6.2.2 排列数 ppt课件(001)-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.ppt

1、6.2.2 排列数 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m()m()个元素，按照一定个元素，按照一定的的顺序顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的一个排列一个排列.nm 1.1.排列的定义：排列的定义：2.2.排列的特征：排列的特征：(1)(1)排列的两个基本内容：排列的两个基本内容：一是取出元素，二是按照一定顺序排列一是取出元素，二是按照一定顺序排列.(2)(2)两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：元素相同，元素的顺序也一定相同元素相同，元素的顺序也一定相同.1 1能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区能在排列基础上给

2、出排列数的定义和表示，并能区别排列和排列数别排列和排列数.2.2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数（重点）（重点）排列数公式排列数公式（难点）（难点）排列数公式的应用排列数公式的应用.问题问题1 1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1 1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？探究点探究点

3、1 1 排列数排列数问题问题2 2从从1,2,3,41,2,3,4这这 4 4 个数字中，每次取出个数字中，每次取出3 3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？回顾上一节两个问题回顾上一节两个问题问题提出：如果元素越来越多，还能这样计算吗？问题提出：如果元素越来越多，还能这样计算吗？定义定义.排列数：排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素的个元素的所有所有不同排列的个数不同排列的个数叫做从叫做从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m m个元个元素的素的排列数排列数.用符号用符号 表示表示.“排

4、列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？“一个排列一个排列”是指：从是指：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m个元个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数”是指从是指从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m个元素个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号的所有排列的个数，是一个数；所以符号 只表只表示排列数，而不表示具体的排列示排列数，而不表示具体的排列.第第1 1课时课时 问题是求从个不同元素中取问题是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为出个元素的排列数，记为 ,23326A344 3 224A

5、 23A 第第1 1课时课时 问题问题2 2 是求从是求从4 4个不同元素中取个不同元素中取出出3 3个元素的排列数，记为，已经算出个元素的排列数，记为，已经算出34A 探究探究2 2 排列数公式排列数公式探究：从个不同元素中取出个元素的探究：从个不同元素中取出个元素的排列数排列数 是多少？，又各是是多少？，又各是多少？多少？2nA()mnAnm 3nA第第1 1位位第第2 2位位nn-13(1)(2)nn nnA2(1)nn nA第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位n-2nn-1(1)(2)(1)mnn nnnmA 第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位第第m m位位nn-1n-2

6、n-(m-1)(1)1nmnm(1)(2)(1),.mnAn nnnn mNmnm排列数公式这里，并且（1 1）第一个因数是）第一个因数是n n，后面每一个因数比它，后面每一个因数比它前面一个因数少前面一个因数少1 1（2 2）最后一个因数是）最后一个因数是n nm m1 1（3 3）共有）共有m m个因数个因数你能说一下排列数公式的特点吗？你能说一下排列数公式的特点吗？就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，叫做的阶乘，用叫做的阶乘，用!表示，所以个不同元素表示，所以个不同元素的全

7、排列数公式可以写成的全排列数公式可以写成！.nnAn个不同元素全部取出的一个排列，叫做个个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中的，即有元素的一个全排列，这时公式中的，即有另外，我们规定另外，我们规定0!0!1.1.(1)(2)3 2 1,nnAnnn74276244AA计34347777例例1 1 算算:（1 1）A A（;2;2）A A（;3;3）;(4)AA.;(4)AA.3717 6 5210;A 解解:4727 6 5 4840;A 77447!37 6 5210;4!AA 426246 5 4 3 2 16!720;AA 74267626446466227!

8、4!6!2!AAAAA们这个结没3 37 7n nm mn nn nn-mn-mn-mn-m由由 34 我34 我看看到到，A=;AA=6!=A,A=;AA=6!=A,即即=.那=.那么么，果果有有有有一一般般性性呢呢？A An!n!即即 A=是 A=是否否成成立立？An-m!An-m!(1)(2)(1)mnnnnnmA!()!nnm(1)(1)()2 1()2 1nnnmnmnm 说明：说明：1.1.排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明证明.2.2.对于对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件含条件.

