（数学）2.3.2平面向量基本定理教学课件(北师大版必修4).ppt

1、2.3.2 平面向量基本定理平面向量基本定理第二章 平面向量 请同学们回顾向量的加法、减法和实数与向量的积，请同学们回顾向量的加法、减法和实数与向量的积，以及向量共线定理以及向量共线定理.1.三角形法则：三角形法则：2.平行四边形法则：平行四边形法则：CBAABCD一一.向量的加法：向量的加法：首尾相连首尾相连共同起点共同起点ababaabbbab二二.向量的减法：向量的减法：BADaba共同起点共同起点 指向被减数指向被减数1.当当 时：时：02.当当 时：时：03.当当 时：时：0与与 方向相同。方向相同。ba方向：方向：长度：长度：ba与与 方向相反。方向相反。ba00ba 三、向量共线

2、定理三、向量共线定理:向量向量 与非零向量与非零向量 共线的充要条件是共线的充要条件是有且只有且只有一个实数有一个实数 ，使得：，使得：baba今天我们继续来学习有关向量的知识：今天我们继续来学习有关向量的知识：设设 、是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量，是是这一平面内的向量，我们研究这一平面内的向量，我们研究 与与 、之间的关之间的关系？系？abccab首先首先，请大家在用请大家在用平行四边形法则平行四边形法则作出作出 、ab2ab2ababcbBaOAMNcC我们一起来作图我们一起来作图（平行四边形法则：起点相同）（平行四边形法则：起点相同）在平面内任取一点在平

3、面内任取一点O O，作，作,OAaOBbOCc 过点过点C C作平行于直线作平行于直线OBOB的直线，与直线的直线，与直线OAOA相交于相交于M M；过点过点C C作平行于直线作平行于直线OAOA的直线，与直线的直线，与直线OBOB相交于相交于N N；你们得到了什么？你们得到了什么？OMONOC 现在要找现在要找 与与 ，与与 的关系，它们有什么样的关系呢？的关系，它们有什么样的关系呢？OM OA OB ON 原来原来 与与 共线共线；与与 共线共线。OM OA OB ON思考：我们能否用思考：我们能否用 ，把把 表示出来呢？表示出来呢？abc所以有且所以有且只有只有一个实数一个实数 ,使得：

4、使得：11OMOA 2ONOB 有且只有一个实数有且只有一个实数 ,使得：使得：2即即 12OCOAOB 12cab思考思考2 2：是否这一平面内的任一向量都可以用是否这一平面内的任一向量都可以用 ，来表示呢？来表示呢？ab 我们作图验证我们作图验证12ab这这样，样，以以 与与 为为基基础，础，我我们们可可以以表表示示这这一一平平面面内内的的所所有有向向量，量，我我们们就就把把这这两两个个向向量量叫叫做：做：表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的基基底底.(2)(2)对你给的这两个向量有什么要求？对你给的这两个向量有什么要求？思考思考3 3：(1)(1)这一平面内所有向量的基底是否

5、唯一呢？大这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大 家作图验证是否可以由其它两个向量来表示家作图验证是否可以由其它两个向量来表示？c我们得到：我们得到：(1)(1)基底不唯一；基底不唯一；(2)(2)要求这两个向量不共线；要求这两个向量不共线；(3)(3)如果基底选定，则如果基底选定，则 ，唯一确定唯一确定,可以为零可以为零.12(3)(3)如果基底选定，如果基底选定，能唯一确定吗？能为零吗能唯一确定吗？能为零吗?12我们得到：这一平面内的任一向量我们得到：这一平面内的任一向量 都可以表示成：都可以表示成：c 既然这两个向量这么特别，我们一般用既然这两个向量这么特别，我们一般用 ，表示表示.1e

