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1、第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第一节第一节 动量矩的概念动量矩的概念第二节第二节 转动惯量转动惯量第三节第三节 动量矩定理动量矩定理第四节第四节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第五节第五节 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理第六节第六节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 本章重点本章重点1.转动惯量的计算转动惯量的计算2.动量矩守衡动量矩守衡3.刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程4.刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程1 1第一节第一节 动量矩的概念动量矩的概念一、质点的动量矩一、质点的动量矩动量动量mv 对固定点对固定点O的动量矩的动

2、量矩为为:动量矩动量矩:物体机械运动强度的度量。物体机械运动强度的度量。质量为质量为m的质点，的质点，t时刻速度为时刻速度为v，动量矩的量纲为：动量矩的量纲为：dim L=ML2T1国际单位制中，动量矩的单位为：国际单位制中，动量矩的单位为：2 2kgm2svmrLO三、刚体的动量矩三、刚体的动量矩1 1、刚体平动刚体平动2 2、刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动Jz 称为称为刚体对于刚体对于z轴的转动惯量。轴的转动惯量。3 3CCCiiiiiOvmrvmrvmrLziiiiiiiizJrmrrmrvmL2)(质点系动量对固定点质点系动量对固定点O的动量矩的动量矩:iiiiiOOiOvmr)v(mM

3、LL质点系对固定轴质点系对固定轴z的动量矩的动量矩:)vmMLLiizziz(二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩3、刚体平面运动、刚体平面运动 平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：CCzzJmvML)(C vC一、转动惯量的定义一、转动惯量的定义 刚体对某轴刚体对某轴z的转动惯量的转动惯量Jz等于刚体内各质点等于刚体内各质点的质量与该质点到轴的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和。的距离平方的乘积之和。2mrJzMzdmrJ2 质量连续分布时质量连续分布时:4

4、 4第二节第二节 转动惯量转动惯量mi z1 1 1 1 1 1 1 二、回转半径二、回转半径 2zzmJmJzz三、三、平行轴定理平行轴定理221212121212122)()(mdJmdymdJmdymdyxmdyxmJzCizCiiiiz)(2121yxmJizC)(22yxmJizClABxdxz1z 均质细长杆长为均质细长杆长为l，质量为，质量为m。试求。试求(1)杆件对于过质心杆件对于过质心C且与杆的轴线相且与杆的轴线相垂直的垂直的z轴的转动惯量轴的转动惯量；(2)杆件对于过杆端杆件对于过杆端A且与且与z轴平行的轴平行的z1轴的转动惯量；轴的转动惯量；(3)杆件对于杆件对于z轴和轴

5、和z1轴的回转半径。轴的回转半径。解：杆的线密度解：杆的线密度 lml/1.1.对对z轴的转动惯量轴的转动惯量取微段取微段dx，其质量为，其质量为 xmldd2222222222121dddlllllllzmlxlmxxxmxJ2.2.对对z1轴的转动惯量轴的转动惯量222213141121)2(mlmlmllmJJzz5 53.3.杆件对于杆件对于z轴和轴和z1轴的回转半径。轴的回转半径。22121zzmmlJ2131mlJz32lmJzz311lmJzz 半径为半径为R，质量为，质量为m的均质薄圆盘，试求的均质薄圆盘，试求圆盘对于过中心圆盘对于过中心O且与圆且与圆盘平面相垂直的盘平面相垂直

6、的z轴的转动惯量。轴的转动惯量。d解解:圆盘圆盘的面密度为的面密度为2RmA取圆盘上一半径为取圆盘上一半径为r，宽度为，宽度为dr的细圆环的细圆环rrRmrrRmAmAd2d2dd22RRzmRrrRmmrJ02320221d2d回转半径回转半径2RmJzz6 6 冲击摆冲击摆摆杆长摆杆长l，质量为，质量为m1，摆盘摆盘质量为质量为m2，半径为，半径为R，试求摆对于转轴的转动惯量。试求摆对于转轴的转动惯量。解：设摆杆和摆盘对轴解：设摆杆和摆盘对轴的转动惯量为的转动惯量为J1、J2 21131lmJ 22222)(21RlmRmJ222221)(2131RlmRmlmJo7 7O 半径为半径为R

