专题复习--线段之和最短课件.ppt

1、专题复习：线段之和最小问题专题复习：线段之和最小问题课本原型课本原型（八年级上）（八年级上）如图所示，牧马人从如图所示，牧马人从A地出发，到一条笔直地出发，到一条笔直的河边的河边l饮马饮马，然后到，然后到B地地.牧马人到河边的牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABPAP 理论依据：两点之间，线段最短理论依据：两点之间，线段最短 用途：求两条线段和的最小值用途：求两条线段和的最小值l求两条线段和的最小值求两条线段和的最小值数学模型：数学模型：（两点同侧）（两点同侧）如图如图1，点，点P在直线在直线l上上 运动，画出一点运动，画出一点P使使PA+PB

2、取最小值取最小值.BlPA图图1BABlP图图2【强调】【强调】1 1、基本图形：、基本图形：两点一线两点一线.2 2、基本解法、基本解法:利用对称性利用对称性,将将“折折”转转“直直”.（在哪条线上找点，就以哪条线为对称轴，把同侧点转化为异侧点）（在哪条线上找点，就以哪条线为对称轴，把同侧点转化为异侧点）（两点异侧）两点异侧）如图如图2，点，点P在直线在直线l上运动，画出上运动，画出一点一点P使使PA+PB取最小值取最小值.例例1.1.（“两定一动两定一动”）如图，菱形如图，菱形ABCDABCD 的两条对的两条对角线分别长角线分别长6 6和和8 8，点，点P P是对角线是对角线ACAC上的一

3、个动点，点上的一个动点，点M M、N N分别是边分别是边ABAB、BCBC的中点，则的中点，则PMPM+PNPN的最小值是的最小值是_A AD DC CB BM MN NP PM MP P5 5 1、在正方形在正方形ABCD中，点中，点E是是BC上的一定点，且上的一定点，且BE=5，EC=7.点点P是是BD上的一动点，则上的一动点，则PE+PC最小值是最小值是_.ABCDEPP13【变式训练】【变式训练】EDABC 2、边长为、边长为2的等边三角形的等边三角形ABC中，点中，点D、E是是AB、AC的中点，在的中点，在BE上找一点上找一点P,使使ADP的最小周长是的最小周长是_.DP3+1【变式

4、训练】【变式训练】P【典型例题】【典型例题】例例2.（“两动一定两动一定”）如图，在锐角）如图，在锐角ABC中，中，AB=，BAC=45，BAC的的平分线交平分线交BC于点于点D，M、N分别是分别是AD和和AB上的动点，上的动点，BM+MN的最小值为的最小值为_24解析：解析：ADAD是角平分线，所以是角平分线，所以具有轴对称，先作具有轴对称，先作N N与与N N关关于于ADAD对称，所以对称，所以M M N N=MN=MN，要使要使BM+MNBM+MN最小，即最小，即BM+MN=BM+MBM+MN=BM+MN N最小，所以最小，所以当当B B，M M，N N在一条直线上在一条直线上时最小，此

5、时为时最小，此时为B BN N的长度，的长度，而而B BN N最小时即为最小时即为B B N N与与ACAC垂直时最小，易求得垂直时最小，易求得BM+MNBM+MN的最小值为的最小值为4 4ABCDNMNNMN 如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，CDBCDB的平的平分线分线DEDE交交BCBC于点于点E E，若点，若点P,QP,Q分别是分别是DEDE和和DCDC上的动点，则上的动点，则PQ+PCPQ+PC的最小值（的最小值（）A.2 B.C.4 D.A.2 B.C.4 D.2224ABCDQPE 如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，CD

6、BCDB的平的平分线分线DEDE交交BCBC于点于点E E，若点，若点P,QP,Q分别是分别是DEDE和和DCDC上的动点，则上的动点，则PQ+PCPQ+PC的最小值（的最小值（）A.2 B.C.4 D.A.2 B.C.4 D.2224BABCDQPEPQQ例例3 3.(“.(“两动两定两动两定”)如图，直线如图，直线l1、l2交于交于O O，A A、B B是两直线间的两点，从点是两直线间的两点，从点A A出发，先到出发，先到l1上上一点一点P P，再从，再从P P点到点到l2上一点上一点Q Q，再回到，再回到B B点，点，求作求作P P、Q Q 两点，使两点，使APAPPQ PQ QBQB最

7、小。最小。Q QP PAB解析：先作出点解析：先作出点A与与 A关于直关于直线线l1对称，则对称，则PA=P A，然后，然后再作再作 B与与B关于关于l2对称，则对称，则QB=Q B连接连接AB交交l1，l2于点于点P，Q，则，则AP+PQ+QB=P A+PQ+Q B，当四点共线时，当四点共线时，AP+PQ+QB最小。最小。ABOl1l2PQ已知：在平面直角坐标系中，点已知：在平面直角坐标系中，点A A（1,3)1,3)、B(4,2)B(4,2)，请问在请问在x x轴上是否存在点轴上是否存在点C C，在，在y y轴上是否存在点轴上是否存在点D D，使得围成的四边形使得围成的四边形ADCBADC

