刚体平面运动PPT课件.ppt

1、理论力学平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 三、平面图形内各点的加速度三、平面图形内各点的加速度求平面图形内各点加速度的基点法求平面图形内各点加速度的基点法关于加速度瞬心的概念关于加速度瞬心的概念平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 求平面图形内各点加速度的基点法求平面图形内各点加速度的基点法已知：平面图形已知：平面图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度aA和图形和图形某一瞬时某一瞬时的的 、。求求：该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B 的加速度。的加速度。解解：取取A 为基点，将平动坐标系为基点，将平动坐标系固结于固结于A点；取点；取B 为动点，则为动点，则B点点的运动

2、可分解为随基点的平移运的运动可分解为随基点的平移运动（牵连运动）和绕基点的圆周动（牵连运动）和绕基点的圆周运动（相对运动）。运动（相对运动）。AeBaaaaa ,nBABABAraaaa平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度（加速度）基点法（加速度）基点法AeBaaaaa ,nBABABAraaaa由牵连运动为平动时的加速度合由牵连运动为平动时的加速度合成定理：成定理：可得：可得：nBABAABaaaareaaaa 其中：其中：ABaBA方向方向 BA，指向与，指向与 一致一致2 ABanBA方向沿方向沿AB连线，指向连线，指向A点点平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 讨论：讨

3、论：（1）基点的相对性基点的相对性以以A为基点：为基点：nBABAABaaaa以以B为基点：为基点：nABABBAaaaaABaBaBaBAaABaTABanABaAaA aTBAanBA（2）平面图形一点的加速度表达式最多可以有六项。平面图形一点的加速度表达式最多可以有六项。平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 关于加速度瞬心的概念关于加速度瞬心的概念 由于由于 atBA、anBA的大小和方向随的大小和方向随B 点位置的改变而变化，点位置的改变而变化，所以总可以在平面图形内找到一点所以总可以在平面图形内找到一点Q，在此瞬时，其相对加速，在此瞬时，其相对加速度的大小恰与基点度的大小恰与

4、基点A的加速度的加速度aA等值反向，等值反向，Q点的绝对加速度点的绝对加速度aQ=0，Q点就称为图形在该瞬时的点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心加速度瞬心。一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点。一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点。一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式，一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式，图形上任意两点图形上任意两点A、B 加速度的投影关系不成立，即：加速度的投影关系不成立，即：ABBABAaa当某瞬时图形当某瞬时图形 =0（瞬时平动瞬时平动）时，才成立）时，才成立投影关系：投影关系：ABBABAaa即：若平面图形在运动过程中某瞬

5、时的角速度等于零，则该瞬即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式所以采用所以采用基点法基点法求求平面平面图形上各点的加速度或图形的角加速图形上各点的加速度或图形的角加速度。度。由于该式在任何瞬时都成立，且由于该式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，因此点作

6、直线运动，因此：RvO/（）半径为半径为R 的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心O点的速度点的速度 vO 及加及加速度速度 aO，求车轮与轨道接触点，求车轮与轨道接触点P 的加速度。的加速度。解解：轮轮O 作平面运动，作平面运动，P 点点为速度瞬心，先求出为速度瞬心，先求出 和和 ：例题例题 8车轮滚动车轮滚动RadtdvRdtdOO1（）取取O 点为基点：点为基点：nPOPOOPaaaa 由此可知，速度瞬心由此可知，速度瞬心P 的加速度的加速度并不等于零并不等于零，它不是车轮的，它不是车轮的加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，速度瞬心加速度瞬心。当车轮沿固定

7、的直线轨道作纯滚动时，速度瞬心P 的加速度指向轮心。的加速度指向轮心。做出加速度矢量图并向铅垂线投影，做出加速度矢量图并向铅垂线投影，其中：其中：OPOaRa例题例题 8车轮滚动车轮滚动nPOPOOPaaaa方向方向大小大小？R R 2RvRvRRaaOOnPOP222解解：(a)AB作平动：作平动：),(,nBnABABABAaaaaaavv 已知四连杆机构的已知四连杆机构的O1A=O2B=R，图示瞬时，图示瞬时 O1A/O2B，试问在试问在(a)、(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，1和和 2是否相等？是否相等？(a)(b)例题例题 9四连杆机构四连杆机构2121 /,/RvRvBA2