7、，质量为，质量为m的均质圆盘，在离圆心的均质圆盘，在离圆心R/3处处挖去一半径挖去一半径为为 r=R/3的圆，的圆，试求其对于通过试求其对于通过A的的轴轴的转动惯量。的转动惯量。解：解：半径为半径为R，质量为，质量为m的均质圆盘的均质圆盘对轴对轴A的转动惯量的转动惯量为为9222mrRmm22212321mRmRmRJA22222222254767)(21mRRmrRmrmJA22221273754723mRmRmRJJJAAA 8 8设挖去的圆盘的质量为设挖去的圆盘的质量为m2对轴对轴A的转动惯量为的转动惯量为、质点动量矩定理、质点动量矩定理质点对固定点质点对固定点O的动量矩的动量矩mvrL

8、O)(dddd)(ddddvrvrvrLmtmtmttO0mvvmvdtdrFvp)(ddddmtt)(ddFMFrLtOO对时间求一阶导数对时间求一阶导数 根据质点的动量定理根据质点的动量定理 得得 9 9第三节第三节 动量矩定理动量矩定理将矢量式向过将矢量式向过O点的固定轴投影：点的固定轴投影：)(dd)(dd)(ddFFFzzyyxxMtLMtLMtL注意：点注意：点O为固定点，为固定点，v为绝对速度。为绝对速度。二、质点系动量矩定理二、质点系动量矩定理 设质点系由设质点系由n个质点组成，取其中第个质点组成，取其中第i个质点来考察，将作用于该个质点来考察，将作用于该质点质点上的力分为内力

9、上的力分为内力Fii和外力和外力Fie:根据质点的动量矩定理根据质点的动量矩定理:)()(ddOeiiiOOtFMFML)()(ddOeiiiOOtFMFMLi=1，2，3，n求和求和:交换求和及求导的次序交换求和及求导的次序:)(ddOeiOtFML1010直角坐标轴投影直角坐标轴投影式式:)(dd)(dd)(ddezzeyyexxMtLMtLMtLFFF注意：注意：1 1、力矩中包含力偶矩；力矩中包含力偶矩；2、内力不影响质点系的动量矩。、内力不影响质点系的动量矩。三、动量矩守恒三、动量矩守恒1 1、质点动量矩守恒质点动量矩守恒r、v组成的平面的方位不变。组成的平面的方位不变。（1 1）F

10、过点过点O，称为有心力，称为有心力，Mo(F)=0Mo(mv)=常矢量常矢量1111（2 2）Mz(F)=0,F F和轴和轴z z共面，共面，Mz(mv)常量常量2 2、质点系的动量矩守恒、质点系的动量矩守恒（2 2）Mz(Fe)=0,Lz常量常量（1 1）Mo(Fe)=0,Lz常矢量常矢量 均质均质鼓轮重鼓轮重W，半径为半径为R，通过绳子悬挂一重，通过绳子悬挂一重W1的物体。的物体。在鼓在鼓轮上作用一力偶轮上作用一力偶M，试求重物上升的加速度。，试求重物上升的加速度。MWW1vavRgWJLzz1RWMMez1)(FWRMaRgWRgW1221解得：解得：gRWWWRMa2)2(1解：系统为

11、研究对象，解：系统为研究对象，动量矩定理动量矩定理1212Ra 离心调速器的水平杆离心调速器的水平杆AB长为长为2a，可绕铅垂轴，可绕铅垂轴z转动，其两端各转动，其两端各用铰链与长为用铰链与长为l的杆的杆AC及及BD相连，杆端各联接重为相连，杆端各联接重为W的小球的小球C和和D。起初两小球用细线相连，使杆起初两小球用细线相连，使杆AC与与BD均为铅垂，系统绕均为铅垂，系统绕z轴的角轴的角速度为速度为 0 0。如某瞬时此细线拉断后，杆。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与与BD各与铅垂线成各与铅垂线成q q角。角。不计各杆重量，求此时系统的角速度。不计各杆重量，求此时系统的角速度。1313qq解解:系

