2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册第六章 计数原理 单元测试.rar

20202021 学年高二数学下学期学年高二数学下学期 第六章第六章 计数原理单元测试计数原理单元测试一、单选题（共一、单选题（共 12 题；共题；共 60 分）分）1.2019 年 9 月 1 日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 6 节车厢，两人进入车厢的方法数共有（）A.15 种 B.30 种 C.36 种 D.64 种2.某一次乒乓球赛的参赛队共有 5 小组，每小组 3 队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）A.15 B.20 C.258 D.303.(+2)(1)6 的展开式中，含 3 项的系数为（）A.45 B.-45 C.15 D.-15 4.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得 2 分，负者得 0 分，平局各得 1 分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为 131 分，132 分，133 分，134 分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.11 位 B.12 位 C.13 位 D.14 位 5.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）代表 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨 1 粒上珠，且往上拨 2 粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）A.9 B.18 C.27 D.366.(1+3)2+(1+2)3+(1+)4=0+1+22+33+44，则 0+1+2+3+4=（）A.49 B.56 C.59 D.647.4 名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）A.81 B.64 C.24 D.168.设(1 2)2019=0+1+22+20192019，则 12+222+201922019 的值为（）A.2 B.0 C.1 D.19.在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A.20 B.21 C.22 D.2410.6 名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）A.240 种 B.360 种 C.720 种 D.120 种11.从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，选出 3 个偶数 2 个奇数重新排列，可得六位数的个数为（）A.425255 B.535255 C.425266 D.535312.(2)9 展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（）A.5377 B.5377 C.5375 D.5375二、填空题（共二、填空题（共 4 题；共题；共 20 分）分）13.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有_种.14.己知六个函数:=12;=cos;=12;=arcsin;=lg(1+1 );=+1,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_种.15.定义()为集合 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合=23,54,1,4，集合 M 的所有非空子集依次记为 1,2,15，则(1)+(2)+(15)=_ 16.已知 g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x2x+1，且满足 f（g（x）=2x4+4x3+13x2+11x+16，则 g（x）的各项系数之和为_ 三、解答题（共三、解答题（共 4 题；共题；共 20 分）分）17.设(，)=0(1)+，(，)=+，其中，（1）当 =1 时，求(，1)(，1)的值；（2）对 +，证明：(，)(，)恒为定值 18.在集合 =1,2,3,4,2 中，任取(,)个元素构成集合 .若 的所有元素之和为偶数，则称 为 的偶子集，其个数记为()；若 的所有元素之和为奇数，则称 为 的奇子集，其个数记为().令()=()()（1）当 =2 时，求(1)，(2),(3)的值；（2）求(m).19.设 3，在集合 1,2,.,的所有元素个数为 2 的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1）当 =3 时,求 ,的值；（2）求证:为任意的 3,，为定值.20.已知集合 A=a1 ，a2 ，a3 ，an ，其中 aiR（1in，n2），l（A）表示和 ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数 （）设集合 P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求 l（P）和 l（Q）；（）若集合 A=2，4，8，2n ，求证：()=(1)2；（）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 20202021 学年高二数学下学期学年高二数学下学期 第六章第六章 计数原理单元测试计数原理单元测试一、单选题（共一、单选题（共 12 题；共题；共 60 分）分）1.2019 年 9 月 1 日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 6 节车厢，两人进入车厢的方法数共有（）A.15 种 B.30 种 C.36 种 D.64 种【答案】C 【解析】每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有 6 种方法，所以两人进入车厢的方法数共有 6 6=36 种方法.