8、121 /,/RaRaBABAABvv ,0ABBABAaa例题例题 9四连杆机构四连杆机构(b)(b)AB作平面运动，在图示瞬时作平面运动，在图示瞬时作瞬时平动，因此：作瞬时平动，因此：RvRvBA/,/2121 ABnBABBABnAABAaaaa将加速度向将加速度向AB连线投影（连杆连线投影（连杆AB作瞬时平动）：作瞬时平动）：cossincossin222211RRRRctg212BAaa ,12例题例题 10曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构 曲柄滚轮机构的曲柄长度与曲柄滚轮机构的曲柄长度与滚轮半径均为滚轮半径均为15cm，曲柄转速，曲柄转速 n=60 rpm。求求：当：当 =60时时（OA

9、AB）滚轮）滚轮的角速度的角速度 与角与角加速度加速度。rad/s 32153/30/1APvAAB（）rad/s 230/6030/n P1为为AB 杆的速度瞬心，杆的速度瞬心，P2 为轮为轮 B 的速度瞬心：的速度瞬心：)(cm/s 320323301ABBBPv解解：OA定轴转动，定轴转动，AB杆和轮杆和轮B作平面作平面运动。运动。要求出滚轮的要求出滚轮的 与与 ，应当，应当先先求出求出 vB与与 aB 例题例题 10曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构cm/s 30215OAvAP2P1vB取取A为基点：为基点：nBABAABaaaa作加速度矢量图，将上式向作加速度矢量图，将上式向BA线线上投影：

10、上投影：nBABaa30cos点点P2为轮为轮B 的速度瞬心：的速度瞬心：例题例题 10曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构方向方向大小大小？2222cm/s 332032315ABnBAABa其中：其中：)(cm/s 103230cos/22nBABaa所以：所以：rad/s 25.7/2BPvBB22rad/s 77.8/BPaBB刚体的平面运动例题刚体的平面运动例题四、运动学问题综合应用四、运动学问题综合应用例例 题题如图，如图，A、B为平面运动刚体上的两为平面运动刚体上的两点，以点，以A为基点（动系固结在刚体为基点（动系固结在刚体上），其位置矢量关系为：上），其位置矢量关系为：BAABrrr刚体平

11、面运动刚体平面运动矢量法推导矢量法推导yxorBrArABAB 对对 t 求导，求求导，求B点的速度：点的速度：BAABBABdrdrdrvrdtdtdtAABvrABAvv再次对再次对 t 求导，求求导，求B点的加速度：点的加速度：刚体平面运动刚体平面运动矢量法推导矢量法推导yxorBrArABAB BABABdvdvdardtdtdtBAABvvrAABABarrtnABABAaaaAABBAarv（一）概念与内容（一）概念与内容1.刚体平面运动的刚体平面运动的定义定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2.刚体平面运动的刚体

12、平面运动的简化简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S 在自身平面在自身平面内的运动代替刚体的整体运动。内的运动代替刚体的整体运动。3.刚体平面运动的刚体平面运动的分解分解：(1)随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）(2)绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）刚体的平面运动刚体的平面运动4.基点基点可以选择平面图形内任意一点（作为基点），通常选择运可以选择平面图形内任意一点（作为基点），通常选择运动状态已知的点。动状态已知的点。5.（速度）瞬心（速度）瞬心v 任一

13、瞬时，平面图形或其延拓部分都唯一存在一个速度为任一瞬时，平面图形或其延拓部分都唯一存在一个速度为零的点。零的点。v 瞬心的位置随时间而改变。瞬心的位置随时间而改变。v 每一瞬时平面图形的运动可视为绕（该瞬时）瞬心的转每一瞬时平面图形的运动可视为绕（该瞬时）瞬心的转动，这种（瞬时）动，这种（瞬时）绕瞬心的转动绕瞬心的转动与定轴转动不同。与定轴转动不同。v 若若 =0，瞬心位于无穷远处，刚体上各点速度相同，刚，瞬心位于无穷远处，刚体上各点速度相同，刚体作瞬时平动，体作瞬时平动，瞬时平动瞬时平动与平动不同。与平动不同。刚体的平面运动刚体的平面运动6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的刚体定轴转动