12、统为研究对象。系统为研究对象。020122agWaagWLzq22)sin(2lagWLzq202)sin(22lagWagW022)sin(qlaa系统对系统对z轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒1414qqWW绕定轴转动刚体对绕定轴转动刚体对z轴的动量矩为：轴的动量矩为：zzJL)(ddezzMtLF)(ddezzMtJF)(ezZMJF)(ezzMJF 1515第四节第四节 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程12N1N2注意：注意：2 2、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。转动惯量是刚体转动时惯性的度量。3 3、MZ(F)符号的规定应一致。符号的规定应一致。4 4、刚体定轴转动微分方程适用

13、于单个绕定轴转动刚体。刚体定轴转动微分方程适用于单个绕定轴转动刚体。1 1、刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。动量矩定理：动量矩定理：刚体定轴转动微分方程：刚体定轴转动微分方程：或写成：或写成：复摆的质量为复摆的质量为m，质心为，质心为C，摆对悬点的转动惯量为，摆对悬点的转动惯量为JO。求复。求复摆微幅摆动的周期摆微幅摆动的周期T。sinWaJO 0sinOJmga 解：取复摆为研究对象。解：取复摆为研究对象。复摆微幅摆动时，有复摆微幅摆动时，有sin0OJmga mgaJTO2定轴转动微分方程定轴转动微分方程1616讨论：讨论

14、：1.1.此微分方程的解为：此微分方程的解为：)sin(0qtJmgaO2.2.测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。mgaTJO2242maJJCO)4(22gaTmgaJC 齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为R1=0.2m和和R2=0.4m，对轴对轴I I、IIII的转动惯量分别的转动惯量分别为为J1=10kg.m2,J2=8kg.m2,轴轴I I上作用有主动上作用有主动力矩力矩M1=20kN.m,轴轴IIII上有阻力矩上有阻力矩M2=4kN.m,转向如图所示。设各处的转向如图所示。设各处的摩擦

15、忽略不计，试求轴摩擦忽略不计，试求轴I I的角加速度及两轮间的切向压力的角加速度及两轮间的切向压力Ft。M2M1R1R2J1J2III1717解：轮解：轮、为研究对象。为研究对象。定轴转动微分方程定轴转动微分方程 1111RFMJt2222)(RFMJt5.0/121221iRR22122112211/300sradiJJiMMM1F1xF1yW1FtFr 1M2FrFtF2xF2yW2 21818联立求解得：联立求解得：M2M1R1R2J1J2IIIkNRJMFt5.4211112)(312lWmllg23 均质杆均质杆OA长长l，质量为，质量为m，其，其O端用铰链支承，端用铰链支承，A端用

16、细绳悬挂。端用细绳悬挂。试求将细绳突然剪断瞬时，铰链试求将细绳突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。的约束反力。解：取杆为研究对象。解：取杆为研究对象。在该瞬时，角速度在该瞬时，角速度=0，角加速度，角加速度 01919（一）角加速度（一）角加速度02/2lanC2/laaCCOxnCFma 0mglmmgFOy412（二）（二）反力反力 OyCFWlmma20OxF 刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体相对于质心的动量矩为：相对于质心的动量矩为：CCCJLLr刚体的平面运动可用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理：刚体的平面运

17、动可用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理：)(eCCeCMJmFFa质心运动定理质心运动定理向向x,y轴投影。轴投影。)(eCCeyCexCMJFymFxmF 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程：2020第六节第六节 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 半径为半径为r、质量为、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转半径为半径为 c，作用于圆轮上的力偶矩为，作用于圆轮上的力偶矩为M，圆轮与地面静摩擦因数为，圆轮与地面静摩擦因数为f。求（求（1 1）轮心的加速度；（）轮心的加速度；（2 2）地面对圆轮的约束力；（）地面对圆轮的约束力；（3

18、 3）使圆轮只）使圆轮只滚不滑的力偶矩滚不滑的力偶矩M的大小。的大小。CMr2121raC纯滚动条件下，有纯滚动条件下，有WF N0MFrmC)(2)(22rmMraCCmgWFN解得解得2222平面运动微分方程平面运动微分方程解：圆轮为研究对象解：圆轮为研究对象.CMrWaCFNF Fmacx圆轮只滚不滑的条件为圆轮只滚不滑的条件为 mgfrMrC22即即rrfmgMC22)(22rMrmaFCC也也可用相对于瞬心可用相对于瞬心A的动量矩定理求的动量矩定理求aCMrmC)(22)(22rmMC)(22rmMrraCCNfFF A 均质细杆均质细杆AB，长，长l，重，重W，两端分别沿铅垂墙和水

