()sin()cos,()sin00BpTTG

8、IRMMEIR()()()()0000ddmGIRmEIRpcossin2020ddmRGImREIp22RmGIEIp21132 24()RmEdGE2 1()例：轴线为半圆形的平面曲杆例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内位于水平面内,在自由端受垂直力在自由端受垂直力P作用。试求自由端作用。试求自由端A的垂直的垂直位移、绕位移、绕x轴的转角和绕轴的转角和绕y轴的转角。已知轴的转角。已知 GIp、EI为常量为常量解：解：(1),()sinMPR32233PRGIPREIpRAVpllTTGIRMMEIR()()()()00ddTPR()(cos)1TR01()(cos),()sinMR0P

9、RGIRPREIRp2202201(cos)sindd(2),()sinMPRRAxpllTTGIRMMEIR()()()()00ddTPR()(cos)1T0()cos,()sinM0(3),()sinMPRRA ypllTTGIRMMEIR()()()()00ddTPR()(cos)1T0()sin,()cosM012-4 图形互乘法图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：式的积分：M x MxEIxl()()0dM x Mxxl()()0d对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只

10、需计算积分CL12TU20直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。Mxx0()tgM x Mxxx M xxll()()()0dtgdtg xCMC0 M x MxEIxME IlC()()00d顶点顶点顶点顶点23lh13lh二次抛物线二次抛物线 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。解：解：vM x MxEIxME IBlC()()00d12232EIPll PlEI33BEIPl1212PlEI22顺时针 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度示简支梁的最大挠度和最大转角。和最大转角。解：解：v

11、EIlqllmax223285322 53844qlEIql28/l/4max 1238122EIlqlqlEI324ql28/例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度示简支梁的最大挠度和最大转角。和最大转角。解：解：vEIlPllmax212246 PlEI348Pl/4l/4max 112412EIlPlPlEI216Pl/4 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁示简支梁C截面的挠截面的挠度和度和A、B截面的转角。截面的转角。解：解：vEIlmC1822 mlEI216l/4AEIml1213mlEI6顺时针BEIml1223mlEI3逆时针 例：试用图乘法求例：试用

12、图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。解：解：vEIlqllB132342 qlEI48ql22BEIlql13212qlEI36顺时针ql22 例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的处的铅垂位移。铅垂位移。解：解：vEIlmC182 mlEI28 例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值；(2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。解：解：(1)vEIXalaX

13、aaqlaC122322312223 0ql28/Xqla la38()(2)CEIXalXaql 122321121223 0ql28/Xqlala3423()例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的点的铅垂位移。铅垂位移。解：解：vEIPaaC32232PaEI3 例：图示开口刚架，例：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两两截面的相对角位移截面的相对角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向的力作用线方向的相对线位移相对线位移 AB。解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0 例：用图乘法求图示阶梯状梁例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转

14、截面的转角及角及E截面的挠度。截面的挠度。解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI2vPaEIPaEIE3312132232113123PaEI 例：图示刚架，例：图示刚架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和转角和转角A。解：解：qa2qa/2qaqa22AHqaEIqaEI 44142313583812-5 互等定理互等定理载荷作用点载荷作用点位移发生点位移发生点i j先作用，后作用，外力所作的功：PP12UPPP1212111222112先作用，后作用，外力所作的功：PP21 UPPP1212222111221功的互等定理功的互等定理:P

15、P112221位移互等定理位移互等定理:若，则得PP121221 例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。vC1B2解：由功的互等定理P vmCB12得：P vmPlEIC1216由此得：vmlEIC1216 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移C。vC1B2解：由功的互等定理P vmCB12得：P vmPlEIC1222由此得：CCvmlEI128例：长为例：长为 l、直径为、直径为 d 的圆杆受一对横向压力的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知作用，求此杆长度的伸长量。已知E和和。解：由位移互等定理知，杆的伸长量等于杆直径的

16、减小量ldd dPAEd4PdE例：已知简支梁在均布载荷例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中作用下，梁的中点挠度点挠度 。求梁在中点集中力。求梁在中点集中力P作作用下用下(见图见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积面积。fqlE I53844qPqlE I5384453844PlE I12-6 简单静不定系统简单静不定系统 本章应用本章应用能量法能量法求解静不定系统。求解静不定系统。应用能量法求解静不定系统，特别是对桁应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。求解静不定

17、问题的关键是建立求解静不定问题的关键是建立补充方程补充方程。静不定系统，按其多余约束的情况，可以静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为分为外力静不定外力静不定系统和系统和内力静不定内力静不定系统。系统。一、外力静不定系统一、外力静不定系统 由于外部的多余约束而构成的静不定系统由于外部的多余约束而构成的静不定系统,一般称为外力静不定系统。一般称为外力静不定系统。求解外力静不定系统的基本方法，是解除求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。解除

18、多余约束后得到的静定结构，称为原解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或静不定系统的静定基本系统，或相当系统相当系统。例：作图示梁的弯矩图例：作图示梁的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为A 0即即M lPlA22381202解得解得MPlA316MPlA316516P532Pl/316Pl另解：变形协调条件为另解：变形协调条件为vB 0即即R llPllB222238560解得解得RPB516MPlA316516P532Pl/316Pl例：作图示梁的弯矩图例：作图示梁的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为vA 0即即2223222R llPllA解得解

