2020年北京高考数学复习练习课件§10.3　抛物线及其性质.pptx

1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4, 则抛物线的焦点坐标为 .,答案 (1,0),解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2 ),B(1,-2 ),故|AB|=4 =4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).,2.(2013北京,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为 .,答案 2;x=-1,解析 =1,即p=2;准线方程为x=- =-1

2、.,3.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A, B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为 .,答案,解析 如图,由题意得kAB=tan 60= , 焦点F的坐标为(1,0), 直线AB的方程为y-0= (x-1), 将y= (x-1)与抛物线y2=4x联立, 解得xA=3. 由抛物线定义知|AF|=|AM|=3+1=4.又|OF|=1,AFO=120,SOAF= |AF|OF|sin 120= 41 = .,评析 本题考查抛物线的定义及三角形面积公式,求|AF|时也可以利用两点间距离公式.,B组 统

3、一命题省(区、市)卷题组,考点 抛物线的定义、标准方程和几何性质,1.(2019天津理,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线 - =1(a0,b0)的两 条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.,答案 D 本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质 考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养. 如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=- x上, 2=- (-1), =2, 双

4、曲线的离心率e= = = .故选D.,2.(2017课标,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16 B.14 C.12 D.10,答案 A 本题考查抛物线的方程与几何性质以及最值的求解,考查学生的逻辑思维能力和 运算求解能力以及数形结合思想的应用. 解法一:由抛物线的方程可知焦点F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),过点F的直 线l1的方程为x=my+1(m0),由 得y2-4my-4=0

5、,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以|y1-y2|= =4 ,所以|AB|= |y1-y2|=4(1+m2);同理可得|DE|=4 ,因此|AB|+| DE|=4(1+m2)+4 16,当且仅当m=1时,等号成立.所以|AB|+|DE|的最小值为16,故选A. 解法二:由题意知焦点F的坐标为(1,0),直线l1,l2的斜率不存在时,不合题意. 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),过F的直线l1的方程为y=k1(x-1),直线l2的方程为y=k2(x-1),则k1k2 =-1,联立直线l1的方程与抛物线方程,得 消去y,得 x2-2 x-4x+ =0

6、,所以x1+x2= .,同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4= . 由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p= + +4= + +82 +8=16,当 且仅当k1=-k2=1或-1时,取得等号.所以|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.,方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线y2=2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为, 则在FEA中,cos =cosEAF= = ,则可得到焦半径|AF|= , 同理,|BF|= , 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如: + = 等的帮助很大.,3.

7、(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已 知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 B 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.故选B.,4.(2016课标,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则k= ( ) A. B.1 C. D.2,答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k0)得k=12=2,故选D.,评析

8、利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.,5.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0),答案 D 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.,6.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为 ( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1),答案 B 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- ,由题设知- =-1,即 =1,所以焦点坐标为(1, 0).故选B.,7.(2018课

9、标全国,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交 于A,B两点.若AMB=90,则k= .,答案 2,解析 本题考查抛物线的几何性质及应用. 解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= +1,设A ,B ,将直线方程与抛物线方程联立得 整理得y2- y-4=0,从而得y1+y 2= ,y1y2=-4. M(-1,1),AMB=90, =0, 即 +(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 -得 - =4(x2-x1),从而k=

10、 = .,设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点, 以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切. M(-1,1),AMB=90, 点M在准线l:x=-1上, 同时在M上, 准线l是M的切线,切点为M,且MMl, 即MM与x轴平行, 点M的纵坐标为1, 即 =1y1+y2=2, 故k= = =2.,疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”“点差法”的方法来解决直线与抛物线的相交 问题.,8.(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于 点N.若M为FN的中点,则|FN|= .,答案 6,解析 如图,过M、N分别作抛物

11、线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6.,思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.,方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.,9.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .,答案 9,解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|M

12、F|=x0+1=10,x0=9,即点 M到y轴的距离为9.,评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.,10.(2016天津,14,5分)设抛物线 (t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作 l的垂线,垂足为B.设C ,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3 ,则p的 值为 .,答案,解析 由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0), 则|FC|=3p,|AF|=|AB|= p,A(p, p)(不妨设A在第一象限). 易证EFCEAB, 所以 = = =2, 所以 = , 所以SACE= SAFC= p p= p2