9、nm 即排列数公式还可写成即排列数公式还可写成!()!mnnAnm【变式练习变式练习】（1 1）计算：）计算：（2 2）求证：）求证：548885892A7A.AA 11AAA.mmmnnnm 解（解（1 1）548885892A7A2 8 7 6 5 47 8 7 6 5AA8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 8 7 6 5(87)1.8 7 6 5(249)（2 2）!1(1)1AA1(1)()()1mmnnnnnnnmn mn mnm !1A,()1(1)mnnmnmmn mnmnm mmmnnnm11AAA.例例2.2.用用0 09 9这这1010个数字，可以组成多少个

10、没有重复个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？解法解法1：如图，由于三位数的：如图，由于三位数的百百位上的数字不能是位上的数字不能是0，所以可以，所以可以分两步完成分两步完成：第一步：确定百位：第一步：确定百位上的数字，可以从上的数字，可以从19这这9个数个数字中取出字中取出1个个，有，有 种取法；种取法；第二步：确定十位和个位上的数第二步：确定十位和个位上的数字，字，可以从剩下的可以从剩下的9个数字中取个数字中取出出2个个，有，有 种取法；种取法；129999 8648.AA 根据分步乘法计根据分步乘法计数原理，所求三数原理，所求三位数的个数为位数的个数为19A29A19

11、A29A解法解法2：如图所示，符号条件的三位数可以分成三类：如图所示，符号条件的三位数可以分成三类：第一类，每一位数字都不是第一类，每一位数字都不是0的三位数，可以从的三位数，可以从19这这9个数字中取出个数字中取出3个个，有，有 种取法；种取法；第二类，个位上的数字是第二类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的的三位数，可以从剩下的9个个数字数字中取出中取出2个放在百位和十位个放在百位和十位，有，有 种取法；种取法；第三类，十位上的数字是第三类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的的三位数，可以从剩下的9个个数字数字中取出中取出2个放在百位和个位个放在百位和个位，有，有 种取法；种取法；

12、39A29A29A39A29A29A根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为3229999 879 89 8648.AAA 解法解法3：从：从09这这10个数字中取出个数字中取出3个的排列数为个的排列数为 ，其中其中0在百位上的排列数为在百位上的排列数为 ，它们的差就是用这，它们的差就是用这10组成的没有重复数字的三位数的个数，即组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数所求三位数的个数为的个数为39A29A32109109 89 8648.AA 引申：引申：有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题【例例3 3】3 3名男生，名男生，4 4名女生，在

13、下列名女生，在下列不同不同情况下，情况下，求不同的求不同的排列总数排列总数.(1)(1)全体排成一行，男、女各站在一起全体排成一行，男、女各站在一起.(2)(2)全体排成一行，全体排成一行，男生必须排在一起男生必须排在一起.(3)全体排成一行，全体排成一行，男生不能排在一起男生不能排在一起.(4)全体排成一行，全体排成一行，男生互不相邻，且女生也互不相邻男生互不相邻，且女生也互不相邻.(5)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻不一定相邻)，则，则有多少不同的排列方法有多少不同的排列方法.(6)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置全体排成一行，其中甲

14、只能在中间或者两边位置(7)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边 解：（解：（1 1）(相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，男生必须站在一起，即把即把3 3名男生进行全排列，有名男生进行全排列，有 种排法，女生必须站在一种排法，女生必须站在一起，即把起，即把4 4名女生进行全排列，有名女生进行全排列，有 种排法，全体男种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有生、女生各看作一个元素全排列有 种排法，由分步种排法，由分步乘法计数原理共有乘法计数原理共有 =288（种）排法（种）排法.33A44A22A342342A A A （2

15、2）(捆绑法捆绑法)把所有男生看作一个元素，与把所有男生看作一个元素，与4 4名女名女生组成生组成5 5个元素全排列，个元素全排列，故有故有 (种）排法种）排法.3535AA720 (1)(1)全体排成一行，男、女各站在一起全体排成一行，男、女各站在一起.(2)(2)全体排成一行，全体排成一行，男生必须排在一起男生必须排在一起.捆绑法捆绑法处理元素处理元素“相邻相邻”问题应遵循问题应遵循“先整体，后局部先整体，后局部”的原则的原则.元素相邻问题，一般用元素相邻问题，一般用“捆绑法捆绑法”，先把相邻的，先把相邻的若干个元素若干个元素“捆绑捆绑”为一个大元素为一个大元素，与其余元素全排与其余元素全

