几何体的外接球与内切球的有关问题-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第二册.rar

几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键（一）由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论结论 1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOORt中，21212OOBOBO，即222)2(hrR.）结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得（以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面ABC 的边长为 a，高为 h，外接球球心为 O，半径为 R.在1AOORt中，21212OOAOAO，即222)(33RhaR.）结论 5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜32Ra2222abcRBC边的一半就是其外接球的半径（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 1.可构造正方体的类型：正四面体：棱长对应正方体的面对角线.三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥；有三个面是直角三角形的三棱锥；与与 相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2.所以对应长方体的体对角线为2222222ABACBCcba.含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆，确定球心ABBDABBPABBPA AB BB BP PA AB BB BP PA AB BB BA AB BB B记球的半径为 R，截面圆的半径为 r，球心 O 与截面圆圆心 O的距离为 d，则有 R2=r2+d 2.（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱，求它的外接球半径.222)2(hrR （1）（2）（3）变形一：变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型.在这里棱柱的高就是公式中的 h，而棱柱底面ABC 外接圆的半径则是公式中的r.变形二：变形二：如果把三棱柱上面的 C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面ABC 的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长 AA1.变形三：变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱底面的三棱锥，其中r为底面ABC 外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱 AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论 1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论 2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.结论 4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论 5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.Rr2hABC1A1B1CABC1A1BABC1A（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2aR.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22aR.（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为 a，内切球半径为 r.VVVVVPABOPBCOPACOABCOABCPrSrSrSrSPABPBCPACABC31313131rSSSSPABPBCPACABC)(31内切球rSABCP31 所以ABCPABCPSVr3内切球一般地，记棱锥的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为SVr3.（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，则 R=r.（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，由于在ABC 中，所以CSR2.备注：1.三角形内切圆的半径SSSSAOBAOCBOCABCrcbacrbrar)(21212121内切圆rCABC21所以三角形内切圆的半径为CSr2，其中 S 为ABC 的面积，C 为ABC 的周长.2.三角形外接圆的半径利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，CcBbAaRsin2sin2sin2.正三角形：aaR3360sin2，其中 a 为正三角形的边长.直角三角形：290sin2ccR，其中 c 为直角三角形的斜边.3.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为 a，内切圆半径为 r，外接圆半径为 R.由于aaR3360sin2，aaaaaaCSr6360sin2122，所以1:2:rR，即圆心 O 为正三角形高 h 的三等分点.4.正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体 A-BCD 的棱长为 a，内切球半径为 r，外接球半径为 R，则 OA=OB=R，OE=r.底面BCD 为正三角形，BE=a33在BEORt中，222OEBEBO，即22233raR，得aR461:3:rR，即球心 O 为正四面体高 h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA和它们的球心 O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为a.由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以aR632，从而正三棱柱的高为aRh3322.在ODARt11中，得22222211211256333aaaRDAR，aR1251因此1:5:21RR.几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键（一）由球的定义确定球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心结论 1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点例 1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 3,2,3，则此球的表面积为 .结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点例 2 若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 结论 3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOORt中，21212OOBOBO，即222)2(hrR.）BC2222abcR例 3 在直三棱柱111ABCABC中，2 2AB,3BC,14AA,4ABC，则它的外接球体积为 .结论 4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得（以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面ABC 的边长为 a，高为 h，外接球球心为 O，半径为 R.在1AOORt中，21212OOAOAO，即222)(33RhaR.）例 4 已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 .结论 5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径例 5 已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上，ABBC 且 PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球 O 的体积为 .（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 1.可构造正方体的类型：正四面体：棱长对应正方体的面对角线.例 6 一个正四面体 P-ABC 的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.例 7 设是球O面上的四点,且,PA PB PC两两互相垂直,若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是 .四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.例 8 在四面体SABC中，SA平面ABC，90ABC，21SAACAB,则该四面体的外接球的表ABCDABCPABCP面积为（）A23 B43 C4 D52.可构造长方体和正方体的类型与与 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥；例 9 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，面积分别为 6cm2、4cm2 和 3cm2，那么它的外接球的体积是 .