2020年北京高考数学复习练习课件§8.4 直线、平面垂直的判定与性质.pptx
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1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2019北京理,12,5分)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断: lm;m;l. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .,答案 若lm,l,则m(答案不唯一),解析 本题考查线面平行、垂直的位置关系,考查了逻辑推理能力和空间想象能力. 把其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,共有三种情况.对三种情况逐一验证. 作为条件,作为结论时,还可能l或l与斜交;作为条件,作为结论和作为条 件,作为结论时,容易证明命题成立.,易错警示 容易忽视l,m是平面外的两条不同直线这一条件,导致判断错误.,2.(2
2、019北京理,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD= CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且 = . (1)求证:CD平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)设点G在PB上,且 = .判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.,解析 本题主要考查线面垂直的判定和性质,二面角的求法;考查学生的空间想象能力;以四棱 锥为背景考查直观想象的核心素养. (1)因为PA平面ABCD,所以PACD, 又因为ADCD, 所以CD平面PAD. (2)过A作AD的垂线交BC于点M. 因为PA平面ABCD, 所以PAAM,PA
3、AD. 如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).,因为E为PD的中点,所以E(0,1,1). 所以 =(0,1,1), =(2,2,-2), =(0,0,2). 所以 = = , = + = . 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令z=1,则y=-1,x=-1. 于是n=(-1,-1,1). 又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0), 所以cos= =- . 由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为 . (3)直线AG在平面AEF内.,因为点G在PB上,且 = , =(2,-1
4、,-2),所以 = = , = + = . 由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1). 所以 n=- + + =0. 所以直线AG在平面AEF内.,思路分析 (1)要证线面垂直,需证线与平面内的两条相交直线垂直.(2)建系求两平面的法向 量,利用向量法求二面角的余弦值.(3)通过计算得出 n,结合A平面AEF可证明AG平面 AEF.,3.(2018北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD, PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PEBC; (2)求证:平面PAB平面PCD; (3)求证:EF平面PCD
5、.,证明 (1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形, 所以BCAD. 所以PEBC. (2)因为底面ABCD为矩形, 所以ABAD. 又因为平面PAD平面ABCD, 所以AB平面PAD.,所以ABPD. 又因为PAPD, 所以PD平面PAB. 所以平面PAB平面PCD. (3)取PC中点G,连接FG,DG. 因为F,G分别为PB,PC的中点, 所以FGBC,FG= BC. 因为ABCD为矩形,且E为AD的中点, 所以DEBC,DE= BC. 所以DEFG,DE=FG. 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EFDG. 又因为EF平面PCD,DG平面PCD,
6、 所以EF平面PCD.,4.(2017北京文,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为 线段AC的中点,E为线段PC上一点. (1)求证:PABD; (2)求证:平面BDE平面PAC; (3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,5.(2016北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC. (1)求证:DC平面PAC; (2)求证:平面PAB平面PAC; (3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.,解析 (1)证明:因为PC平面ABCD, 所以P
7、CDC. (2分) 又因为DCAC, ACPC=C, 所以DC平面PAC. (4分) (2)证明:因为ABDC,DCAC, 所以ABAC. (6分) 因为PC平面ABCD, 所以PCAB. (7分) 又ACPC=C, 所以AB平面PAC. 又AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAC. (9分) (3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF. (10分),证明如下: 取PB的中点F,连接EF,CE,CF. 因为E为AB的中点, 所以EFPA. (13分) 又因为PA平面CEF, 所以PA平面CEF. (14分),思路分析 (1)证出PCDC后易证DC平面PAC. (2)先证ABAC,PCAB,可
8、证出AB平面PAC,进而由面面垂直的判定定理可证. (3)此问为探究性问题,求解时可构造面CEF,使得PA平行于平面CEF内的一条线,由于点E为AB 的中点,所以可取PB的中点,构造中位线.,6.(2013北京文,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面 ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD; (2)BE平面PAD; (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA底面ABCD. (2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点, 所
9、以ABDE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BEAD. 又因为BE平面PAD,AD平面PAD, 所以BE平面PAD. (3)因为ABAD,而且四边形ABED为平行四边形, 所以BECD,ADCD. 由(1)知PA底面ABCD,所以PACD. 又PAAD=A, 所以CD平面PAD. 所以CDPD.,因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PDEF.所以CDEF. 又EFBE=E,所以CD平面BEF. 又CD平面PCD, 所以平面BEF平面PCD.,思路分析 (1)由面面垂直的性质定理可证. (2)根据线面平行的判定定理把问题转化为证明线线平行,即证BEAD,故需证四边形AB
10、ED为 平行四边形. (3)利用(1)的结论,通过证线面垂直,即CD平面BEF,即可证得平面BEF平面PCD.,7.(2013北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平 面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (3)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.并求 的值.,解析 (1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC. 因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC. (2)由(1)知AA1AC,AA1AB.