16、排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.（3 3）解：）解：(不不相邻问题相邻问题插空插空法法)先排女生有先排女生有 种排种排法，把法，把3名男生安排在名男生安排在4名女生隔成的名女生隔成的5个空中，有个空中，有 种排法，故有种排法，故有 =1440（种）不同的排法（种）不同的排法.44A35A4345A A（4 4）解解：(插空插空法法)先排先排女女生有生有 (种）排法种）排法.让让男男生插空，有生插空，有 （种）不同的排法（种）不同的排法.3434A A144 44A(3)全体排成一行，全体排成一行，男生不能排在一起男生不能排在一起.(4)全体排

17、成一行，全体排成一行，男生互不相邻，且女生也互不相邻男生互不相邻，且女生也互不相邻.插空法插空法处理元素处理元素“不不相邻相邻”问题问题也也应遵循应遵循“先整体，后先整体，后局部局部”的原则的原则.元素不相邻问题，一般用元素不相邻问题，一般用“插空法插空法”，先将不相，先将不相邻元素以外的邻元素以外的“普通普通”元素全排列，然后在元素全排列，然后在“普通普通”元素之间及两端元素之间及两端插入插入不相邻不相邻元素元素.(5)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相不一定相邻邻)，则有多少不同的排列方法，则有多少不同的排列方法.解：解：(定序排列法定序排列法)第一

18、步，设固定第一步，设固定甲、乙、丙甲、乙、丙从从左到右顺序的排列总数为左到右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、，第二步，对甲、乙、丙乙、丙进进行全排列，则为七个人的全排列，因此有行全排列，则为七个人的全排列，因此有 ，故故 7733A840.AN 7373AAN 除阶乘法除阶乘法n个不同个不同元素元素的全排列有的全排列有 种排法，种排法，m个元素的全个元素的全排列有排列有 种排法种排法.因此，因此，种排法中，关于种排法中，关于m个元素个元素的不同分法有的不同分法有 类，类，而且每一分类的排法数是一样的而且每一分类的排法数是一样的.当这当这m个元素顺序确个元素顺序确定时，共有定时，共有 种排法种

19、排法.AnnAmmAnnAmmAAnnmm(6)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置解：解：(优先法优先法)甲为特殊元素，故先安排甲，左、中、甲为特殊元素，故先安排甲，左、中、右共三个位置可供甲选择，有右共三个位置可供甲选择，有 种排法，其余种排法，其余6人全排人全排列，有列，有 种排法种排法由分步乘法计数原理得由分步乘法计数原理得 =2160（种）（种）13A66A1636A A解：解：解法一解法一 (位置分析法位置分析法)：按甲是否在最右边分两类：按甲是否在最右边分两类：第一类：甲在最右边有第一类：甲在最右边有 种排法；种排法；第二类：甲不在

20、最右边时，甲有第二类：甲不在最右边时，甲有5个位置可选，而乙也有个位置可选，而乙也有5个位个位置可选，而其余全排，有置可选，而其余全排，有 种排法，由分步乘法计数原理种排法，由分步乘法计数原理得得 故共有故共有 =3720(种种)排法排法解法二解法二 (间接法间接法)：先排最左边位置，除去甲外，有：先排最左边位置，除去甲外，有 种排法，种排法，余下的余下的6个位置全排列有个位置全排列有 种，但应剔除甲不在最左边且乙不种，但应剔除甲不在最左边且乙不在最右边的排法在最右边的排法 种种则符合条件的排法共有则符合条件的排法共有=3720（种）（种）66A55A115555AAA61156555A A

21、A A 16A66A5155A A61516655A A A A 115555A A A(7)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边“在在”与与“不在不在”排列问题解题原则及方法排列问题解题原则及方法(1)原则：原则：解解“在在”与与“不在不在”的有限制条件的排的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是是谁特殊谁优先谁特殊谁优先(2)方法：方法：从元素入手时，从元素入手时，先给特殊元素先给特殊元素安排位置，安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，再把其他元素安排在

22、其他位置上，从位置入手时，先先安排特殊位置安排特殊位置，再安排其他位置，再安排其他位置提醒：提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要都要贯彻到底贯彻到底不能一会考虑元素，一会考虑位置，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，造成分类、分步混乱，导致解题错误导致解题错误【练习练习】课本：课本：P20 练习题练习题所有不同排列的个数所有不同排列的个数 n(n1)(n2)(nm1)1.1.排列数与排列数公式排列数与排列数公式Amn2.求解排列问题的方法求解排列问题的方法布置作业：布置作业：1.完成课本完成课本P26 习题习题6.2第第1，8，11，19题；题；2.课时训练四。课时训练四。不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步.勇敢前进！