13、=3 , 所以p= .,思路分析 利用已知条件及抛物线的定义得|AF|=|AB|= p,从而可取A(p, p),问题即可迎刃 而解.,11.(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线 于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右 侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2. (1)求p的值及抛物线的准线方程; (2)求 的最小值及此时点G的坐标.,解析 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算 求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养

14、和转化与化归的思想方法. (1)由题意得 =1,即p=2. 所以,抛物线的准线方程为x=-1. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程 为x= y+1,代入y2=4x,得y2- y-4=0,故2tyB=-4,即yB=- ,所以B .又由于xG= (xA+xB +xC),yG= (yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t- +yC=0, 得C ,G . 所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0). 由于Q在焦点F的右侧,故t22. 从而 =,= = =2-

15、. 令m=t2-2,则m0, =2- =2- 2- =1+ . 当m= 时, 取得最小值1+ ,此时G(2,0).,思路分析 (1)根据抛物线定义知 =1,得到准线方程x=-1.(2)要求 的最小值,需要将 用基 本量表示出来,从点的关系出发,设A(xA,yA),合理选择参数t表示A(t2,2t),t0,由直线AB过F得到 AB方程,求出B点坐标,再由ABC的重心G在x轴上,求出C点和G点坐标,进而求出Q点坐标,然 后就可以表示出 ,进而求出其最小值.,C组 教师专用题组,1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M

16、,且 M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),答案 D 显然00、k0时各 有一条满足题意的直线. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), k= = = = . 记圆心为C(5,0).,评析 本题考查了抛物线与圆的性质,考查了数形结合的思想.,2.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 过A,B点分别作y轴的

17、垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知 = = = = ,故选A.,3.(2014安徽,3,5分)抛物线y= x2的准线方程是 ( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2,答案 A 由y= x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1.故选 A.,4.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率 为 ( ) A.- B.-1 C.- D.-,答案 C 由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),

18、kAF= =- ,故选C.,5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的 正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为 .,答案 (x+1)2+(y- )2=1,解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系. 由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1, 因为FAC=120,CAy轴, 所以OAF=30,在AOF中,OF=1, 所以OA= ,即t= , 故圆C的方程为(x+1)2+(y- )2=1.,方法总结 求圆的方程常用

19、的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D, E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把 圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.,6.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,解析 由题设知F .设l1:y=a,l2:y=b,则ab0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A,B两点

20、的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (3分) (1)由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1= = = = =-b=k2. 所以ARFQ. (5分),(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= . 由题设可得2 |b-a| = , 所以x1=0(舍去),或x1=1. (8分) 设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得 = (x1).而 = y,所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.

21、 (12分),疑难突破 第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点 所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨 论思想的应用.,评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨 论思想的应用,考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.,7.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于| AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x

22、轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.,解析 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定 义得 =1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由 消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4, 所以,B . 又直线AB的斜率为 ,故直线FN的斜率为- . 从而得直线FN:y=- (x-1),直线BN:y=- . 所以N . 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 = ,于是m= . 所以m2. 经检验,m2满足题意. 综上,点M

23、的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).,思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的 方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐 标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.,评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解题能力.,8.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y= x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O 的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,

24、A,B为切点. (1)求点A,B的坐标; (2)求PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相 切,称该公共点为切点.,解析 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由 消去y,整理得: x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故 解得 因此,点B的坐标为 . (2)由(1)知|AP|=t , 和直线PA的方程tx-y-t2=0.,点B到直线PA的距离

25、是d= , 设PAB的面积为S(t),所以S(t)= |AP|d= .,评析 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系等基 础知识.考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.,9.(2014浙江,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为 AB的中点, =3 . (1)若| |=3,求点M的坐标; (2)求ABP面积的最大值.,解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1. 设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2, 所以P(2 ,2)或P(-2 ,2). 由 =3 ,分别得M

26、或M . (2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由 得x2-4kx-4m=0, 于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m). 由 =3 ,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以 由 =4y0得k2=- m+ . 由0,k20,得- m .,又因为|AB|=4 , 点F(0,1)到直线AB的距离为d= , 所以SABP=4SABF=8|m-1| = . 记f(m)=3m3-5m2+m+1 . 令f (m)=9m2-10m+1=0,解得m1= ,m2=1.

