《土木工程测量》课件第07章测量误差理论.ppt

1、中中南南大大学学中中南南大大学学第七章：测量误差与平差中中南南大大学学主要内容主要内容测量误差与精度评定的标准误差传播定律及其应用等精度独立观测值的最可靠值及其中误差按真误差求观测值的中误差不等精度观测系统的中误差估计最小二乘原理与条件平差中中南南大大学学71 测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源1、测量误差现象：设某一量的真值为X，实际观测所得数值为观测值 ，由于观测值 中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误差 。iiLiLiXLii中中南南大大学学2测量误差的来源测量误差的来源观测值中存在误差有下列三方面原因（1）测量仪器

2、测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。例：水准仪：CC不平行LL经纬仪:CC不垂直HH卷尺的尺长（2）观测者感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。例：对中、照准和读数（3）外界条件温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素例：距离丈量；角度和高程测量仪器观测者外界环境这三个因素被统称为观测条件观测条件中中南南大大学学3观测条件与精度观测条件与精度 仪器 观测者 外界环境等精度观测：相同观测条件下进行的观测，测量成果的质量可以说是相同的。不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。误差理论研究的目的：(1)确定最可靠值 (2)评定测量的精度 (3)确定误差的限度这三个因素被统称为

3、观测条件观测条件中中南南大大学学二、测量误差分类及处理二、测量误差分类及处理1、系统误差、系统误差(Systematic error)（1）概念：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。例：量距；水准；角度；（2）来源：仪器自身的缺陷 观测者的习惯 外界条件（3）特点：积累性对测量结果影响较大（4）处理方法：用计算的方法加以改正 用一定的测量方法中以消除 校正仪器中中南南大大学学系统误差举例系统误差举例30 m的钢尺，经鉴定其实际长度为30.005 m，则用该尺每丈量一整尺就有+5mm的误差，随尺段数成比

4、例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。中中南南大大学学二、测量误差分类及处理（续）二、测量误差分类及处理（续）2、偶然误差、偶然误差(Stochastic error)（1）概念：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律。例：估读小数；量距插钎；照准读数；（2）来源：仪器 观测者的感官能力的限制 外界条件（3）特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显（4）处理方法：误差理论中中南南大大

5、学学偶然误差举例偶然误差举例 水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。注意注意：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。中中南南大大学学比较：比较：系统误差与偶然误差系统误差与偶然误差1、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之前不存在；2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。中中南南大大学学二、测量误差分类及处理（续

6、）二、测量误差分类及处理（续）3、粗差、粗差(Gross error)粗差是指超出正常观测条件所出现的、而且数值超出规定的误差。误差量级远远大于前两者，是由于观测或操作失误、记录粗心所造成的。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。20世纪60年代后期，荷兰巴尔达（W.Baarda）教授提出的测量可靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。带有偶然误差的观测列：在一系列观测值中剔除粗差及消减系统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。中中南南大大学学必要的提示必要

7、的提示观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘常数改正、和气象改正等。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。中中南南大大学学实例：观测误差对模型参数确定的影响实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型中中南南大大学学观测点位存在偶然误差时，参数求解结果观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9中中南南大大学学理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在

8、粗差时，参数求解结果观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位含粗差点位中中南南大大学学三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。下面，我们从一个实例多个三角形内角和的误差来看偶然误差的特性。中中南南大大学学观测实例观测实例观测值：三角形内角和L真值：任一三角形内角和的真值X为180XLXcbaLiii:180:,:真误差真值观测值aibici所观测的三角形个数：n=162三角形内角和真误差统计表误差直方图误差直方图误差区间误差出现的频率一定区间内的dnvi2.0

9、d图中正态分布曲线正态分布曲线中中南南大大学学偶然误差的特性总结偶然误差的特性总结（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，简称有界性；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，简称单峰性；（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称对称性；（4）偶然误差的数学期望为零，简称补偿性。即0limlim,0)(1nnEnniin或中中南南大大学学准确度准确度(Accuracy)-精确度精确度(Precision)Accuracy refers to how close a measurement is to the true