11、由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0), A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则 即 令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3). 同理可得,平面B1BC1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos= = .,由题知二面角A1-BC1-B1为锐角, 所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为 . (3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且 = . 所以(x,y-3,z)=(4,-3,4). 解得x=4,y=3-3,z=4. 所以 =(4
12、,3-3,4). 由 =0,即9-25=0,解得= . 因为 0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.此时, = .,思路分析 (1)利用面面垂直的性质定理得出线面垂直;(2)建立空间直角坐标系,求出两个半 平面的法向量m,n,利用cos= 求值;(3)利用线线垂直可得 =0,再利用向量的 坐标运算可求线段比例.,评析 本题主要考查面面垂直的性质定理、空间角的求法以及探索性问题的求证,考查空间 向量在立体几何中的应用,体现了向量法的便捷性,考查学生的空间想象和运算求解能力,正确 建立空间直角坐标系和准确求出各点坐标是正确解题的前提,正确利用向量共线表示点D的 坐标是解决第(3)问的
13、关键.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 线面垂直的判定与性质,1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则 ( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,答案 C A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1, BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,BC1A1E.故选C.,2.(2018课标全国文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为 AC的中点. (1)证明:PO平面ABC;
14、(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,3.(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体 ABCE与四面体ACDE的体积比.,解析 (1)证明:取AC的中点O,连接DO、BO. 因为AD=CD,所以ACDO. 又由于ABC是正三角形,所以ACBO. 又DOBO=O, AC平面DOB,ACBD. (2)解法一:连接EO. 由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.
15、 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90. 由题设知AEC为直角三角形,所以EO= AC. 又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO= BD. 故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ,四面体ABCE的体积为 四面体ABCD的体积的 ,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.,解法二:由已知 可得ABDCBD,则CBE=ABE, 所以CEBAEB,则AE=CE. 又AECE,所以CAE=ACE=45,又ACD是直角三角形,且AD=CD,所以DAC=DCA= 45,又AC为公共边,所以AECADC. 由此可设AD=
16、CD=AE=CE=a,则AC=AB=BD= a. 在AED和BAD中,AED=ADE=BAD, 则等腰三角形AED相似于等腰三角形BAD,所以 = , 由此得DE= a,即E为BD中点,D到平面AEC的距离等于B到平面AEC的距离, 所以四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为11.,难点突破 (1)四面体ABCE与四面体ACDE的体积比转化为四面体ABCE与四面体ABCD的体 积比. (2)观察到两个四面体共底面ACE,将体积比转化为相应高之比,难点在于发现E为BD的中点及 其证明.,4.(2017天津文,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=
17、1,BC= 3,CD=4,PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值; (2)求证:PD平面PBC; (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.,解析 本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基 础知识.考查学生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. (1)如图,由ADBC,知DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所 以ADPD.在RtPDA中,由题意得AP= = ,故cosDAP= = .所以,异面直 线AP与BC所成角的余弦值为 . (2)证明:因为AD平面PDC,直线PD平面PDC, 所以ADPD.又因为BCAD
18、, 所以PDBC,又PDPB, BCPB=B,BC,PB平面PBC, 所以PD平面PBC. (3)如图,过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成 的角. 因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影, 所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于ADBC,DFAB, 故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2. 又ADDC, 故BCDC,在RtDCF中, DF= =2 ,在RtDPF中,可得sinDFP= = . 所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 .,5.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角
19、线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分 别在AD,CD上,AE=CF= ,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD= . (1)证明:DH平面ABCD; (2)求二面角B-DA-C的正弦值.,解析 (1)证明:由已知得ACBD,AD=CD. 又由AE=CF得 = ,故ACEF. 因此EFHD,从而EFDH. (2分) 由AB=5,AC=6得DO=BO= =4. 由EFAC得 = = . 所以OH=1,DH=DH=3. 于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH. (4分) 又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD. (5分) (2)如图,以H为
20、坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,- 1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0), =(6,0,0), =(3,1,3). (6分) 设m=(x1,y1,z1)是平面ABD的法向量, 则 即 所以可取m=(4,3,-5). (8分) 设n=(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量, 则 即 所以可取n=(0,-3,1). (10分),于是cos= = =- . sin= . 因此二面角B-DA-C的正弦值是 . (12分),思路分析 (1)利用已知条件及翻折的性质得出DHEF,利用勾股定理的逆
21、定理得出DH OH,从而得出结论; (2)在第(1)问的基础上建立恰当的空间直角坐标系,从而求出两个半平面的法向量,利用向量 的夹角公式求二面角的余弦值,从而求出正弦值.,评析 本题主要考查翻折问题,线面垂直的证明以及用空间向量法求解二面角的基本知识和 基本方法,考查学生的运算求解能力以及空间想象能力,求解各点的坐标是利用向量法解决空 间问题的关键.,6.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平 面,且PO=OB=1. (1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO; (2)求三棱锥P-ABC体积的最大值; (3)若BC= ,点
22、E在线段PB上,求CE+OE的最小值.,解析 (1)证明:在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以ACDO. 又PO垂直于圆O所在的平面, 所以POAC. 因为DOPO=O, 所以AC平面PDO. (2)因为点C在圆O上, 所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1. 又AB=2,所以ABC面积的最大值为 21=1. 又因为三棱锥P-ABC的高PO=1, 故三棱锥P-ABC体积的最大值为 11= . (3)解法一:在POB中,PO=OB=1,POB=90, 所以PB= = .同理,PC= ,所以PB=PC=BC. 在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BCP
23、,使之与平面ABP共面,如图所 示.,当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值. 又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB, 即E为PB中点.从而OC=OE+EC= + = , 亦即CE+OE的最小值为 . 解法二:在POB中,PO=OB=1,POB=90, 所以OPB=45,PB= = .同理PC= . 所以PB=PC=BC,所以CPB=60. 在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所 示.,当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值. 所以在OCP中,由余弦定理得: OC2=1+2-21 cos(45+60) =1+2-2 =2
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