14、和平面平动是刚体平面运动的特例特例。7.求平面图形上任一点速度的方法：求平面图形上任一点速度的方法：刚体的平面运动刚体的平面运动（基点法是最基本的方法）（基点法是最基本的方法）BAABvvv基点法：基点法：ABAABBvv速度投影法：速度投影法：BPvBPvBB ,速度瞬心法：速度瞬心法：ABAABBaa当当瞬时平动瞬时平动（=0）时也可采用投影法：）时也可采用投影法：（基点法在基点法在 =0 时的特例）。时的特例）。8.求平面图形上一点加速度的方法求平面图形上一点加速度的方法基点法：基点法：nBABAABaaaa9.刚体刚体平面运动方法与点的合成运动方法的平面运动方法与点的合成运动方法的应用

15、条件应用条件：v平面运动方法适用于研究平面运动方法适用于研究一个平面运动刚体一个平面运动刚体上任意上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系。与图形角速度、角加速度之间的关系。v点的点的合成运动方法适用于确定合成运动方法适用于确定两个相接触的物体两个相接触的物体在在接触点处有相对运动时运动关系的传递。接触点处有相对运动时运动关系的传递。刚体的平面运动刚体的平面运动（二）解题步骤和要点（二）解题步骤和要点 1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构

16、中各刚体的运动形式，注意每一次的研究对象只是一个刚体。动形式，注意每一次的研究对象只是一个刚体。2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度（或图形角速度）问题的方法；用基点法求加速度（或图速度（或图形角速度）问题的方法；用基点法求加速度（或图形角加速度）形角加速度）3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。作速度分析和加速度分析，求出待求量。（基点法：恰当选取基点，作速度平行四边形和加速度矢（基点法：恰当选取基点，作速度平行四边形和加速度矢量图；速度投影法：不能求出图形量图；速度投影法：不能求出图形；速度瞬心法：确定瞬心；速度瞬心

17、法：确定瞬心的位置是关键）的位置是关键）刚体的平面运动刚体的平面运动例题例题 11摇杆与套筒摇杆与套筒A AO OB Bh hy yx x摇杆摇杆OB以角速度以角速度 =2 rad/s绕轴绕轴O转转动，长动，长l=200 mm的套筒的套筒AB用铰链连用铰链连接滑块接滑块A，可沿，可沿摇杆摇杆OB滑动，滑动，h=100 mm。求求：=30时时套筒套筒AB上上B点的点的速度大小。速度大小。解解：（1）坐标法，写出）坐标法，写出B点的坐标：点的坐标：coslhxBsintanlhyB上式对上式对 t 求导，注意当求导，注意当 t ，所以，所以d /dt=-：sin lvBxcossec2lhvBy当

18、当 =30时，时，vBx=200mm/s，vBy=-613mm/s，则，则：mm/s 64522ByBxBvvv例题例题 11摇杆与套筒摇杆与套筒A AO OB Bh hy yx xAvAvBAvBv解解：（2）刚体平面运动法，先求）刚体平面运动法，先求A点的速度：点的速度：tan hyA2secAAvyh 当当 =30时，时，vA=267mm/s 再以再以A为基点，求套筒为基点，求套筒AB上上B点点的速度：的速度：BAABvvv注意到套筒注意到套筒AB与与摇杆摇杆OB的角速度相同，则的角速度相同，则：mm/s 400llvABBAmm/s 645cos22/122BAABAABvvvvv例题

19、例题 11摇杆与套筒摇杆与套筒A AO OB Bh hy yx x解解：（3）点的合成运动法：）点的合成运动法：ArAeAavvvAavArvAevBavBrvBev 先选动系为摇杆先选动系为摇杆OB；动点为动点为套筒套筒AB上上A点：点：再选动系再选动系摇杆摇杆OB；动点动点套筒套筒AB上上B点：点：BrBeBavvv式中式中 vAe=OA =231mm/s，则：，则：vAr=vAetan =133mm/s vAa=vAe/cos =267mm/s 式中式中 vBe=OB =631mm/s，注意到，注意到vBr=vAr，则：，则：mm/s 64522BrBeBaBvvvv例题例题 12曲柄曲

20、柄摆杆滑块摆杆滑块机构机构求求：该瞬时：该瞬时O1D摆摆杆的角速度杆的角速度曲柄曲柄OA=r 以匀角速度以匀角速度 转动，连杆转动，连杆AB=l 的中点的中点C处连接一滑块处连接一滑块C，可沿，可沿导槽导槽O1D滑动，图示瞬时滑动，图示瞬时OAO1三点在三点在同一水平线上，同一水平线上，OA AB，=30。解解：曲柄曲柄OA、摆杆摆杆O1D均作定轴转均作定轴转动，动，连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。rvA采用点的合成运动方法求采用点的合成运动方法求O1D杆上与杆上与滑块滑块C 接触点（牵连点）的速度：接触点（牵连点）的速度：例题例题 12曲柄曲柄摆杆滑块摆杆滑块机构机构 连杆连杆AB在在图