10、 value of what is being measured.Precision refers to how close measurements of the same quantity are to each other,even if they are not close to the true value.For example,the darts on the dart boards below represent sets of measurements.A bulls eye represents a perfect measurement-a measurement exa

11、ctly the same as the true value.中中南南大大学学准确(Accuracy)-精确(Precision)中中南南大大学学四、衡量精度的指标四、衡量精度的指标虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的高低，但此方法并不实用。高低，但此方法并不实用。对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需要评定精度的标准。要评定精度的标准。观测条件相同观测条件相同精度

12、相同精度相同对应一条误差分布曲线对应一条误差分布曲线精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小测量中评定精度的标准有以下这些测量中评定精度的标准有以下这些方差、中误差方差、中误差容许误差容许误差相对误差相对误差中中南南大大学学1、方差与中误差、方差与中误差方差(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个数字指标。其数学定义为：中误差(Standard deviation)：方差的平方根测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。nEEEDnlim)()()()(2222nEDnlim)()(2中中南南大大学学偶然误差理论分布曲线偶然误差理论分布曲线正态正态(高斯高斯)分布分

13、布21221121)(21)(0ff22221)(efI-21-0+12II122f()112曲线I表现较陡峭，即误差分布比较集中，或称离散度较小，故观测精度较高。中中南南大大学学中误差的几何意义中误差的几何意义可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。22221)(ef 故得由010)1(21)(2222222ef中中南南大大学学方差与中误差（续）方差与中误差（续）实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量出中误差的估值来代表观测值

14、的精度。在测量中常用中常用m m来表示真误差的估值来表示真误差的估值 。即。即nmn2中中南南大大学学中误差计算实例中误差计算实例76.4625)4()1()7(686.26)3(0)1()2(25222222222222 mm乙甲 有甲乙两组，各自观测了6个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）中中南南大大学学方差与中误差（续）方差与中误差（续）对于一组同精度的观测，各观测值的真误差虽然各不相同，但是各观测值的中误差相同。中中南南大大学学2、容许误差、容许误差容许误差定义 由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许误差或称

15、极限误差。由概率计算可知955.021)22(22222deP997.021)33(33222deP683.021)(222deP中中南南大大学学222)(21)(sxxexf大于3倍中误差的真误差实际上是不可能出现的。因此，通常以3倍中误差作为偶然误差的极限值。在测量工作中一般取2倍中误差作为观测值的容许误差，即容=2m当某观测值的误差超过了容许的2倍中误差时，将认为该观测值含有粗差，而应舍去不用或重测。中中南南大大学学3、相对误差、相对误差真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲(单位)，它们被称为“绝对误差”。相对中误差相对中误差：观测值误差的绝对值与相应观测值之比相对中误差，相对容许误差

16、，相对闭合差，相对较差等T1观测值误差的绝对值相对误差中中南南大大学学相对误差应用实例相对误差应用实例例：甲组：量距例：甲组：量距n次，次，L甲甲=200m，m甲甲=0.02m 乙组：量距乙组：量距n次，次，L乙乙=100m，m乙乙=0.02m前者的相对中误差为1/10000，后者为1/5000。虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，前者显然优于后者。区别区别绝对误差：用于误差大小与观测量的大小无关的观测值，有单位，有符号，用于角度、方向等的观测相对误差：用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此时误差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离等中中南南大大学学7 72

17、 2 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用 在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量中，h=a-b，这时高差h就是直接观测值a、b的函数。当a、b存在误差时，h也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律误差传播定律。中中南南大大学学).().(),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfxfxffZZfZ故按级数展开设独立观测值的函数为一、误差传播定律推导一、误差传播定律推导中中南南大大学学2.22

18、.131321222222212211121nnnnxxxfxxxfxxxfZNnnxfxfxfxxfxxfxxf得个关系式平方后再总和将误差传播定律推导误差传播定律推导（续续）中中南南大大学学误差传播定律推导（续）误差传播定律推导（续）mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnnnmmNNZN22222212222222122222222122.212121或时当得两边除以时当中中南南大大学学二、求任意函数中误差的步骤二、求任意函数中误差的步骤1.列出独立观测值的函数式2.求出真误差关系式，可对函数式进行全微分3.求出中误差关系式),.,(21xxxnfZ

