2020年江苏高考数学复习练习课件第二十一章§21.3 不等式选讲.pptx

1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点一 绝对值不等式,1.(2019江苏,21C,10分)设xR,解不等式|x|+|2x-1|2.,解析 本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 当x2,解得x2,即x 时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1. 综上,原不等式的解集为 .,2.(2016江苏,21D,10分)设a0,|x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a.,证明 因为|x-1| ,|y-2| , 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| 2|x-1|+|y-2|2 + =a.,解后反思 利用绝对值的三角不等式求最值时,可借助:|a

2、|-|b|ab|a|+|b|来求解,但一定要 注意等号成立的条件.,3.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|2.,解析 原不等式可化为 或 解得x-5或x- . 综上,原不等式的解集是 .,考点二 不等式的证明,1.(2018江苏,21D,10分)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.,解析 本题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力. 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2, 因为x+2y+2z=6, 所以x2+y2+z24, 当且仅当 = = 时等号成立, 此时x= ,y= ,z= . 所以x

3、2+y2+z2的最小值为4.,思路分析 本题是柯西不等式的基本应用. 根据( + + )( + + )(a1b1+a2b2+a3b3)2来构造(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2,合理而自 然.,2.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.,证明 本题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力. 由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264, 因此ac+bd8.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 绝对值不等

4、式,1.(2015山东改编,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是 .,答案 (-,4),解析 当x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解. 综合知x4.,2.(2019课标全国理,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围.,解析 本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成 立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核 心素养. (1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|

5、x-2|(x-1). 当x1时, f(x)=-2(x-1)20;当x1时, f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0,所以a1, 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0, 所以,a的取值范围是1,+).,思路分析 (1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a 1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)0,求解即可.,3.(2018课标全国理,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时

6、,求不等式f(x)0的解集; (2)若f(x)1,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)= 可得f(x)0的解集为x|-2x3. (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4. 而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)1等价于|a+2|4. 由|a+2|4可得a-6或a2. 所以a的取值范围是(-,-62,+).,方法总结 解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含 有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.,4.(2018课标全国文,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

7、 (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 . (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为 , 所以 1,故0a2. 综上,a的取值范围为(0,2.,方法技巧 1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号, 从而转化为分段函数来解决.,2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值

8、三角不等式解决.3.不等式 的恒成立问题可转化为最值问题.注意:在xD上,当f(x)存在最小值时, f(x)a恒成立af(x)max.,5.(2018课标全国理,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值.,解析 本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题. (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且 仅当a3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.,易错警

9、示 对“零点分段法”的理解不到位 若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零 时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区 间),在每一段区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以 去掉绝对值符号.,解后反思 绝对值不等式问题常见类型及解题策略 (1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解. (2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,然后再求参数的取 值范围.,6.(2017课标全国理,23,10分)已知函数f(x)=|x+

10、1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,解析 本题考查绝对值不等式的解法. (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =- + , 且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= . 故m的取值范围为 .,7.(2017课标全国理,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,

11、求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,解析 本题考查绝对值不等式的求解. (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x1时,式化为x2+x-40,从而1x . 所以f(x)g(x)的解集为 . (2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,方法总结 含绝对值不等式问题的常见解法: (1)含

12、绝对值不等式的求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解. (2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.,8.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= (4分) y=f(x)的图象如图所示. (6分) (2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (8分),故f(x)1的解集为x|11的解集为 . (10分),评析 本题主要考查利用零点分段法解含有绝对值的不等式,利用数形结合的

13、思想方法求解 更为方便、准确.,9.(2016课标全国理,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (5分) (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x= 时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (7分) 当a1时

14、,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+). (10分),评析 本题主要考查了绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,要f(x)+g(x)3恒成立,只需 f(x)+g(x)的最小值3即可.,10.(2015课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10. 当x-1时,不等式化为x-40,无解; 当-10,解得 0,解得1x1的解

15、集为 . (5分) (2)由题设可得, f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)26,故a2. 所以a的取值范围为(2,+). (10分),考点二 不等式的证明,1.(2019课标全国理,23,10分)设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.,解析 本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了 逻辑推理的核

16、心素养. (1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2 =(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1) 3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2, 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 , 当且仅当x= ,y=- ,z=- 时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为 . (2)由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2) 3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2, 故由已知得(x

17、-2)2+(y-1)2+(z-a)2 ,当且仅当x= ,y= ,z= 时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为 .,由题设知 ,解得a-3或a-1.,难点突破 (1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作三个整 体,转化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量 关系(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)23(a2+b2+c2). (2)只需证明(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min

18、, 求(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min的方法同第(1)问.,2.(2019课标全国文,23,10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1) + + a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,证明 (1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca= = + + .所以 + + a2+b2+c2. (2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2 )(2 )(2 )=24. 所以(a+b)3

19、+(b+c)3+(c+a)324.,一题多解 (1)因为abc=1,a,b,cR+, 所以 + + = + + =bc+ac+ab + + =a2+b2+c2. (2)因为a,b,cR+,abc=1, 所以 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 = (ab +(bc +(ca 3 = 3=1. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,3.(2017课标全国理,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a

20、3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38,因此a+b2.,失分警示 运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中 易因逻辑混乱而失分.,4.(2015课标全国,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,abcd得( + )

21、2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,5.(2015陕西,24,10分)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值; (2)求 + 的最大值.,解析 (1)由|x+a|b,得-b-axb-a, 则 解得a=-3,b=1. (2) + = + =2 =4, 当且仅当 = ,即t=1时等号成立, 故( + )max=4.