27、可得f(m)在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是增函数. 又f = f , 所以,当m= 时, f(m)取到最大值 , 此时k= . 所以,ABP面积的最大值为 .,评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平 面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 抛物线的定义、标准方程和几何性质,1.(2019北京海淀二模文,3)已知双曲线 - =1(a0)的右顶点和抛物线y2=8x的焦点重合,则a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 因为双曲线的右顶点(a,

28、0)与抛物线的焦点(2,0)重合,所以a=2,故选B.,2.(2017北京西城二模,4)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 C y2=ax,2p=|a|, 又焦点到准线的距离为2, p=2,|a|=4. a=4,故选C.,3.(2018北京东城一模,5)设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到抛物线焦点的距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离等于点P到准线x=-1的距离,因为点P到y轴的距 离是2,所以点P到抛物线焦点的距离是2+1=3.,4.(2018北京门头沟一

29、模,4)抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:x2- =1的一条渐近线的距离是 ( ) A.1 B. C.3 D.,答案 D 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),双曲线C:x2- =1的渐近线为y= x,由点到直线的距 离公式可得所求距离为 ,故选D.,5.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足. 若直线AF的斜率为- ,则|PF|= ( ) A.4 B.6 C.8 D.16,答案 C 因为y2=8x,所以p=4,故F(2,0),准线l:x=-2, 设P(x0,y0),则A(-2,y0),kAF=- ,因为直线AF的斜率为- ,所

30、以- =- ,故y0=4 ,则x0= =6,故P (6,4 ),所以|PF|= =8.,6.(2018北京朝阳一模,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若| AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16,答案 B 如图,抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0), 准线为x=-1,即x+1=0, 分别过A,B作准线的垂线, 垂足分别为G,D, 则有|AB|=|AF|+|BF|=|AG|+|BD|=8, 过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N, 则MN为直角梯形ABDG的中位线, 则|MN|= (|AG|+

31、|BD|)=4, 即M到直线x+1=0的距离为4. 故选B.,7.(2019北京海淀期末文,9)抛物线y2=4x的准线方程为 .,答案 x=-1,解析 由抛物线的标准方程和几何意义可得答案.,8.(2019北京昌平期末文,10)已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为5,则点M到y轴的距离 为 .,答案 4,解析 由抛物线的定义知点M到准线x=-1的距离为5,故点M到y轴的距离为4.,9.(2019北京东城一模文,10)抛物线C:y2=2px上一点(1,y0)与焦点的距离为3,则抛物线C的方程 为 .,答案 y2=8x,解析 抛物线C的准线方程为x=- , 1+ =3,解得p=4,所以抛物

32、线C的方程为y2=8x.,10.(2019北京怀柔一模文,10)已知抛物线y2=2px的准线方程为x=-1,则p= .,答案 2,解析 抛物线y2=2px的准线方程为x=- =-1,p=2.,11.(2019北京海淀期末,9)以抛物线y2=4x的焦点F为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .,答案 (x-1)2+y2=4,解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),所以圆心坐标为(1,0),因为所求圆与抛物线的准线x=- 1相切,所以所求圆的半径为2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.,12.(2019北京朝阳期末,12)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B

33、作准 线l的垂线,垂足分别为C,D.若|AF|=4|BF|,则|CD|= .,答案 5,解析 设直线AB的倾斜角为(090), 因为|AF|=4|BF|,所以 = , 所以cos = ,sin = , 由抛物线的焦点弦长公式得 |AB|= = = , 所以|CD|=|AB|sin = =5.,13.(2019北京门头沟一模文,12)过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线l与此抛物线相交于A,B 两点,则|AB|= .,答案 8,解析 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),因此直线l的方程是y=x-1, 由 得y2-4y-4=0,解得y=22 , 所以A(3+2 ,2+2 ),B(3-2 ,2-

34、2 ),则|AB|= = 8.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:70分钟 分值:85分 一、选择题(每小题5分,共10分),1.(2019北京海淀一模文,5)抛物线W:y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上,且点A到直线x=-3的距离 是线段AF长度的2倍,则线段AF的长度为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由题意可得,抛物线W的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1, 设A(x0,y0),则点A到直线x=-3的距离d=x0+3, 且线段AF的长度等于点A到准线x=-1的距离,即|AF|=x0+1, 又d=2|AF|,x0+3=2(x0+1),x0=1,