19、).(2211dxdxdxnnxfxfxfdZmxfmxfmxfxnxxZnm22222212.21中中南南大大学学常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式22222221212211222121.3.2.1xnnxxZnnxxZxZmmmkmxkxkxkZmmmxxZkmmkxZkk线性函数和差函数倍数函数中中南南大大学学常用函数的中误差公式注意事项常用函数的中误差公式注意事项1、正确列出函数式；2、函数式中的观测值必须是独立的；3、单位必须统一；中中南南大大学学例例-11、量得某圆形建筑物得直径D=34.50m，其中误差 ，求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长及其中误差：)(03.038

20、.10803.0)01.0(1416.338.10850.341416.3mPmmmDPDP结果可写成中误差mmD01.0中中南南大大学学例例-2差。两点间的高差及其中误求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CAmmmhCBmmmhhBCBChABAB,009.0 ,747.5,012.0 ,476.15 B,A 2.)(015.0223.21015.0223.21747.5476.15009.0012.02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：中中南南大大学学例例-3错误的求解错误的求解3.AC,21.223,0.015,15.476,0.0012,AchA

21、cABhABhmmmABhmmmB C 水准测量从 进行到得高差中误差从 到 得高差中误差求两点间的高差及其中误差。)(019.0747.5019.0012.0015.0747.5476.15223.212222mmmhmmmhhhAChABhAChBCABACBC解：中中南南大大学学例例-3222222221.223 15.4765.7470.0150.0120.0095.7470.009()BCACABACABBChAChABhBChBChAChABBCmmmhhhhhhmmmmmmh 解：中中南南大大学学例例-4错误的求解错误的求解4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为

22、5mm，求全长D及其中误差。)(15.030015053030303001030mDmmmmlDmDlD但解：全长中中南南大大学学例例-4 4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全长中中南南大大学学例例-5及其中误差。求相应水平距离，其中误差并测得倾斜角其中误差丈量倾斜距离Dmmmmss,03000015:,05.0,00.50:中中南南大大学学例例-5m 048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin965

23、9.015coscosm 296.4815cos00.50cos22222222 ssDmDmsDmsDsDsD解：(m)048.0296.48D故中中南南大大学学应用误差传播定律时应注意的两点应用误差传播定律时应注意的两点要正确列出函数式 如例3和 例4在函数式中各个观测值必须是独立的 中中南南大大学学1、水准测量的精度、水准测量的精度12.nhhhhhmmmn站站设每一站高差的中误差均为，则三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用结论结论1：当各观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测：当各观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比。站数的平方根成正比。中中

24、南南大大学学,hmlmL站令则,hLlLnlnlmLmmLll站站设每站距离均为 即全长则1,2hLkmmmL中当时，即 是每公里水准测量高差中误差。每公里往返测高差中数的中误差为结论结论2：当测站高差中误差：当测站高差中误差m站站和两转点间的距离和两转点间的距离L相同时，相同时，为一为一定值，则水准测量的高差与水准路线长度的平方根成正比。定值，则水准测量的高差与水准路线长度的平方根成正比。中中南南大大学学铁路线路水准的限差铁路线路水准的限差mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152)(25.725.7.5.7容许高差闭合差为的中误差即闭合差公里往返高差之

25、差中误差为公里单程水准测量高差则平均值的中误差不大于要求每公里往返测高差铁路线路水准测量中，单单单单中中南南大大学学2、水平角测量精度分析、水平角测量精度分析034327122122122626,6 故铁路线路测量规定为误差，则有若取两倍中误差为容许误差为：两半测回角值之差的中故半测回角的中误差为一测回角的中误差为一测回方向中误差为对于半半方方mmmmmmmmJ中中南南大大学学两测回角值之差的限差两测回角值之差的限差03,422:21226266 为两测回角值之差的限差对于定差，故铁路线路测量规考虑到还有一些其他误误差，则容许误差若取两倍中误差为容许差为：两测回角值之差的中误一测回角的中误差为