22、,6.(2015湖南,16(3),12分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,证明 由a+b= + = ,a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1 矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.,C组 教师专用题组,考点一 绝对值不等式,1.(2013江西理,15(2),5分)在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为 .,答案

23、0,4,解析 原不等式可转化为-1|x-2|-11,故0|x-2|2,解得0x4,故所求不等式的解集为0, 4.,2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围 是 .,答案,解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2 -1a .,3.(2014福建,21(3),7分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.,解析 (1)因为|x+1|+|x-2|(x+1

24、)-(x-2)|=3, 当且仅当-1x2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2 =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r23.,评析 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与 转化思想.,4.(2013辽宁理,24,10分)已知函数f(x)=|x-a|,其中a1. (1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.,

25、解析 (1)当a=2时, f(x)+|x-4|= 当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1; 当2x4时, f(x)4-|x-4|无解; 当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5, 所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5. (4分) (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)= 由|h(x)|2,解得 x . 又已知|h(x)|2的解集为x|1x2, 所以,于是a=3. (10分),5.(2012江苏,21D,10分)已知实数x,y满足:|x+y| ,|2x-y| ,求证:|y| .,证明 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2

26、x-y)|2|x+y|+|2x-y|, 由题设知|x+y| ,|2x-y| , 从而3|y| + = , 所以|y| .,评析 本题主要考查绝对值不等式的基础知识,考查推理论证能力.,6.(2011江苏,21D,10分)解不等式:x+|2x-1|3.,答案,解析 原不等式可化为 或 解得 x ,或-2x ,故不等式的解集为 .,考点二 不等式的证明,1.(2014陕西,15A,5分)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 .,答案,解析 根据柯西不等式得 = |ma+nb|= ,当且仅当 = (a2 +b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故

27、的最小值为 .,2.(2014江苏,21D,10分)选修45:不等式选讲已知x0,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.,证明 因为x0,y0, 所以1+x+y23 0, 1+x2+y3 0, 故(1+x+y2)(1+x2+y)3 3 =9xy.,3.(2014课标全国,24,10分)若a0,b0,且 + = . (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,解析 (1)由 = + ,得ab2,且当a=b= 时等号成立. 故a3+b32 4 ,且当a=b= 时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4 . (2)由(1)知,2a+3b2 4 .

28、 由于4 6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.,4.(2014福建,21(3),7分)(选修45:不等式选讲) 已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.,解析 (1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1x2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2 =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r

29、23.,评析 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与 转化思想.,5.(2013江苏,21D,10分)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.,证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为ab0, 所以a-b0,a+b0,2a+b0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)0, 即2a3-b32ab2-a2b.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019南京、盐城二模,21C)解不等式:|2x-1|-x2.,解析

30、当x 时,2x-1-x2,解得x3. (4分) 当x 时,1-2x-x2,解得x- . (8分) 综上,原不等式的解集为 . (10分),2.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,21C)已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x-1)+f(x+3)6; (2)若|a|a|f .,解析 (1)f(x-1)+f(x+3)6, |x-2|+|x+2|6. 当x2时,x-2+x+26,解得x3. 不等式的解集是(-,-33,+). (4分) (2)证明:要证f(ab)|a|f ,即证|ab-1|b-a|, 只需证(ab-1)2(b-a)2, 又(ab-1)2-(b-a)2=a2b2

31、-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1), |a|0, 原不等式成立. (10分),3.(2019南京期初调研,21C)已知a,b,c是正数,且a+b+c=1,求 + + 的最小值.,解析 由a,b,c是正数及柯西不等式, 得(a+b+c) + + 2=25. (4分) 因为a+b+c=1, 所以 + + 25. (6分) 当且仅当 = = 时取等号, 此时a= ,b=c= . 所以 + + 的最小值为25. (10分),4.(2019苏州3月检测,21C)已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsin2c,求证: cos2+ sin2 .,证明 由柯西不等式,得 cos2+ sin2 (

32、 cos )2+( sin )2 (cos2+sin2 =(acos2+bsin2 .,5.(2019七市第二次调研,21C)已知x,y,z均是正实数,且x2+4y2+z2=16,求证:x+y+z6.,证明 由柯西不等式得x2+(2y)2+z2 (x+y+z)2. (5分) 因为x2+4y2+z2=16,所以(x+y+z)216 =36, 所以x+y+z6,当且仅当“x=4y=z”时取等号. (10分),6.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,21C)已知x0,求证:x3+y2+33x+2y.,证明 因为x0,所以x3+2=x3+1+13 =3x, 当且仅当x3=1,即x=1