21、示位置作瞬时平图示位置作瞬时平动，所以：动，所以：rvvvACB动点动点连杆连杆AB上上C点（或滑块点（或滑块C）摆杆摆杆O1D绝对运动绝对运动曲线运动曲线运动相对运动相对运动直线运动直线运动牵连运动牵连运动定轴转动定轴转动rrvvCe2330coscosDOeCOv11这是一个需要联合应用点的合成运动和刚这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。体平面运动理论求解的综合性问题。例题例题 12曲柄曲柄摆杆滑块摆杆滑块机构机构根据根据reavvv作速度平行四边形，所以：作速度平行四边形，所以：lrlrCOveDO23sin2/2311）(解解：OA定轴转动，定轴转动，A

22、B、BC均作均作平面运动，滑块平面运动，滑块B和和C均作平动。均作平动。（1）求）求C点的速度点的速度先先对对AB 杆应用速度投影定理：杆应用速度投影定理：30cos60cosABvv033rvvAB再对再对BC 杆应用速度投影定理：杆应用速度投影定理：60sinBCvv)(2323300rrvC 在配气机构中，在配气机构中，OA=r,以等角速度以等角速度 0转动，在某瞬时转动，在某瞬时 =60，AB BC，AB=6r，BC=3 3r，求该瞬时滑块求该瞬时滑块C的的速度和加速度。速度和加速度。例题例题 14配气机构配气机构（2）求求C点的加速度点的加速度先先以以A 为基点为基点求求B 点的加速

23、度：点的加速度：注意注意P1为为AB 杆速度瞬心且杆速度瞬心且P1A=3r 33001rrAPvAAB作加速度矢量图，作加速度矢量图，并沿并沿BA方向投影：方向投影：nBAABaaa60cos60cos例题例题 14配气机构配气机构nBABAABaaaa202023236rrABaABnBA202020334rrraBP2 为为BC 杆速度瞬心且杆速度瞬心且P2C=9r再以再以B 为基点为基点求求C 点的加速度：点的加速度：69123002rrCPvCBC20202123633rrBCaBCnCB将矢量式在将矢量式在BC 方向上投影：方向上投影：20202012312323330cosrrra

24、aanCBBC30例题例题 14配气机构配气机构nCBCBBCaaaa外啮合行星齿轮机构如图所示。曲柄外啮合行星齿轮机构如图所示。曲柄OA绕轴绕轴O作定轴转动，带动齿轮作定轴转动，带动齿轮沿固定齿轮沿固定齿轮的齿面滚动。已知定齿轮和动齿轮的节圆半径的齿面滚动。已知定齿轮和动齿轮的节圆半径分别为分别为r1和和r2，曲柄，曲柄OA在某瞬时的角速度为在某瞬时的角速度为0，角加速度为角加速度为0，求该瞬时齿轮，求该瞬时齿轮上的速度瞬心上的速度瞬心C 和节圆上和节圆上M 点的加速度。点的加速度。0OMr1r20例题例题 15外啮合行星齿轮机构外啮合行星齿轮机构2tAanAa解解：（1）整体分析）整体分析

25、齿轮齿轮作平面运动，啮合点作平面运动，啮合点C是其速度瞬是其速度瞬心，轮心心，轮心A的速度的速度vA为：为：021rrvA方向垂直于方向垂直于OA并与并与0的转向一致。点的转向一致。点A加速度的切向分量加速度的切向分量atA和法向分量和法向分量anA 的大小分别为：的大小分别为：021rratA2021rranA齿轮齿轮的角速度的角速度022122rrrrvA，角加速度，角加速度022122d)(drrrttAMC2tAanAa例题例题 15外啮合行星齿轮机构外啮合行星齿轮机构其中点其中点C 对于基点对于基点A的相对加速度的切向分量的相对加速度的切向分量atCA和法向和法向分量分量anCA的大