故答案为：C2.某一次乒乓球赛的参赛队共有 5 小组，每小组 3 队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）A.15 B.20 C.258 D.30【答案】C 【解析】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为 5C23=15，各小组的第一名再进行单循环比赛次数为 C25=10，先后比赛的总次数为 15+10=25.故答案为：C3.(+2)(1)6 的展开式中，含 3 项的系数为（）A.45 B.-45 C.15 D.-15 【答案】A 【解析】由二项式定理(x-1)6 展开式中有 C26x4 和 C46x2，所以(x+2x)(x-1)6 的展开式中含 x3 项的系数为 C46+C26 2=45.故答案为：:A4.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得 2 分，负者得 0 分，平局各得 1 分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为 131 分，132 分，133 分，134 分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.11 位 B.12 位 C.13 位 D.14 位 【答案】B 【解析】设参赛选手共有 n 位，则总比赛场次为 C2n，即 n(n-1)2 场，且 n N+，n 2，由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为 2 分，故所有选手总得分为 n(n-1)分且为偶数，当 n(n-1)=132，得 n=12；当 n(n-1)=134，n 无整数解；n=12(位).故答案为：B.5.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的数术记遗，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）代表 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨 1 粒上珠，且往上拨 2 粒下珠，则算盘表示的数的个数为（）A.9 B.18 C.27 D.36【答案】B 【解析】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选 1 粒往下拨即 C13，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即 C13 或来自个、十、百中的两个即 C23，则总数为 C13(C13+C23)=18.故答案为：B.6.(1+3)2+(1+2)3+(1+)4=0+1+22+33+44，则 0+1+2+3+4=（）A.49 B.56 C.59 D.64【答案】C 【解析】令 x=1，a0+a1+a2+a3+a4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故答案为：C.7.4 名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）A.81 B.64 C.24 D.16【答案】A 【解析】解：每名同学都有 3 种报名方案，四名同学共有 333381 种报名方案 故答案为：A8.设(1 2)2019=0+1+22+20192019，则 12+222+201922019 的值为（）A.2 B.0 C.1 D.1【答案】C 【解析】(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+a2019x2019 令 x=0，可得：a0=1令 x=12，可得：0=1+a12+a222+a201922019 a12+a222+a201922019=-1 故答案为：C9.在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A.20 B.21 C.22 D.24【答案】B 【解析】解：根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用 4 块，分 4 种情况讨论：、6 块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有 1 种情况；、6 块广告牌有 1 块用蓝色，在 6 块广告牌选 1 块用蓝色即可，有 C61=6 种情况；、6 块广告牌有 2 块用蓝色，先将 4 块红色的广告牌安排好，形成 5 个空位，在 5 个空位中任选 2 个，安排蓝色的广告牌，有 C52=10 种情况；、6 块广告牌有 3 块用蓝色，先将 3 块红色的广告牌安排好，形成 4 个空位，在 4 个空位中任选 3 个，安排蓝色的广告牌，有 C43=4 种情况；则一共有 1+6+10+4=21 种配色方案；故答案为：B10.6 名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）A.240 种 B.360 种 C.720 种 D.120 种【答案】A 【解析】其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有种即种，再乘以 2，得到 240 种，故选 A.11.从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，选出 3 个偶数 2 个奇数重新排列，可得六位数的个数为（）A.425255 B.535255 C.425266 D.5353【答案】A 【解析】由题意知，本题是一个分步计数问题，首先从集合中选出 3 个偶数 2 个奇数，再把这五个数字重新排列，这个数字一定包含 10，共 C42C52 A55种结果，故选 A12.