33、时取“=”. (4分) 因为y2+1-2y=(y-1)20,所以y2+12y, 当且仅当y=1时取“=”. (8分) 所以(x3+2)+(y2+1)3x+2y, 即x3+y2+33x+2y,当且仅当x=y=1时,取“=”. (10分),7.(2019徐州检测,21D)已知x、y、z均为正数,求证: + + .,证明 由柯西不等式得(12+12+12) (当且仅当x=y=z时取“=”). (5 分) 则 + + , 即 . (10分),8.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,21C)已知实数a,b,c满足a2+b2+c21,求证: + + .,证明 由柯西不等式,得 (a2+1)+(b

34、2+1)+(c2+1) =9(当且仅当a2=b2=c2时取“=”), (5分) 所以 + + = . (10分),解答题(共70分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：70分),1.(2019南京三模,21B)若x,y,z为实数,且x2+4y2+9z2=6,求x+2y+6z的最大值.,解析 由柯西不等式,得x2+(2y)2+(3z)2(12+12+22)(x+2y+6z)2. (4分) 因为x2+4y2+9z2=6,所以(x+2y+6z)236, (6分) 所以-6x+2y+6z6. 当且仅当 = = 时取等号, 此时x=1,y= ,z= 或x=-1,y=-

35、 ,z=- , (8分) 所以x+2y+6z的最大值为6. (10分),2.(2019苏中、苏北七市三模,21C)已知aR,若关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a|=0有实根,求a的取 值范围.,解析 因为关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a|=0有实根, 所以=16-4(|a-1|+|a|)0,即|a-1|+|a|4. (4分) 当a1时,2a-14,解得1a ; 当0a1时,14,恒成立,即0a1; 当a0时,1-2a4,解得- a0. 综上,所求a的取值范围为- a . (10分),3.(2019南通期末三县联考,21C)已知x,y,z均为正数,且 + + ,求证:x+4y+9z

36、10.,证明 因为x,y,z均为正数,所以x+1,y+1,z+1均为正数, 由柯西不等式得 (x+1)+4(y+1)+9(z+1) (1+2+3)2=36, 当且仅当(x+1)2=4(y+1)2=9(z+1)2时,等号成立. (6分) 因为 + + , 所以(x+1)+4(y+1)+9(z+1)36 =24, 所以x+4y+9z10. (10分),4.(2019海安期末,21C)已知x,y,z均为正数,且x+y+z=1,求 + + 的最小值.,解析 因为x,y,z均为正数, 所以 (1+x+1+y+1+z)(x+y+z)2. (5分) 因为x+y+z=1,所以 + + (当且仅当x=y=z=

37、时,“=”成立). (8分) 所以 + + 的最小值为 . (10分),5.(2019徐州期中,21D)对于实数x,y,若满足|x-1|1,|y-2|1,求|x-2y+1|的最大值.,解析 |x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|x-1|+2|y-2|+21+21+2=5. |x-2y+1|的最大值为5.,6.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,21C)若正数a,b,c满足a+2b+4c=3,求 + + 的最小值.,解析 因为正数a,b,c满足a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10, 所以 (a+1)+2(b+1)+4(c+1)(1+ +2)2,

38、 (5分) 即 + + , 当且仅当a= ,b= ,c= 时,取最小值 . (10分),7.(2019南通基地学校3月联考,21C)已知定义在R上的函数f(x)=|x-2|-|x|,若a(0,1),b(0,1),c (0,1), f(a)+f(2b)+f(c)=3,求 + + 的最大值.,解析 因为a(0,1),b(0,1),c(0,1), 所以f(a)+f(2b)+f(c)=2-2a+2-4b+2-2c=3, 即2a+4b+2c=3. (3分) 由柯西不等式得,(12+12+12)( )2+( )2+( )2(1 +1 +1 )2, (6分) 所以 + + =3. 当且仅当 = = ,即a=

39、2b=c= 时等号成立, 所以 + + 的最大值为3. (10分),C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019 53原创题)已知a2+b2=1. (1)求证: 1; (2)若ab0,求(a+b)(a3+b3)的最小值.,解析 (1)证明:要证原不等式,即证|a-b|1-ab|, 即证(a-b)2(1-ab)2, 即证(a2-1)(1-b2)0, a2+b2=1, a21,b21, (a2-1)(1-b2)0,故原不等式成立. (5分) (2)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+a3b+b4a4+2 +b4= =1, 当且仅当a=b= 或a=b=- 时,(a+b)(a3+b3)取到最小值1. (10分),2.(2019 53原创题)已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|. (1)求不等式f(x)6的解集; (2)若g(x)=ax2-2ax+1,x1,x2R,总有f(x1)g(x2)成立,求a的取值范围.,解析 (1)f(x)6|2x-4|+|x+1|6 或 或 解得2x3或-10时,不满足条件; 当a=0时,g(x)=1,满足条件; 当a0时,g(x)max=g(1)=1-a,由1-a3得-2a0. 故a的取值范围为-2,0.,