6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pptx

1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？创设情境成都成都北京北京 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.探究新知因为英文字母共有因为英文字母共有26个，阿个，

2、阿拉伯数字共有拉伯数字共有10个，所以总个，所以总共可以编出共可以编出26+10=36种不同种不同的号码的号码.探究新知 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？思考 你能说一说这个问题的特征吗?探究探究新知首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同这两类号码数相加就得到号码的总数上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码

3、的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法一般地，有如下分类加法计数原理：概念形成注意：两类不同方案中的方法互不相同.例例1 1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,BA,B两所大学各两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：有一些自己感兴趣的强项专业，如表：A大学大学B大学大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学典例分析如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？如果这名同学

4、只能选一个专业，那么他共有多少种选择？分析分析：要完成的事情是要完成的事情是“选一个专业选一个专业”.因为这名同学在因为这名同学在A,BA,B两两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解：解：这名同学可以选择这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在两所大学中的一所，在A大学中有大学中有5种专种专业选择业选择 方法，在方法，在B大学中有大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专种专业选择方法，因为没有一个强项专

5、业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数的专业选择种数 N=5+4=9.分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有共有N=m1+m2+mn种种不同的方法.如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那

6、么应该如何计数呢？探究探究新知N=m1+m2+m3分类计数结论将完成一件事的办法分成若干类求出每一类中的方法数将每一类中的方法数相加得最终结果归纳总结利用分类加法计数原理解题的一般思路：注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.探究新知 用前6个大写的英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,A9,B1,B2,的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码？思考这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样的两个步骤方法二：

7、由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有 6954 种不同的号码字母数字得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来左图是解决计数问题 常 用 的“树 状图”你能用树状图列出所有可能的号码吗？你能说一说这个问题的特征吗?探究探究新知上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组

8、成的号码是互不相同的 上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.无论第无论第1 1步采用步采用哪种方法，与之对哪种方法，与之对应的第应的第2 2步都有相同步都有相同的方法数的方法数.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 一般地，有如下分步乘法计数原理：概念形成注意：注意：各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才这件事才算完成算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这

9、件事的方法总数将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理又称乘法原理.例例2 2 某班有男生某班有男生3030名，女生名，女生2424名名.从中选出男、女生各从中选出男、女生各1 1名代表班级名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.典例分析 如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步

10、有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?探究探究新知Nm1m2mnNm1m2m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数为例例3 书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文本不同的文艺书艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法

11、?(2)从书架的第从书架的第1层层、第第2层层、第第3层各取层各取1本书本书,有多少种不同取法有多少种不同取法?解：（1）根据分类加法计数原理可得：N43+29；典例分析（2）根据分步乘法计数原理可得：N4 3224.分步计数结论将完成一件事的过程分成若干步求出每一步中的方法数将每一步中的方法数相乘得最终结果归纳总结利用分步乘法计数原理解题的一般思路：注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事.19区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题.区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,

12、共分n个步骤，关键词是“分步”每类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事情.每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情.区别二区别三各类办法是互斥的、独立的各步之间是相关联的分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系：课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数归纳两大原理妙无穷,茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。