(2)9 展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（）A.5377 B.5377 C.5375 D.5375【答案】A 【解析】解：（2x x）9展开式中的通项公式为：Tr+1=C9r（2x）9r（1）rxr=（1）rC9r29rx 9-3r2，令 9-3r2=0，求得 r=3，所以展开式中常数项为（1）3C9326=5376，令 x=1 可得展开式中各项系数之和为（21）9=1，所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 1+5376=5377故选：A二、填空题（共二、填空题（共 4 题；共题；共 20 分）分）13.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有_种.【答案】20 【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有 2 种选择方法，还剩下 3 种颜色，又由乙不购买“罗兰紫”，乙也有 2 种选择方法，还剩下 2 种颜色，剩下的 2 人选择剩下的 2 种颜色，有 A22=2 种选择方法，则此时有 2 2 2=8 种购买方案；若甲不购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有 2 种选择方法，还剩下 3 种颜色，由其他三人购买，有 A33=6 种选择方法，则此时有 2 6=12 种选择方法，则一共有 8+12=20 种不同的购买方案。故答案为：20。14.己知六个函数:=12;=cos;=12;=arcsin;=lg(1+1 );=+1,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_种.【答案】12 【解析】对于,因为 y=1x2,定义域为(-,0)(0,+)且满足 f(-x)=f(x),故为偶函数;对于,因为 y=cosx,定义域为 R 且满足 f(-x)=f(x),故为偶函数;对于,因为 y=x12,定义域为 0,+),故非奇非偶函数;对于,因为 y=arcsinx,定义域为 -1,1 且满足 f(-x)=-f(x),故为奇函数;对于,因为 y=lg(1+x1-x),定义域为(-1,1)且满足 f(-x)=-f(x),故为奇函数;对于,因为 y=x+1,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有,偶函数的有,为非奇非偶函数.任选 3 个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选 1 奇和 2 偶时,2 1 种;当选 2 奇和 1 偶时,1 2 种;当选 1 奇,1 偶,1 非奇非偶时,2 2 2=8 种.一共有 12 种选法.故答案为:12.15.定义()为集合 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合 =23,54,1,4，集合 M 的所有非空子集依次记为 1,2,15，则(1)+(2)+(15)=_ 【答案】132 【解析】设 f(x)=(x-23)(x+54)(x+1)(x+4)设 M1,M2,M3,M4 中只有 1 个元素，M5,M6,.M10 中有 2 个元素，M11,M12,M13,M14 中有 3 个元素，M15 中有 4 个元素，由二项定理可知 f(x)=x4+(M1)+(M2)+(M3)+(M4)x3+(M5)+(M6)+.+(M10)x2+(M11)+(M12)+(M13)+(M14)x+(M15)令 x=1，f(1)=1+(M1)+(M2)+(M3)+.+(M15)=152 ,(M1)+(M2)+(M3)+.+(M15)=132.故答案为：13216.已知 g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x2x+1，且满足 f（g（x）=2x4+4x3+13x2+11x+16，则 g（x）的各项系数之和为_ 【答案】5 【解析】解：f（g（x）=2g（x）2g（x）+1=2x4+4x3+13x2+11x+16，依题意，可设 g（x）=x2+ax+b，g（x）的各项系数和为 1+a+b=g（1）；而 2g（1）2g（1）+1=214+413+1312+111+16，2g（1）2g（1）45=0g（1）=92 或 5g（x）是各项系数均为整数的多项式，故 g（1）不可能是分数，舍去 92，g（1）=5，g（x）的各项系数之和为 5故答案为：5三、解答题（共三、解答题（共 4 题；共题；共 20 分）分）17.设(，)=0(1)+，(，)=+，其中，（1）当 =1 时，求(，1)(，1)的值；（2）对 +，证明：(，)(，)恒为定值 【答案】（1）解：当 m=1 时，P(n,1)=nk=0(-1)kCkn11+k=1n+1nk=0(-1)kCk+1n+1=1n+1，又 Q(n，1)=C1n+1=n+1，所以 P(n,1)Q(n,1)=1.（2）解：P(n,m)=nk=0(-1)kCknmm+k=1+n-1k=1(-1)k(Ckn-1+Ck-1n-1)mm+k+(-1)nmm+k =1+n-1k=1(-1)kCkn-1mm+k+nk=1(-1)kCk-1n-1mm+k =P(n-1,m)+nk=1(-1)kCk-1n-1mm+k=P(n-1,m)+mnnk=0(-1)kCknmm+k=P(n-1,m)+mnP(n,m)即 P(n,m)=nm+nP(n-1,m)，由累乘可得 P(n,m)=n!m!(n+m)!P(0,m)=1Cnn+m，又 Q(n,m)=Cnn+m，所以 P(n,m)Q(n,m)=1 即 P(n，m)Q(n，m)恒为定值 1【解析】（1）在计算 P（n，1）时，注意将1k+1Ckn转化为Ck+1n+1 ，是本题的关键。（2）在（1）的基础上，得到 P(n,m)=nm+n P(n 1,m)，再运算即得答案。18.在集合 =1,2,3,4,2 中，任取(,)个元素构成集合 .若 的所有元素之和为偶数，则称 为 的偶子集，其个数记为()；若 的所有元素之和为奇数，则称 为 的奇子集，其个数记为().令()=()()（1）当 =2 时，求(1)，(2),(3)的值；（2）求(m).