7.3.2离散型随机变量的方差-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pdf

1、7.3.27.3.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的数学期望2.数学期望的性质bXaEbaXE)()(P1xix2x1p2pipnxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平一、温故知新iniinnpxpxpxpxXE12211)(3.样本方差)()()(1222212xxxxxxnsn叫做这组数据的方差.xnxxx,21 设在一组数据 中,是它们的平均数,那么必必修修第第二二册册第第九九章章P211 随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以

2、我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.4.均值的意义如何评价这两名同学的射击水平？因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.二、探究新知1.问题.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03XPYP,8)(XE,8)(YE两个均值相等比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定?除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.下图分别是X 和Y 的概率分布图.YP0.310987060.40.20.1X

3、P0.310987060.40.20.1发现乙同学的射击成绩更集中于8 8环，即乙同学的射击成绩更稳定.2.思考:怎样定量刻画随机变量的离散程度？(1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？样本方差(2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？随机变量 X 的方差3.离散型随机变量方差设离散型随机变量X 的概率分布为：我们称为随机变量X 的方差.P1xix2x1p2pipnxnpX为随机变量X 的标准差.nnpXExpXExpXExXD2222121)()()()()D X并称().X记为niiipXEx12)(有时也记为Var(X),随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏

4、离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.2221122()()()nnD XxE XpxE XpxE XpniiipXEx12)()()(XDX 方差：归纳小结标准差：6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03XPYP,8)(XE.8)(YE1026(8)()()iiPXXiD1026(8)()()iiPYYiD,16.1()()1.077;D XX,92.0()()0.959.D YY),()(YDXD,的取值相对更集中随机变量Y即乙同学的射

5、击成绩相对更稳定下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化21)()(niiixE XpD XniiiipXExXEx122)()(2(niniiiniiiipXEpxXEpx11212)()(2niiiXEpx122.)(nnpXExpXExpXExXD2222121)()()()(.)(22222121XEpxpxpxnn即：4.离散型随机变量方差的性质一般地,有下面的结论成立)()(2XDabaXD221()()()niiiaD aXxbpE aXbb21222)()2(bXaEpbabxxaniiii证明：)(2)(222

6、21222bXabEXEapbpabxpxaniiniiiniii)(2)(22221222bXabEXEapbpxabpxaniniiniiiii)(2)()(22221222bXabEXEabXabEpxaniii)(2122XEpxaniii)(2XDa解:抛掷散子所得点数X 的分布列为161616161616P6 65 54 43 32 21 1X例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差1235三、巩固新知1111111+2+3+4+5+6=66666.63 5E X 22222211111 3.5+2 3.5+3 3.5+4 3.5666611 +5 3.5+6 3.566

7、D X 法一解:随机变量X 的分布列为法二.6,5,4,3,2,1,61)(kkXP,27)654321(61)(XE,691)654321(61)61(222222612kk622135()117()(62).2kkD X6)12)(1(3212222nnnn拓展：可用数学归纳法证明1.已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和(X).解：变式训练 0 0.1+1 0.2+2 0.4+3 0.2+4 02.1=E X 222220 20.1+1 20.2+2 20.4 +1.23 20.2+4 20.1D X()1.2()1.095.D XX117.1=3

8、+()=13()=8DD已知，且,则2.例2.元收益/X102概率1.03.06.0元收益/Y102概率4.03.03.0解：6.023.001.01)(XE3.024.013.00)(YE,1.11，A投资股票 的期望收益大),()(YEXE22221.16.023.001.0)1()(XD,29.1222213.024.013.00)(YD.6.0()(),()(),E XE YD XD Y和相差不大 且的风险高比投资股票投资股票BA投资A,B两种股票,每股收益的分布列如下表所示股票A收益的分布列股票B收益的分布列(1).投资那种股票的期望收益大?(2).投资那种股票的风险较高?(1).股

9、票A、B的投资收益的期望分别为(2).股票A、B的投资收益的方差分别为 随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释 例如,如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.方差的意义：解:随机变量X的可能取值为6,9,12.则157)6(31038CCXP157)9(3101228CCCXP151)12(3102218CCCXP变

10、式训练1.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片所标数字之和为X，求E(X)和D(X).所以X的分布列为 P1296X1571571517716912151()7.8515E X 222771(6 7.8)(9 7.8)(12 7.8).15()3.361515D X 212011012035111131012342201020()1.55E X 2.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其中n=1,2,3,4).现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.(1).求X的分布列、期望和方差;解:(1)X的所有可能取值为0,

11、1,2,3,42222211(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)220131(3 1.5)(4 1.5)102()2.75.05D X X01234P(2).若 试求a,b的值.,()1,()11,YaXb E YD Y得由)()(,)()(2XDaYDbXaEYE15.11175.22baa解得.4222baba或（2）由(1)得()1.5,()2.75,E XD X2.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其中n=1,2,3,4).现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.(1).求X的分布列、期望和方差;(2).若 试求a,b的值.,()1,()11,YaXb E YD Y四、课堂小结1.离散型随机变量取值的方差、标准差nnpXExpXExpXExXD2222121)()()()(niiipXEx12)()()(XDX niiiXEpx122.)(2()2(.)D aXba D X3.求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值;求X取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出 E(X)；4.若 X 服从两点分布，则 根据方差、标准差的定义求出 、()1-.D XPP方差：标准差：2.方差的性质：)(XD)(X