26、DJmmm中中南南大大学学3、钢尺量距的精度、钢尺量距的精度差是单位长度的偶然中误，则令DmlmDlmlDmnmmnlDDD中中南南大大学学光电测距的精度光电测距的精度光电测距的基本计算公式中中南南大大学学光电测距的精度光电测距的精度gggggKfnggcDgnDnKDnfncnDcDcKDnfncDmKDmDmfDmnDmcDmKnfncD)2(2)2(21 )2(22000022222222202020中中南南大大学学光电测距的精度（续）光电测距的精度（续）22222222202022222222220202020164212)212)2(2KfgngcDKfnggcDggmmfmnmcm

27、DmmmmfDmnDmcDmfncDfDfKDnfncfD或 光电测距的误差：与距离成比例的比例误差，与距离无关的固定误差。中中南南大大学学7-3等精度独立观测值的下最可靠值及其中误差一、等精度独立观测值的最可靠值 在测量工作中，除了要对观测成果评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然值(Most probable value,MPV)。当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则算术平均值(arithmetic mean)就是观测值的最或然值。中中南南大大学学一、等精度独立观测值的最可靠值（续）（续）1122.lim0

28、limnnnnXXXLLnXXxXnnnnLxXnnnxXLLL n算 术 平 均 值设对某一个量进行了n次同精度观测，得观测值L1,L2,Ln,求该观测量的算术均值。n为无穷大时，算数平均值的极限是观测值的真值，当n为有限时，算数平均值最接近真值，等精度独立观测量的最可靠值是算术平均值。中中南南大大学学一、等精度独立观测值的最可靠值（续）（续）n为无穷大时，算数平均值的极限是观测值的真值，当n为有限时，算数平均值最接近真值，等精度独立观测量的最可靠值是算术平均值。XxnnXnLxXxnnXnLXnLnXXXnnnnLLLlim0lim2211算术平均值中中南南大大学学二二、算术平均值的中误差

29、、算术平均值的中误差nmMnmnmnMnnnnLxLLLn故22222111.11 等精度独立观测量最可靠值的中误差M是单次观测值中误差m的1/（n1/2）倍。设独立观测值L1、L2Ln的中误差为m，则等精度独立观测量最可靠值的计算式可写为如下：中中南南大大学学观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14nmM 测量工作中增加观测次数取平均或者提高单次观测精度是提高测量结果的有效方法。中中南南大大学学三、按最或然误差求观测值的中误差三、按最或然误差求观测值的中误差前面已介绍的中误差公

30、式（见下式）是不实用的 因为其中的真误差是较难得到的。因此，一般我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。观测值的最或然误差是观测量的最或然值x与观测值Li之差，也就是观测值的改正数(correction,residual)，以v来表示。nmiiLxv中中南南大大学学按最或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）012,:)2()1()2()1(2LnLnLxnvvvvnnvXxXxvXLLxvxxixixiiiiii）得由（和得个如上式子两边平方求则令最或然误差中中南南大大学学按最或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）nnnnnnnXLXL

31、XLXnLXxmnnnnnxnx22213121213121222212221)2.2(2)2.22.(1)(.)()(中中南南大大学学按最或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）)1(1222nnvvnmMnvvmvvmmnvvm算术平均值的中误差为（白赛尔公式）故中中南南大大学学例例-6 对某段距离同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。346.539 m163111.2 mm6111.24.6 mm6iiLxnvxLvvmnmMn 次序观测值Li (m)改正数 vi(mm)1346.535+4.02346.548-

32、9.03346.520+19.04346.546-7.05346.550-11.06346.537+2.0中中南南大大学学一、按双观测值之差求观测值的中误差一、按双观测值之差求观测值的中误差对某一量进行同精度的双次观测，其较差为nddmmmmnddnmdLLddd22d,0，则设单次观测中误差为故为较差的真误差故的真值为因7-4 按真误差求观测值的中误差按真误差求观测值的中误差中中南南大大学学例例-6 水准测量在水准点16各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。123456hh”中中南南大大