有三个面是直角三角形的三棱锥；例 10 已知球上四点 A,B,C,D，DA平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球 O 的体积等于 .相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2.所以对应长方体的体对角线为2222222ABACBCcba.例11 在三棱锥SABC中，5,17,10SABCSBACSCAB，则该三棱锥外接球的表面积为 .含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心 O 与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆，确定球心记球的半径为 R，截面圆的半径为 r，球心 O 与截面圆圆心 O的距离为 d，则有 R2=r2+d 2.例 12 设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A12 3 B18 3 C24 3 D54 3P PB BC CP PP PB BC CP PP PC CB BP PB BC C（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱，求它的外接球半径.222)2(hrR （1）（2）（3）变形一：变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型.在这里棱柱的高就是公式中的 h，而棱柱底面ABC 外接圆的半径则是公式中的r.例 13 在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，若12AAAB，当四棱锥11BA ACC体积最大时，三棱柱外接球的体积为 变形二：变形二：如果把三棱柱上面的 C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面ABC 的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长 AA1.例 14 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB 平面ABCD，22PAPBAB，若PBC和PCD的面积分别为 1 和3，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为 变形三：变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的 B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱底面的三棱锥，其中r为底面ABC 外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱 AA1.例 15 已知A,B,C,D为同一球面上的四个点.在ABC 中，23BAC，2 3ABAC，AD=6，AD平面ABC，则该球的体积为 二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论 1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论 2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论 3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.例 16 正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6.求它的内切球的表面积.Rr2hABC1A1B1CABC1A1BABC1A例 17 正四棱锥SABCD，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少？结论 4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论 5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2aR.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22aR.例 18 一个正方体的棱长是 4 cm,它的内切球的体积为cm3，棱切球的体积为cm3.例 19 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于正方体的各条棱，丙球外接于正方体，则三球表面积之比为 .（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为 a，内切球半径为 r.VVVVVPABOPBCOPACOABCOABCPrSrSrSrSPABPBCPACABC31313131rSSSSPABPBCPACABC)(31内切球rSABCP31ABCPABCPSVr3内切球 一般地，记棱锥的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为SVr3.例 20 正三棱锥的高为 3，底面边长为8 3，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则球的表面积与体积分别为 （说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 R这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决）例 21 如图，在棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，2PDAB，PD 平面ABCD在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A2 B21C2 D21（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径 r，内切球的半径 R，则 R=r.（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记截面ABC的面积为 S，周长为 C，内切球的半径 R，则CSR2.例 22 圆柱的底面直径和高都是 6，求该圆柱内切球的半径_.例 23 圆锥的高为 4，底面半径为 2，求该圆锥内切球与外接球的半径比.三、有关内切球和外接球的综合问题1.正四面体的内切球与外接球的半径之比（正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”）设正四面体 A-BCD 的棱长为 a，内切球半径为 r，外接球半径为 R，则 OA=OB=R，OE=r，且 R+r=AE.底面BCD 为正三角形，BE=a33在ABERt中，aaaBEABAE36312222，arR36 在BEORt中，222OEBEBO，即22233raR 由，得araR12646，1:3:rR，即球心 O 为正四面体高 h 的四等分点.例 24 求棱长为 2 的正四面体内切球和外接球的体积2.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA和它们的球心 O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为 a.由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以aR632，从而正三棱柱的高为aRh3322.在ODARt11中，得，22222211211256333aaaRDAR.1251aR 因此1:5:21RR.例 25 一个正三棱柱恰好有一个内切球和一个外接球,则此内切球与外接球表面积之比为 .巩固练习1.在正三棱锥SABC中，6ABBCCA，点D是SA的中点，若SBCD，则该三棱锥外接球的表面积为 2已知三棱锥PABC的底面是正三角形，PAa，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心，当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的表面积为()A34 3aB23 aC332aD212a3在平面四边形PACB中，已知120APB，2 3PAPB，10AC，8BC 沿对角线AB折起得到四面体PABC，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为 4已知正三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B的面积为 4，则正三棱柱111ABCABC外接球表面积的最小值为()A2 33B4 33C8 33D16 335已知正方体1111ABCDABC D棱长为 2，点P是上底面1111DCBA内一动点，若三棱锥PABC的外接球表面积恰为414，则此时点P构成的图形面积为_.6.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径.若平面SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球 O 的表面积为_备注：1.三角形内切圆的半径SSSSAOBAOCBOCABCrcbacrbrar)(21212121内切圆rCABC21所以三角形内切圆的半径为CSr2，其中 S 为ABC 的面积，C 为ABC 的周长.2.三角形外接圆的半径利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，CcBbAaRsin2sin2sin2.正三角形：aaR3360sin2，其中 a 为正三角形的边长.直角三角形：290sin2ccR，其中 c 为直角三角形的斜边.3.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为 a，内切圆半径为 r，外接圆半径为 R.由于aaR3360sin2，aaaaaaCSr6360sin2122，所以1:2:rR，即圆心 O 为正三角形高 h 的三等分点.