19、平面滑动，不，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆在任意位置的角加速度，角速度。在任意位置的角加速度，角速度。23232-2-解：取杆解：取杆ABAB为研究对象，平面运动微分方程为研究对象，平面运动微分方程AexCFllgWFxm)cos2sin2(2 WFllgWFymBeyC)sin2cos2(2 cos2sin2121)(2lFlFlgWMJABeCC Fcos2sin2lylxCCsin2cos2cos2sin222 llyllxCC24242-2-sin23lg ddd

20、dddddttsin23d00lg)cos1(3lgqqq2sincossin3gBa2525 均质直杆均质直杆AB长长l，质量为，质量为m，静止于光滑，静止于光滑水平面上如图所示。若突然把绳水平面上如图所示。若突然把绳 OA 剪断，求剪断，求此瞬时点此瞬时点 B 的加速度和杆的加速度和杆AB的角加速度。的角加速度。ABOq qABOq qmgFNqsin2121lFmlN AB杆运动分析杆运动分析平面运动微分方程：平面运动微分方程：解：杆为研究对象；解：杆为研究对象；杆作平面运动；杆作平面运动；剪断绳剪断绳 OA 的瞬时，角速度为零。的瞬时，角速度为零。BCCBaaamgFmaNcx轴投影：

21、轴投影：qcos21laBy轴投影：轴投影：qsin210laCqq2sin61(sin6lgaC ABOq qa BCaCaByxaC 2626 质量为质量为m长为长为l 的均质杆的均质杆AB用等长的细绳悬用等长的细绳悬挂静止如图所示挂静止如图所示.若突然把绳若突然把绳O2B剪断剪断,求此瞬时绳求此瞬时绳O1A的拉力的拉力T为多少为多少.O1O2ABC得得:cmaFmgTlFmlT2121对杆进行运动分析：对杆进行运动分析：把上式向把上式向y轴投影得轴投影得:平面运动微分方程。平面运动微分方程。解：杆为研究对象；解：杆为研究对象；杆作平面运动；杆作平面运动；剪断绳剪断绳 O2B 的瞬时，角速

22、度为零。的瞬时，角速度为零。O1O2ABCFTmg aCmgT41laC21CAACaaayaAaAO1O2ABCaC a CA一、转动惯量一、转动惯量2mrJzmrJMzd22zzmJ2mdJJzCz1.1.转动惯量定义式转动惯量定义式2.2.连续物体的转动惯量连续物体的转动惯量3.3.求转动惯量的平行轴定理求转动惯量的平行轴定理1.1.质点对固定点的动量矩质点对固定点的动量矩二、动量矩二、动量矩2.2.质点系对固定点的动量矩质点系对固定点的动量矩2727小小 结结iiOmvrL3.3.刚体的动量矩刚体的动量矩(1)(1)刚体平动刚体平动CCOmvrL(2)(2)刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动

23、zzJL(3)(3)刚体平面运动刚体平面运动CCzzJmvML)(mvrLO三、三、动量矩定理动量矩定理1.1.质点动量矩定理质点动量矩定理)(ddFMLOOt2.2.质点系动量矩定理质点系动量矩定理)(ddOeiOtFML2828)(dd)(dd)(ddezzeyyexxMtLMtLMtLFFF3.3.质点系动量矩定理的投影形式质点系动量矩定理的投影形式4.4.动量矩守恒动量矩守恒（1 1）质点动量矩守恒）质点动量矩守恒0)(zFM0)(OFMCvM)(OmCmM)(zv（2 2）质点系的动量矩守恒）质点系的动量矩守恒CLFMCLFMzezoeo,0)(,0)(四、四、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程)(ezzMJF)(eCCeyCexCMJFymFxmF 五、刚体平面运动微分方程五、刚体平面运动微分方程292911-3(c),6(b),11,17,21