33、学学例例-6求解求解测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24mmmmmmnddm8.125.22:5.252632中的中误差为每公里往返测平均高差hhd h往测h 返测中中南南大大学学二、按三角形的闭合差求测角中误差二、按三角形的闭合差求测角中误差菲列罗公式）为故每个角的测角中误差差为三角形的内角和的中误(3333211321nmmmmmmmmmnnm中中南南大大学学7-5 不等精度独立观测值的最可靠值及其中误差不等精度独立观测值的最可靠

34、值及其中误差(unequal-precision observations)中中南南大大学学不等精度观测问题不等精度观测问题 若对同一个量进行多次观测，是在不同的观测条件下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法不同，则各观测值的精度是不同的。这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用前面的方法来处理。当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值和相关中误差公式来计算观测值的最或然值和评定其精度。中中南南大大学学一、权一、权(Weight)在处理不同精度的观测值时，精度高的观测值应给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精度的高低，这个参数称为“权(weig

35、ht)”。权越大，精度越高，反之，精度越低。衡量观测值精度相对高低。中中南南大大学学各观测值的权之间的关系：222222112222122222212211:1:1:nnnnnmpmpmpmmmmmmppp或任意给定的常数22iimp2222222121,nnmpmpmp 设观测值L1、L2、L3、.Ln的中误差分别为m1、m2、m3、mn，其相对应的权分别为p1、p2、p3、pn，则权的定义为：一、权(Weight)中中南南大大学学单位权单位权(unit weight)和单位权中误差和单位权中误差单位权：权为1时的权权为1的观测值又称为单位权观测值而为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差

36、。常用 来表示。以任意选定的。即单位权中误差也是可时得，当由2222,1mpmp中中南南大大学学权的计算实例权的计算实例 无论 如何取值，权之间的比例关系并没有改变，这说明衡量精度时，权的绝对值不是主要的，关键是它们之间的比例关系。4,9,366394,1,4491,41,11,3,2,1,7232322222121222323222221212223232222212122121321 mpmpmpmpmpmpmpmpmpmmmLLL时，当时，当时，当则他们的权为其中误差分别为：已知观测值例中中南南大大学学 观测精度的高低可以用权或者中误差表示，观测精度越高，权就越大，中误差越小。中误差是表

37、示观测值精度的一个绝对数字，而权则是比较各观测精度高低的一组相对数字。权的计算实例权的计算实例中中南南大大学学二、确定权的方法二、确定权的方法例8：在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1n2n3进行观测，得相应的算术平均值为L1L2L3,求L1L2L3的权。iiiiiiiinpcncpmcnmnmmpnmmnmmnmmmmmm则若取则令相应的权为：则若观测一次的中误差为。差分别为解：设各观测值的中误,1,22222222332211321 按中误差确定权是求权的基本方法，但是对于一些测量工作，有简单的方法确定权。中中南南大大学学结结 论论 同精度观测时，算术平均值的权与观测次数成

38、正比。权与观测次数成正比根据测回数确定权。用于测角、量距中。中中南南大大学学例9：用同样观测方法，经由长度为L1、L2,、L3的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1、h2、h3。已知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。高差的权为单位权即则若取高差的权为单位权即则取则令解：kmLpckmLpcLcpmcLmmpLmmLmmLmmiiiiiikmikmiikmkmkm2,2,21,1,1,222222332211中中南南大大学学结结 论论高差的权与距离成反比。权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不变。权值变化后，单位权中误差的值也随之改变。可用于水准路线的确权方法。中中南南

39、大大学学例10：的权。、求的中误差均为、设每个设222212.,iiHHmhhhhhHhhhH1nn111221222222111,1,npnpmnmmpnmmnmmiiii则令解：中中南南大大学学结结 论论 权与测站数成反比。对于量边总长度等多尺段之和，权与尺段数成反比。对于水准测量，权与测站数成反比，同一测段，测站越多，权值越小。中中南南大大学学三、加权平均值及其中误差三、加权平均值及其中误差1、不等精度观测量的最或然值设对某角进行了两组观测：第一组测n1个测回，其平均值为L1,第二组测n2个测回，其平均值为L2。问题：如何求该角度的最或然值？中中南南大大学学称为加权平均值）值，有对于多个