8、B周长最短，若存在，请周长最短，若存在，请求出求出C C、D D点的坐标点的坐标.xyAOBADCB直线直线AB解析式：解析式：y=-x+2C（2，0）D（0，2）此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等为图形背景，它们方形、圆、坐标轴、抛物线等为图形背景，它们都有一个都有一个轴对称图形轴对称图形的共同点，解题时只有从变的共同点，解题时只有从变化的背景中提取出化的背景中提取出“两点一线两点一线”的数学模型，再的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用线段和，利用

9、“两点之间线段最短两点之间线段最短”，实现，实现“折折”转转“直直”即可解决即可解决.有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，仍然可以转化值，一般此时会含有定长的线段，仍然可以转化为为“两点一线两点一线”的问题的问题【反思总结】【反思总结】1 1、如图，点如图，点A（0，2），点），点B（6，6），），C是是X轴上一动点，若使轴上一动点，若使AC+BC最小，则点最小，则点C坐标是坐标是_.（1.5,0）OAABCx（0,2）（6,6）（0,-2）【练习】【练习】【练习】【练习】2、如图、如图2，等边，等边ABC的边长为的边长

10、为6，AD是边是边BC上上的中线，的中线，M是是AD上的动点，上的动点，E是边是边AC上的一点，上的一点，若若AE=2，EM+CM的最小值为的最小值为_.1 3.如图如图3，O的半径为的半径为2，点，点A，B，C在在 O上，上，OAOB,AOC=600，P是是OB上一动点，上一动点，PA+PC的最小值为的最小值为_.图图3AOBC图图272324 4、已知：抛物线、已知：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)的对称轴为的对称轴为x=-1，与，与x轴交轴交 于于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C C，其中，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1 1）求这条抛物线的函

11、数表达式）求这条抛物线的函数表达式 （2 2）已知在对称轴上存在一点）已知在对称轴上存在一点P，使得，使得PBC的周长最小的周长最小 请求出点请求出点P的坐标的坐标【练习】【练习】课本原型课本原型（七年级（下）如图所示，在三角形ABC中，分别量出三个三角形的三边长度，计算三角形的任意两边之差并与第三边比较，你能得到什么结论？BA C即：三角形任意两边之差小于第三边即：三角形任意两边之差小于第三边AB-ACBC应用：求两条线段差的最大值应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当当P在直线运动到在直线运动到D 时，（时，（ABAC）取最大取最大

12、PB CD【常见模型】模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。画出一点P，使|PAPB|取最大值；模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl图1图2【典型例题】例例1 1：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，点，点P P在在x x轴上轴上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时的值最大时，求出此时点点P P 的坐标的坐标yxOABPP P分析：分析：“两点同侧两点同侧”当点当点P、A、B不在一条直线上时，不在一条直线上时，|PA-PB|AB，所以当所以当|PA-PB|的

13、值最大时，此时的值最大时，此时点点p、A、B在一条直线上，即直线在一条直线上，即直线AB与与x轴的交点为轴的交点为P。解析：当解析：当|PA-PB|PA-PB|取最大时，此时点取最大时，此时点P P、A A、B B在一条在一条直线上，设直线直线上，设直线ABAB：y=kx+by=kx+b将将A(0,1)A(0,1)B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直线所以直线ABAB：y=x+1y=x+1，又因为点，又因为点P P在在x x轴上，轴上，易求点易求点P P（-1-1，0 0）【典型例题】例例2 2：已知：点：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(

14、3,0)，点，点P P在直线在直线x=2x=2上上运动时，当运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点的值最大时，求出此时点P P的坐标的坐标yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“两点异侧两点异侧”由题知：由题知：|PA-PB|AB，所以当，所以当|PA-PB|的值最大时，先找出点的值最大时，先找出点B关于直线关于直线x=2的对称点的对称点Bl，连接，连接AB与直线与直线x=2的的交点即为所求点交点即为所求点P，此时满足：此时满足：|PA-PB|的值最大；的值最大；解析：点解析：点B B与点与点B Bl l关于直线关于直线x=2x=2对称，对称，B B（3,03,0），得）

15、，得B B（1 1，0 0）；易求直线）；易求直线ABAB：y=-x+1,y=-x+1,因为点因为点P P在在x=2x=2上，所以联立可解得：上，所以联立可解得：P(2,-1)P(2,-1)设计设想 从近年的中考数学题型来看，经常考查距离最值的问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。学生对几何极值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的所潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。希望能通过此了复习达到预想的目标。在具体复习过程中，将此类问题归类建模，我们知道，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教学中，要洗染引导学生通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学模型。