【答案】（1）解：当 n=2 时，集合为 1,2,3,4，当 m=1 时，偶子集有 2,4，奇子集有 1,3，f(1)=2,g(1)=2，F(1)=0；当 m=2 时，偶子集有 2,4,1,3，奇子集有 1,2,1,4,2,3,3,4，f(2)=2,g(2)=4，F(2)=-2；当 m=3 时，偶子集有 1,2,3,1,3,4，奇子集有 1,2,4,2,3,4，f(3)=2,g(3)=2，F(3)=0 （2）解：当 m 为奇数时，偶子集的个数 f(m)=C0nCmn+C2nCm-2n+C4nCm-4n+Cm-1nC1n，奇子集的个数 g(m)=C1nCm-1n+C3nCm-3n+CmnC0n，所以 f(m)=g(m),F(m)=f(m)-g(m)=0 当 m 为偶数时，偶子集的个数 f(m)=C0nCmn+C2nCm-2n+C4nCm-4n+CmnC0n，奇子集的个数 g(m)=C1nCm-1n+C3nCm-3n+Cm-1nC1n，所以 F(m)=f(m)-g(m)=C0nCmn-C1nCm-1n+C2nCm-2n-C3nCm-3n+-Cm-1nC1n+CmnC0n 一方面，(1+x)n(1-x)n=(C0n+C1nx+C2nx2+Cnnxn)C0n-C1nx+C2nx2-+(-1)nCnnxn 所以(1+x)n(1-x)n 中 xm 的系数为C0nCmn-C1nCm-1n+C2nCm-2n-C3nCm-3n+-Cm-1nC1n+CmnC0n；另一方面，(1+x)n(1-x)n=(1-x2)n，(1-x2)n 中 xm 的系数为(-1)m2Cm2n，故 F(m)=(-1)m2Cm2n 综上，F(m)=(-1)m2Cm2n，m 为偶数，0,m 为奇数【解析】（1）由已知当 n=2 时，集合为 1,2,3,4 ，利用已知偶子集与奇子集的概念，分别令 m=1，m=2，m=3，即可求出 F(1)，F(2),F(3)的值；（2）分两种情况讨论 m，当 m 为奇数时，得到偶子集与奇子集的个数，可得 F(m)=0 ，当 m 为偶数时，得到偶子集与奇子集的个数，可得F(m)=f(m)-g(m)=C0nCmn-C1nCm-1n+C2nCm-2n-C3nCm-3n+-Cm-1nC1n+CmnC0n ，分两种情况讨论即可求出F(m).19.设 3，在集合 1,2,.,的所有元素个数为 2 的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1）当 =3 时,求 ,的值；（2）求证:为任意的 3,，为定值.【答案】（1）解：当 n=3 时，集合 1,2,3 的所有元素个数为 2 的子集为 1,2，1,3，2,3，所以 a=2+3+3=8，b=1+1+2=4（2）解：当 n 3，n N*时，依题意，b=1 C1n-1+2 C1n-2+3 C1n-3+.+(n-2)C1n-(n-2)+(n-1)C1n-(n-1)a=2 C11+3 C12+4 C13+.+(n-1)C1n-2+n C1n-1=2 1+3 2+4 3+.+(n-1)(n-2)+n (n-1)则 a2=C22+C23+C24+C2n=C33+C23+C34+C2n=C34+C24+C2n=C3n+1 所以 a=2C3n+1.又 a+b=(1+2+3+.+n)C1n-1=n(n+1)2(n-1)=3C3n+1，所以 b=C3n+1，所以 ba=12（定值）【解析】（1）先求出集合1,2,3 的所有元素个数为 2 的子集，再由已知计算出 a,b 的值即可.（2）先利用组合及组合数公式写出 b 的表达式，利用二项式系数的性质求出 a 的表达式，再利用等差数列的前 n 项和公式求出 a+b 的表达式，即可证明ba为定值.20.已知集合 A=a1 ，a2 ，a3 ，an ，其中 aiR（1in，n2），l（A）表示和 ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数 （）设集合 P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求 l（P）和 l（Q）；（）若集合 A=2，4，8，2n ，求证：()=(1)2；（）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【答案】解：（）根据题中的定义可知：由 2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得 l（P）=5 由 2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得 l（Q）=6（）证明：因为 ai+aj（1ijn）最多有 个值，所以 又集合 A=2，4，8，2n ，任取 ai+aj ，ak+al（1ijn，1kln），当 jl 时，不妨设 jl，则 ai+aj2aj=2j+1alak+al ，即 ai+ajak+al 当 j=l，ik 时，ai+ajak+al 因此，当且仅当 i=k，j=l 时，ai+aj=ak+al 即所有 ai+aj（1ijn）的值两两不同，所以（）l（A）存在最小值，且最小值为 2n3不妨设 a1a2a3an ，可得 a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an ，所以 ai+aj（1ijn）中至少有 2n3 个不同的数，即 l（A）2n3事实上，设 a1 ，a2 ，a3 ，an成等差数列，考虑 ai+aj（1ijn），根据等差数列的性质，当 i+jn 时，ai+aj=a1+ai+j1；当 i+jn 时，ai+aj=ai+jn+an；因此每个和 ai+aj（1ijn）等于 a1+ak（2kn）中的一个，或者等于 al+an（2ln1）中的一个所以对这样的 A，l（A）=2n3，所以 l（A）的最小值为 2n3 【解析】（）直接利用定义把集合 P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16 中的值代入即可求出 l（P）和 l（Q）；（）先由 ai+aj（1ijn）最多有 C2n=n(n-1)2 个值，可得 l(A)n(n-1)2；再利用定义推得所有 ai+aj（1ijn）的值两两不同，即可证明结论（）l（A）存在最小值，设 a1a2an ，所以 a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an 由此即可证明 l（A）的最小值 2n3