40、不等精度观测即最或然值(,2122112122112122112221111212121121nnnnnLLLLLLpppLpLpLpxppLpLpxnnLnLnxLnLLLLnLLLnnxnn 三、加权平均值及其中误差三、加权平均值及其中误差中中南南大大学学2、加权平均值的中误差、加权平均值的中误差22222222212221222222222222122122211pMppppppppppMpmmppmppmppMLppLppLppppLxnniinnnn得根据中中南南大大学学22222222222112211()()().(732).(733)iiiiiiiiL iiL innLLppp

41、mmpmpppnnpnpMn p 构建如下一组权为 的等权虚拟观测值其真误差为：中中南南大大学学22()22 0.(734)iiiiiiixiiiiiiiixixxxiiiiivxLXLvXxvppvvpvpppvvpvppvp xp Lpvp xpLpLxppv 中中南南大大学学222222 1.(736)(1)ppvvp MpvvppppvvpnnpvvpvvnpvvMp np 故故中中南南大大学学3、按最或然值求单位权中误差、按最或然值求单位权中误差这里先给出按最或然值求单位权中误差的公式最或然值中误差1npvv)1(nppvvpM中中南南大大学学4、不等精度观测实例、不等精度观测实例例

42、题：从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si。求E点的最或然高程及其中误差。中中南南大大学学所需计算公式所需计算公式)1(11,1,nppvvpuMnpvvuppLxspcscpiiii则取权中中南南大大学学测段测段高程观测值高程观测值 /m水准路线长度水准路线长度kmLi/iiLP1权vPvPvvAEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.615.1P0Pv0.123Pvv中中南南大大学学E点高程的最或是值为点高程的最或是值为40.050.025

43、.0332.4240.0320.4250.0347.4225.0EHm330.42单位权观测值中误差为单位权观测值中误差为mmnPvv8.7130.1231最或是值中误差为最或是值中误差为mmPM3.715.18.7中中南南大大学学水准观测精度评定结果水准观测精度评定结果最后结果可写成 HE=527.4690.009（m）中中南南大大学学误差理论的综合应用误差理论的综合应用中中南南大大学学水准路线上高程的计算水准路线上高程的计算11231111111113212311111)()()(HHhhHhHHHhfppHpHpHHLLcphhHHLcphHHBAABhBA 闭合差的最或然高程为相应的权

44、为相应的权为A1BM2BMB3L1L2L1h3h2h中中南南大大学学水准路线上高程的计算（续）水准路线上高程的计算（续）)()()()(22112113211111111111111111hhAhAhhhhfLLhfLLhHHfLLhHfLLLLHHppfpHppfHpHpHfHH故中中南南大大学学4、水准路线上高程的计算、水准路线上高程的计算11231111111113212311111)()()(HHhhHhHHHhfppHpHpHHLLcphhHHLcphHHBAABhBA 闭合差的最或然高程为相应的权为相应的权为A1BM2BMB3L1L2L1h3h2h中中南南大大学学水准路线上高程的计

45、算（续）水准路线上高程的计算（续）)()()()(22112113211111111111111111hhAhAhhhhfLLhfLLhHHfLLhHfLLLLHHppfpHppfHpHpHfHH故中中南南大大学学ABCL13LL2ABCD1h2hh3h4h5h676 最小二乘与条件平差原理最小二乘与条件平差原理 一、测量平差概述 中中南南大大学学ABCL13LL2ABCD1h2hh3h4h5h6中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学二、最小二乘原理二、最小二乘原理ytoity=+t iy中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学三、条件平差原理

46、三、条件平差原理 条件平差是以条件方程为出发点，根据准则，求未知量的最佳估值的计算方法。从数学上讲，这是一个求条件极值的问题。中中南南大大学学000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna中中南南大大学学中中南南大大学学求解过程：求解过程：中中南南大大学学中中南南大大学学四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学中中南南大大学学作业：第7章2、4、7、8、9、10