2020年浙江高考数学复习练习课件:§8.1 空间几何体的三视图、面积和体积.pptx
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- 2020 浙江 高考 数学 复习 练习 课件 8.1 空间 几何体 视图 面积 体积 下载 _二轮专题_高考专区_数学_高中
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1、A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异” 称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体 的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.158 B.162 C.182 D.324,答案 B 本题考查空间几何体的三视图、直观图;以三视图还原直观图为背景考查学生的 空间想象能力和运算求解能力;体现直观想象的核心素养;以祖暅原理为背景旨在弘扬中华优 秀传统文化,指导学生树立正确的历史观、民族观、国家观. 由三视图知该柱体
2、的直观图为如图所示的五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1, 取CD中点G,连接AG, 由侧视图知AGCD,AG=6, 底面积S=S梯形AGCB+S梯形AGDE= (2+6)3+ (4+6)3=27, 该柱体体积V=Sh=276=162.故选B.,解题关键 正确利用正视图与俯视图“长对正”的原理确定AG,BC的长.,2.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 C 本题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式. 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底
3、边的长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V= 22=6 cm3.,思路分析 (1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱; (2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.,3.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3,答案 A 本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如 图,三棱锥的高为3 cm,底面ABC中,AB=2
4、 cm,OC=1 cm,ABOC.故其体积V= 123+ 213= cm3.故选A.,4.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( ) A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3,答案 C 该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成的几何 体.故其体积为V=222+ 222= cm3.,5.(2016浙江,14,4分)如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上 的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .,解析 连接PA,取PA的中点N
5、,连接BN,DN,PD=DA,PB=BA,DNPA,BNPA,又DNBN =N,PA面BDN,PABD,过A作AMBD,交BD的延长线于M,连接PM,又PAAM=A, BD面PAM,又BD面ABC,面PAM面ABC,过P作PHAM,垂足为H,又面PAM面 ABC=AM,PH面ABC,即PH为四面体PBCD的高.设PD=AD=x(0x2 ),而PHPMPD= x,VP-BCD= SBCDPH= 2(2 -x)sin 30PH (2 -x)x= (-x2+2 x)= -(x- )2+3 ,当且仅当x= 时,等号成立.当点D为AC的中点时,四面体PBCD的体积取得最大值 .,答案,评析 本题主要考查
6、空间点、线、面的位置关系以及几何体的体积,函数的最值问题,考查 学生的空间想象能力以及逻辑思维能力,考查数形结合思想、函数思想以及转化与化归思想 的应用.正确表示出四面体PBCD的高是解决本题的关键.求解有关体积的最值问题一般采用 函数思想的方法.,考点一 空间几何体的结构特征、三视图和直观图,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,1.(2018课标全国文,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N的路径中,最短路径的长度为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2,答案 B
7、 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径. 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线, 沿FN将圆柱侧面展开,如图2所示,MN即为从M到N的最短路径,由题知,ME=2,EN=4,MN= =2 .故选B. 图1 图2,方法点拨 1.由三视图还原直观图需遵循以下三步: (1)看视图明关系;(2)分部分想整体;(3)合起来定整体.,2.解决空间几何体表面上两点间的距离的常用方法:把立体图形展为平面图形,利用两点之间 线段最短进行求解.,2.(2018北京理,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( ) A.