35、|AF|=2,故选B.,2.(2019北京东城一模,6)已知直线l过抛物线y2=8x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,与其准线交 于点C.若点F是AC的中点,则线段BC的长为 ( ) A. B.3 C. D.6,答案 C 由题可知F(2,0),准线l1:x=-2. 过点A作AEl1,过点B作BMl1,l1与x轴的交点为D. F是AC中点,在ACE中,DF为中位线,AE=2DF=8. 由抛物线的定义知AE=AF,BM=BF,AF=8,AC=16,ACE=30. BM=BF,BC=2BM=2BF, 又BC+BF=8, 由得BC= ,故选C.,解后反思 解与抛物线的焦点有关的问题,要充分利用抛物线的

36、定义,结合图象来分析,就会达 到化难为易的效果.,答案 C 由题可知F(2,0),准线l1:x=-2. 过点A作AEl1,过点B作BMl1,l1与x轴的交点为D. F是AC中点,在ACE中,DF为中位线,AE=2DF=8. 由抛物线的定义知AE=AF,BM=BF, AF=8,AC=16,ACE=30. BM=BF,BC=2BM=2BF, 又BC+BF=8, 由得BC= ,故选C.,解后反思 解与抛物线的焦点有关的问题,要充分利用抛物线的定义,结合图象来分析,就会达 到化难为易的效果.,二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2019北京石景山一模文,11)已知抛物线y2=2px(p0)的准线

37、为l,l与双曲线 -y2=1的渐近线分 别交于A,B两点.若|AB|=4,则p= .,答案 8,解析 双曲线 -y2=1的渐近线为y= ,抛物线y2=2px(p0)的准线为l:x=- ,将x=- 代入y= , 得y= ,|AB|= - =4,解得p=8.,4.(2017北京东城二模,13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线 交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则|OA|= .,答案,解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x0,y0)(y00),因为直线l的倾斜角为60, 所以x0+1=2(x0-1),解

38、得x0=3,y0=2 ,|OA|= = .,三、解答题(共65分) 5.(2019北京东城二模,18)已知点P(1,2)到抛物线C:y2=2px(p0)准线的距离为2. (1)求C的方程及焦点F的坐标; (2)设点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B,直线PA,PB 分别交x轴于M,N两点.求|MF|NF|的值.,解析 (1)由已知得1+ =2,所以p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0). (4分) (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(-1,-2), 由题意知直线AB的斜率存在且不为0. 设直线AB的方程为y=

39、k(x+1)-2(k0). 由 得ky2-4y+4k-8=0, 则y1+y2= ,y1y2=4- .,6.(2018北京朝阳二模,19)已知抛物线C:y2=2x. (1)写出抛物线C的准线方程,并求抛物线C的焦点到准线的距离; (2)过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于A,B两点,且点B关于x轴的对称点为D,直线AD 与x轴交于点M. (i)求点M的坐标; (ii)求OAM与OAB面积之和的最小值.,解析 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为x=- . 抛物线C的焦点到准线的距离为1. (2)由已知设直线l:y=k(x-2),显然k0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2

40、. 由 得ky2-2y-4k=0. 所以y1+y2= ,y1y2=-4. (i)因为点B,D关于x轴对称,所以D(x2,-y2). 所以直线AD的方程为y-y1= (x-x1). 令y=0,得x= = = = y1y2=-2. 所以M(-2,0). (ii)记OAM与OAB的面积分别为SOAM,SOAB,设P(2,0),则SOAM+SOAB= |OM|y1|+ |OP|(|y1|+|y2|)=2|y1|+|y2|2 =2 =4 . 当且仅当|y2|=2|y1|,即y1= ,y2=2 时, OAM与OAB面积之和取得最小值4 .,思路分析 (1)由抛物线的几何性质求解;(2)由动直线AD的方程求