26、小分别为：的大小分别为：02122 rrratCA20222122rrrranCAnCAtCAnAtACaaaaa由上式知由上式知atA=atCA，anCA与与anA的方向相反，故速度瞬心的方向相反，故速度瞬心C 的加速度的加速度aC大大小为：小为：2021212021202221nn)(rrrrrrrrraaaACAC方向沿方向沿CA，可见速度瞬心的加速度一般并不等于零。，可见速度瞬心的加速度一般并不等于零。tAanAanCAatCAa（2）求速度瞬心）求速度瞬心C 的加速度：的加速度：选轮心选轮心A为基点，则点为基点，则点C 的加速度为的加速度为AMyx例题例题 15外啮合行星齿轮机构外啮

27、合行星齿轮机构其中各加速度的大小和方向分别为：其中各加速度的大小和方向分别为：选轮心选轮心A为基点，则为基点，则M点的加速度为点的加速度为nMAtMAnAtAMaaaaatAanMAatMAa（3）求）求M点的加速度：点的加速度：021rratA（OA偏左上）偏左上）2021rranA（沿（沿AO连线）连线）22ratMA（MA 偏左上）偏左上）222ranMA（沿（沿MA连线）连线）把上面的矢量式分别投影到把上面的矢量式分别投影到 x 和和 y 轴上，得：轴上，得：021022120212rrrrrrrraaatMAtAMx202212120221220212rrrrrrrrrrraaanM

28、AnAMy2nAa例题例题 15外啮合行星齿轮机构外啮合行星齿轮机构从而求得从而求得 M 点加速度的大小：点加速度的大小：40222120212224rrrrraaaMyMxM 且且 aM 对对 MC 的偏角由下式决定：的偏角由下式决定：20210222 tanrrraaMyMxAMyxMtAanMAatMAa2nAa求求:图示瞬时（图示瞬时（OAB=60 ）B点的速度和加速度。点的速度和加速度。A 平面机构中，曲柄平面机构中，曲柄OA以匀角速以匀角速度度 绕绕O轴转动，曲柄长轴转动，曲柄长OA=r，摆杆摆杆AB可在套筒可在套筒C中滑动，摆杆中滑动，摆杆长长AB=4r，套筒，套筒C绕定轴绕定轴

29、C转动。转动。解：解：由已知条件，由已知条件，OA杆和套筒杆和套筒C均作定轴转动；均作定轴转动；AB杆作平面杆作平面运动。运动。现在现在AB杆上杆上A点的速度和加速度已知，欲求点的速度和加速度已知，欲求B点的速度和点的速度和加速度，需先求加速度，需先求AB杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。AB杆在套筒中滑动，所以杆在套筒中滑动，所以AB杆的角速度、角加速度与套杆的角速度、角加速度与套筒筒C的角速度、角加速度相同。的角速度、角加速度相同。例题例题 16曲柄滑（摆）杆机构曲柄滑（摆）杆机构以以A为动点，套筒为动点，套筒C为动系，则：为动系，则：绝对运动绝对运动以以O点为圆心的圆周运动点为

30、圆心的圆周运动相对运动相对运动沿套筒沿套筒C轴线的直线运动轴线的直线运动牵连运动牵连运动绕绕C轴的定轴转动轴的定轴转动 1 1、速度分析、速度分析rv aAaervvv其中其中例题例题 16曲柄滑（摆）杆机构曲柄滑（摆）杆机构BABAvvv44BAABvABrr其中其中1/2222cos60BABAABAvvvv vr各矢量方向如图中所示。于是解得：各矢量方向如图中所示。于是解得：rv23rrv21ee4ABvAC求求B点的速度：点的速度：例题例题 16曲柄滑（摆）杆机构曲柄滑（摆）杆机构2、加速度分析、加速度分析tnaeerCaaaaa2aar228neABraAC2Cr324ABavr各矢量方向如图所示，将矢量方程中各项向各矢量方向如图所示，将矢量方程中各项向aC方向投影，得到方向投影，得到otaeCcos30aaat2e34art2e38ABaAC其中其中例题例题 16曲柄滑（摆）杆机构曲柄滑（摆）杆机构求求B点的加速度：点的加速度：232tBAABaABrn224BAABraAB将方程中各项分别向将方程中各项分别向aC和和AB方向投影，得到方向投影，得到o=-cos300tBBAAaaatnBABABAaaaa其中其中o21=cos604nBABABaaara/例题例题 16曲柄滑（摆）杆机构曲柄滑（摆）杆机构