6、2e 通过我们的努力，得到了：通过我们的努力，得到了：平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 ，存在唯一一，存在唯一一对实数对实数 ，使，使1e2e a121122aee 我们把不共线的向量我们把不共线的向量 ，叫做表示这一平叫做表示这一平面内所有向量的一组面内所有向量的一组基底基底.1e2e 特别的：特别的：时时,1200a 时时,，与与 共线共线.120,011aea1e时时,，与与 共线共线.120,022ae a2e 例例1 1 已知向量已知向量 、，求作向量，求

7、作向量 .1e2e 122.53ee 1e2e 作法作法:(1):(1)任取一点任取一点O,O,作作(2)(2)作平行四边形作平行四边形OACBOACBBOAC12.5OAe 23OBe 于是于是 就是就是 .OC122.53ee 例例2 2 如右图示，平行四边形如右图示，平行四边形ABCDABCD的两条对的两条对角线相交于点角线相交于点M M，且，且 ，用用 ，表示表示 、和和 .ABa ADbabMAMBMC MD 分析分析:因为因为ABCDABCD为平行四边形可知为平行四边形可知M M为为AC AC 与与BDBD的中点的中点.所以所以MBMD MCMA 12MCAC 12MBDB ACA

8、BADab DBABADab 解解:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中ACABADab DBABADab 121()2MCACab 121()2MBDBab MAMC MDMB 又又1()2MAab 1()2MDab 说明说明:我们在做有关向量的题型时我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和要先找清楚未知向量和已知向量间的关系已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系认真分析未知与已知之间的相关联系,从而使问题简化从而使问题简化.例例3 3 如右图如右图,、不共线，不共线，,用用 、表示表示 .OA OB()APtAB tR OA OB OP 分析：求分析：求 ，由图可

9、知，由图可知 OP OPOAAP APtAB OAtAB ABOBOA 而而 解：解：APtAB OPOAAP (1)t OAtOB 说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解决问题，避免做无用功！决问题，避免做无用功！OAt AB ()OAt OBOA 课堂练习：课堂练习：一、下列说法中，正确的有：一、下列说法中，正确的有：（）1 1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；面所有向量的基底；2 2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该）一个平面内有无数多对不

10、共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；平面所有向量的基底；3 3）零向量不可以为基底中的向量）零向量不可以为基底中的向量.2 2、3 3二、已知二、已知 ABC中中 ，D为为BC边的中点，试用边的中点，试用 ，表示表示 .ABa ACbabAD解：解：11()()22ADabaabADABBD 12ABBC 1()2ABACAB 三、如图，已知梯形三、如图，已知梯形ABCDABCD，AB/CDAB/CD，且，且AB=2DC,MAB=2DC,M、N N分分别是别是DCDC、ABAB的中点的中点.请大家动手请大家动手,从图中的线段从图中的线段ADAD、ABAB、BCBC、DCDC、MNMN对应

11、的向量中确定一组基底，将其它向对应的向量中确定一组基底，将其它向量用这组基底表示出来量用这组基底表示出来.A AN NM MC CD DB B 三、如图，已知梯形三、如图，已知梯形ABCDABCD，AB/CDAB/CD，且，且AB=2DC,MAB=2DC,M、N N分分别是别是DCDC、ABAB的中点的中点.A AN NM MC CD DB B参考答案：参考答案：2e1e12,ABe ADe 解：取解：取 为基底为基底,则有则有11;2DCeBCBAADDC 12112eee 1212ee MNMDDAAN 1211142eee 1214ee课堂小结：课堂小结：今天我们学习了今天我们学习了“平面向量基本定理平面向量基本定理”及其应用及其应用.应用该定理的关键就是要找到未知与已知的联系，这就应用该定理的关键就是要找到未知与已知的联系，这就要求我们对向量的加法的三角形法则、平行四边形法则；要求我们对向量的加法的三角形法则、平行四边形法则；向量减法的三角形法则；向量共线的充要条件这些知识掌向量减法的三角形法则；向量共线的充要条件这些知识掌握熟练！握熟练！在定理中我们要注意在定理中我们要注意“同一平面同一平面”、“两个不共线向两个不共线向量量”、“任一任一”和和“存在唯一一对存在唯一一对”这些关键词这些关键词.