2020年江苏高考数学复习练习课件第七章§7.3 基本不等式及不等式的应用.pptx
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1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线 x+y=0的距离的最小值是 .,答案 4,解析 本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基 本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何 关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= = 4,当且仅当x0= , 即x0= 时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,一题多解 当
2、点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P ,x00,易知y=1- , 令1- =-1,得 =2. x00,x0= ,P( ,3 ). 此时点P到直线x+y=0的距离为 =4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,2.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .,答案 9,解析 解法一(面积法):利用SABC=SABD+SBCD, 得 acsin 120= csin 60+ asin 60, 则ac=a+c,即 + =1, 所以4a+c=
3、(4a+c) =5+ + 9,当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9. 解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A ,C ,D (1,0),由A,D,C三点共线, 得 = ,化简得ac-a-c=0,即 + =1, 所以4a+c=(4a+c) =5+ + 9, 当且仅当a= ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.,3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为
4、y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.,4.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0, tan B+tan C0,tan Btan
5、C1, tan Atan Btan C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0, tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= ,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,一题多解 由已知得sin Bsin C= sin A, 令cos Bcos C=tcos A, 则得tan Btan C= tan A, -得cos A= sin A-tcos A, 即(1+t)cos A= sin Atan A=2(1+t), 故tan Atan Btan C= tan2A= 2(1+t)2= =8,
6、当且仅当t=1,即cos Bcos C=cos A,即tan A=4时取等号.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运 算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, = = =2 + 2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4 .,2.(2018天津文,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本
7、不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = . 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .,易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.,3.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立)
8、, =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,4.(2017山东文改编,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,5.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .,答案 3,解析 设 =m, =
9、n,则m,n均大于零, 因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2, 所以m+n , 所以 + =3 , 当且仅当 = ,即a= ,b= 时“=”成立,所以所求最大值为3 .,C组 教师专用题组,考点 基本不等式及不等式的应用,1.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 .,答案 2,解析 x2+2y22 =2 xy=2 ,当且仅当x= y时取“=”,x2+2y2的最小值为2 .,2.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造 价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低
10、总造价是 (单位:元).,答案 160,解析 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy1=4xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202 =80+204=160(当且仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元.,3.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .,答案,解析 b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2 ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+ b2+c2=1,得1-a2=b2+c2 = ,a2 ,- a ,
11、 故a的最大值为 .,4.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则当a= 时, + 取得最小值.,答案 -2,解析 a+b=2, + = + = + = + + +2 = +1. 当且仅当 = 且a0时, + 取得最小值,此时可求得a=-2.,5.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的 最大值为 .,答案 1,解析 由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2, = = . 又x、y、z为正实数, + 4, 当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2. + - = + - =- + =- +
12、1,当 =1,即y=1时,上式有最大值1.,评析 本题考查基本不等式及其应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 基本不等式及其应用,1.(2019常州期末,9)已知正数x,y满足x+ =1,则 + 的最小值为 .,答案 4,解析 + = 1= =2+ + 2+2 =4,当且仅当 = ,即y=x2时, 取“=”,故 + 的最小值为4.,名师点睛 本题考查利用基本不等式求最值.将 + 看成 1,进行“1”的代换,就可以 利用基本不等式.本题同时考查计算能力,属于基础题.,2.(2019宿迁期末,9)已知正实数a,b满足a+2b
13、=2,则 的最小值为 .,答案,解析 解法一:由a+2b=2得a=2-2b0,所以0b1, 则 = ,令f(b)= , 则f (b)= = = , 当b 时, f(b)递减,当b 时, f(b)递增, 所以,当b= 时, f(b)有唯一的极小值,即是最小值, f = = , 所以 的最小值为 . 解法二:a+2b=2, +b=1, = = = + = = + + 2 + = , 当且仅当3a=4b,即a= ,b= 时取“=”.,3.(2019镇江期末,12)已知x0,y0,x+y= + ,则x+y的最小值为 .,答案 3,解析 因为(x+y)2=(x+y)(x+y)=(x+y) =5+ + 5
14、+2 =9,当且仅当y=2x时取 “=”. 又x0,y0,所以x+y3.,方法点拨 看到等号右边的 + 以及结论中的x+y,联想到用 (x+y)求最值.,4.(2019无锡期中,12)设x,y为正实数,且 + =1,则xy的最小值为 .,答案 27,解析 对于 + =1,去分母得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)(2+y),即xy=x+3y+9,又x,y为正实数,所 以xy2 +9(当且仅当x=3y,即x=9,y=3时,取“=”), 即xy-92 ,两边平方,得(xy)2-30(xy)+810, 解得xy3或xy27, 由xy2 +9,知xy3不成立, 所以xy27.,5.(2019如皋期
15、末,11)已知正实数x,y满足x+2y=2,则 的最小值是 .,答案,解析 因为x+2y=2,x+2y2 ,所以xy , 因为 =xy+ -3, 又因为x,y都是正实数,且xy , 所以令t=xy , f(t)=t+ -3,易知f(t)在 上是单调递减的, 所以当xy= 时,原式取最小值,为 + -3= .,思路分析 要求 的最小值,先将其展开化简得xy+ -3,由此需要求出xy的取值 范围,根据均值不等式求出xy ,再利用函数的单调性易得当xy= 时,原式取最小值,求得结 果.,易错警示 本题主要考查了均值不等式以及结合函数的单调性求最值.本题易错答案为2 - 3,主要是没有考虑到均值不等式
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