19、得RPA4332PllPll22223820RPA4332564PlRPC5321132PlPl例：作图示等刚度刚架的弯矩图例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为BV 0即即R aaR aPaBB23322320解得解得RPB3838P38Pa58Pa例：作图示等刚度刚架的弯矩图例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为BV 0即即R aaR aqaBB23422360解得解得RqaB8qa8qa28382qa例：作图示等刚度刚架的弯矩图例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为BH 0即即R aaR aaPaaBB2

20、2223223220解之得解之得RPB/4Pa438PaM图图二、内力静不定系统二、内力静不定系统 有些结构，支座反力可以由静力平衡条件有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力静不定系统。这类结构称为内力静不定系统。求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。系的内部约束。例：求例：求A、B两点间的相对线位移两点间的相对线位移 AB。由对称性知由对称性知:NP02Q00变形协调条件变形协调条件:D 0MMPR()(cos)021M01()DsMME Is0d M

21、PRE IR00221(cos)dRE IMPRD2221 0由此得MPRD121MPRPR()(cos)12121PRcos21MR01()(cos)DMME IR()()002dPRE I381ABDPRE I2423例：求图示圆环的最大弯矩例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。为常量。由对称性知：由对称性知：A、B截面上剪力为零截面上剪力为零MMNNPABAB3变形协调条件变形协调条件:A 0MMPRMMME IsMPRE IRRE IMPRMPRPRAAsAAA()(cos)()(cos).31131333320333201000003dd由弯矩方程：知 最大弯矩发生在即 截面

22、 其值为MMPRPRPRPRCMPRPRPRA()(cos)(cos)cos,cos.max 31333231332060603323236018960对称性的利用：对称性的利用：对称结构：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。对称轴两边的部分将完全重合。正对称载荷：正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。每对力数值相等。反对称载荷：反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的

23、数值相等，作用点重合而作用方两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。向相反。对称结构在正对称载荷作用下：对称结构在正对称载荷作用下：结构的内力及变形是对称的结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的内力的内力 QC=0对称结构在反对称载荷作用下：对称结构在反对称载荷作用下：结构的内力及变形是反对称的结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的内力的内力 NC=0，MC=0 例：图示小曲率杆在力偶例：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪与均匀分布剪流流q作用下处于平衡状态，已知作用下处于平衡状态，已知q、R与与EI=常常数，试求数，试求A截面的剪力

24、、弯矩和轴力。截面的剪力、弯矩和轴力。QqRMNAAA,00 例：平面框架受切向分布载荷例：平面框架受切向分布载荷q作用，求作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。截面的剪力、弯矩和轴力。QqbMNAAA,00 例：图示刚架例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩为常量，画出刚架的弯矩图。图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为EV 0即即:Q aaQ aaPaaEE2228322220解之得解之得QPE6712-7 力法及正则方程力法及正则方程 在求解静不定结构时，一般先解除多余约在求解静不定结构时，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再根

25、据变形协调条件得到关于多余约束力的补充根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。这种以方程。这种以“力力”为未知量，由变形协调条为未知量，由变形协调条件为基本方程的方法，称为件为基本方程的方法，称为力法力法。变形协调条件：表示作用点沿着方向的位移。由叠加原理：同理1231111111111221331221122223323311322333300000123iiiXXXPPPPXXXXXXXXXXX力法正则方程：11112211211222221122000XXXXXXXXXnnPnnPnnnnnnP力法正则方程：11121212221212120nnnnnnnPPnPXXXiiiiii

26、 jiiji PiiXXXXXXXX表示作用点沿着方向由于单独作用时所产生的位移表示作用点沿着方向由于单独作用时所产生的位移表示作用点沿着方向由于实际载荷单独作用所产生的位移0011设引起的弯矩为引起的弯矩为实际载荷引起的弯矩为则：，XMXMMMME IxMME IxMME IxiijjPiiiili jijli PiPl00000000011ddd 平面刚架受力如图，各杆平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求常数。试求C处的约束力、支座反力。处的约束力、支座反力。112312241223312816 EIaaaEIEIaqaqaEIPM10图MP图 由力法正则方程得：，顺时针逆时针1111

27、12031631600316216XXqaXqaYMXXqaYYqaMMqaPCCCABABAB ()(),()()M10图MP图 试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。常数。M10图MP图 1122313411111212234312203803801188 EIaaaaaEIEIqaaqaEIXXqaXYqaXYqaMqaPPBBAAA由得逆时针,两端固定的梁，跨中受集中力作用，设两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点，不计轴力影响。求梁中点的挠度。的挠度。M10图MP图1112211111

28、11181808 EIllEIEIPlPlEIXXPlPP由得 vPlEIPllEIPlEIC323482816192求图示刚架的支反力。求图示刚架的支反力。M10图MP图 112312411111222323123 82240161691616716 EIaaaEIEIqaaaqaEIXXqaXqaYqaXqaYqaPPBBAA由得,等截面梁的受力情况如图所示。试求、等截面梁的受力情况如图所示。试求、三处的约束力。、三处的约束力。M10图MP图由反对称性知，支座约束反力BREIaaaEIEImaamaEIBP 0192291224112312 由得逆时针11111049493XXmaRRmammmPACAB 等截面平面框架的受力情况如图所示。试等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。求最大弯矩及其作用位置。解：载荷关于对角线和反对称。由平衡条件可得：发生在外载荷 作用点处ACBDQPPMPaMPcosmaxmax45222