8、1 B.2 C.3 D.4,答案 C 本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系. 由三视图得四棱锥的直观图如图所示. 其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB 底面ABCD,得SDAD,SDDC,SDAB,故SDC,SDA为直角三角形,又ABAD,AB SD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD,又SA平面SAD,ABSA,即SAB也是 直角三角形,从而SB= =3,又BC= = ,SC=2 ,BC2+SC2SB2, SBC不是直角三角形,故选C.,3.(2018课标全国文,3,5分)中国古建筑
9、借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),答案 A 本题考查空间几何体的三视图. 两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.,4.(2017课标全国理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和 等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若 干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16,答案 B
10、本题考查立体几何中的三视图问题,考查学生的运算求解能力和空间想象能力. 由多面体的三视图还原直观图如图. 该多面体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A 是梯形,则梯形的面积之和为2 =12.故选B.,题型归纳 有关三视图的基本问题一般有两类:一类是根据给定的空间几何体(或物体模型) 画出该几何体(或物体模型)的三视图;另一类是已知某几何体的三视图,想象该几何体的结构 特征,画出该几何体的空间图形.,5.(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2,答案 B
11、本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正 方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD= =2 .故选B.,6.(2019北京理,11,5分)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如 果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .,解析 本题考查了直观图和三视图,考查了空间几何体的体积,考查了空间想象能力和数学运 算能力.考查的核心素养为直观想象与数学运算. 由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.它是由棱长为4的正方体去掉一个底面为直角梯 形、高为4的直四棱柱后的几何
12、体,其体积V=43- (2+4)24=40.,答案 40,解题关键 由三视图正确得到直观图是关键.该几何体也可看作由一个长方体与一个直三棱 柱组合而成.,7.(2019课标全国理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” (图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对 称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空 3分) 图1,
13、图2,答案 26; -1,解析 本题考查空间几何体的结构特征,空间几何体的直观图等知识;考查空间想象能力,运算 求解能力和应用意识;考查的核心素养为直观想象和数学运算.通过金石文化体现和弘扬中华 优秀传统文化. 半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面.半正多面体的所有顶点 都在同一个正方体表面上,如图1,该正方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面截得的图形如图 2.八边形ABCDEFGH为正八边形. 图1,图2 设AB=a,则1=2 a+a,解得a= -1.,解题关键 将半正多面体顶点所在的正方体画出是关键,再选取合适的截面即可求解.,思路分析 该题
14、是多面体切接问题,尽量选取多个顶点所在的截面ABCDEFGH,并确定其形状 为正八边形,根据边之间的关系列出方程求解即可.,疑难突破 将半正多面体放置在相应的正方体中,有更强的对称性和直观性,解题将有突破性 的进展.,1.(2018课标全国文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截 该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ( ) A.12 B.12 C.8 D.10,考点二 空间几何体的表面积,答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2 ,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=
15、12. 故选B.,解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.,2.(2016课标全国,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32,答案 C 由三视图可得圆锥的母线长为 =4,S圆锥侧=24=8.又S圆柱侧=224= 16,S圆柱底=4,该几何体的表面积为8+16+4=28.故选C.,思路分析 先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后求 该几何体的表面积.,3.(2016课标全国,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三 视图
16、,则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,答案 B 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3 ,则该几何 体的表面积S=232+233 +236=54+18 .故选B.,易错警示 由于空间想象能力较差,误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积是造成失分的 主要原因.,评析 本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积,考查了空间想象能力.掌握侧面的形状 是求解的关键.,4.(2016课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ( ) A.17 B.1
17、8 C.20 D.28,答案 A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去 后剩下的部分,设球的半径为R,则该几 何体的体积为 R3,即 = R3,解得R=2.故其表面积为 422+3 22=17.选A.,评析 三视图问题主要考查空间想象能力.本题考查内容较多,其中包括球的体积、表面积 的求法.属中等难度题.,5.(2015课标,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256,答案 C SOAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB, 当OC平面OAB时,VC-OA
18、B最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max= R2R= R3=3 6,R=6,球O的表面积S=4R2=462=144.,评析 点C是动点,如果以ABC为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以OAB为 底面(SOAB为定值),这样高越大,体积越大.,6.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ B.2+ C.1+2 D.2,答案 B 四面体的直观图如图所示. 侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是 的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC= ,AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,SO
19、平面ABC,SOBO.又OS=OB=1, SB= ,故SAB与SBC均是边长为 的正三角形,故该四面体的表面积为2 + 2 ( )2=2+ .,7.(2017课标全国文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直 径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .,答案 36,解析 由题意作出图形,如图.,设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC= R.连接 OA,OB, 则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平
20、面SCB,所 以OAOB,则AB= R, 所以ABC是边长为 R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1. 则OO1平面ABC,CO1= R= R,则OO1= = R, 则VS-ABC=2VO-ABC=2 ( R)2 R= R3=9, 所以R=3.,所以球O的表面积S=4R2=36.,1.(2019课标全国理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为 ( ) A.8 B.4 C.2 D. ,考点三 空间几何体的体积,答案 D 本题考查线面垂直的位置关系、三棱
21、锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能 力和数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模. 解法一:E、F分别是PA、AB的中点,EFPB. CEF=90,EFEC,PBEC, 又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两 垂直. ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC= , 则球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R, 则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .故选D.,解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= .在PAC中,cosAPC=,= . 在PEC中,EC2=PC2+PE2-2
22、PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx =x2+2,在FEC中,CEF= 90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x= ,PA=PB=PC=2x= . AB=BC=CA=2,三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA、PB、PC两两垂直,故 球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .故选D.,解题关键 三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱 长是关键.通常情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直 的特殊位置关系更有利于解题.,2.(2018课标全国文,1
23、0,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的 角为30,则该长方体的体积为 ( ) A.8 B.6 C.8 D.8,答案 C 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角. 如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1, BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影, AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角, 即AC1B=30, 在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2 , 在RtBCC1中,CC1= = =2 , 该长方体的体积V=222 =8 ,故选C.,易错警示 不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,
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