41、M的坐标;(3)利用函数和基 本不等式求解.,解题技巧 利用根与系数的关系对y1+y2,y1y2进行整体运算是重要的解题技巧,在求解直线与 圆锥曲线的位置关系的问题时应注意利用.,7.(2019北京丰台一模,19)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),A,B是抛物线C上不同的两点,且AB OM(其中O是坐标原点),直线AO与BM交于点P,线段AB的中点为Q. (1)求抛物线C的准线方程; (2)求证:直线PQ与x轴平行.,解析 (1)由题意得22=4p,解得p=1. 所以抛物线C的准线方程为x=- =- . (2)证明:设A ,B , 由ABOM得kAB=kOM=1, 即 = =1, 所

42、以y2+y1=2. 所以线段AB中点Q的纵坐标yQ=1.,8.(2018北京西城二模,19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同 的两点,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)若OAOB,求AOB面积的最小值.,解析 (1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1, 则抛物线C的方程为y2=2x. 所以抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- . (2)由题意知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a, 由 消去x,得y2-2ty-2a=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y

43、1+y2=2t,y1y2=-2a.,9.(2017北京海淀二模,18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等. (1)求动点M的轨迹E的方程; (2)已知不与l垂直的直线l与曲线E有唯一的公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C. 判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.,解析 (1)由抛物线的定义可知动点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线, 所以 =1,即p=2. 所以轨迹E的方程为y2=4x. (2)点N在以PA为直径的圆C上. 证法一:由题意可设直线l:x=my+n(m0), 令x=-1,得P . 由 可得y2-4my-4n=0,

44、(*),因为直线l与曲线E有唯一的公共点A, 所以=16m2+16n=0,即n=-m2. 所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0, 所以A(m2,2m), 因为n=-m2, 所以 =(m2-1,2m) =-2m2+2-2-2n=0, 所以NANP, 所以点N在以AP为直径的圆C上. 证法二:依题意可设直线l:y=kx+b(k0), 令x=-1,得P(-1,b-k),由 可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*) 因为直线l与曲线E有唯一的公共点A, 所以 即 所以(*)可化简为k2x2-2x+ =0,所以A , 由bk=1及p(-1,b-k)得p , 所以 = = +2+ -2=0,

45、 所以NANP, 所以点N在以AP为直径的圆C上.,思路分析 (1)利用抛物线的定义求动点M的轨迹方程;(2)设直线l的方程,与抛物线的方程联 立,利用判别式等于0得出参数之间的关系,然后利用点N和点A、P构造向量,研究点N和圆C的 位置关系.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019北京海淀新高考调研卷,8)点P在y轴上,若存在过P的直线与抛物线y=x2交于不同的两点 M,N,且|PM|=2|PN|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A.y轴上所有点都是“点” B.y轴上只有一个点不是“点” C.y轴上只有有限个点是“点” D.y轴上所有点都不是“点”,答

46、案 B 如图,设M(x1,y1),N(x2,y2). |PM|=2|PN|, = . = ,x1=-2x2. 根据题意y轴上只有一个点不是“点”,故选B.,2.(2019北京顺义期末,14)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线 于点C,满足: = (0).若|AF|=6,则= ;若|AF|6,则的取值范围为 .,答案 4;(1,3),解析 由题意作出如下图象. 当|AF|=6时,设准线与x轴的交点为D,作BBDF交DF于B, |AF|=xA+2,xA=4. 直线AB过焦点F,xAxB= =4,xB=1, |DB|=2+xB=3,|BF|=2-xB=1, = =3

47、,=3. 当|AF|6时,得xA4,由xAxB=4, 得0xB1, = = = =1+ =1+ (1,3).,3.(2019 53原创题)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个顶点. (1)求E的方程; (2)已知点P(2,4),斜率为-1的直线l与E交于异于点P的两个不同的点M,N,若直线PM,PN分别与x 轴交于A,B两点,求证:PAB为等腰三角形.,解析 (1)由y2=2px(p0)可知E的焦点为 , 又椭圆 + =1的右顶点为(2,0), =2,p=4,E的方程为y2=8x. (2)证明:设l:y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去y可得x2-2(m+4)x+m2=0. 则x1+x2=2(m+4),x1x2=m2.,由=4(m+4)2-4m20可得m-2. kPM+kPN= + = + = = = =0, 直线PM与PN的倾斜角互补, PAB=PBA,PAB为等腰三角形.,