6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pptx

1、第六章第六章 计数原理计数原理6.16.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？【情境思考】【情境思考】成都成都北京北京1.1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理理.2.2.正确地理解正确地理解“完成一件事情完成一件事情”的

2、含义，能根据具体问题的特的含义，能根据具体问题的特征，选择征，选择“分类分类”或或“分步分步”.3.”.3.能利用两个原理解决一些简单的能利用两个原理解决一些简单的实际问题实际问题.1.1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养2.2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养养.【课标要求】【课标要求】【素养目标】【素养目标】计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率

3、呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.探究点探究点1 1 分类加法计数原理分类加法计数原理【探究导学】【探究导学】思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？提示：提示：因为英文字母共有因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编个，所以总共可以编出出26+10=36种不同的号码种不同的号码.思考2：你能说说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.你

4、能举出一些生活中类似的例子吗？一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.两类不同方案中的两类不同方案中的方法互不相同方法互不相同例例1.1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,BA,B两所大学各有一两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A A大学大学B B大学大学生物学数学化学会计学医学信息

5、技术学物理学法学工程学分析分析:要完成的事情是要完成的事情是“选一个专业选一个专业”.因为这名同学在因为这名同学在A,BA,B两所大学中两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解解 这名同学可以选择这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在两所大学中的一所，在A大学中有大学中有5种专业种专业选择选择 方法，在方法，在B大学中有大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有

6、的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数专业选择种数 N=5+4=9.利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.思考3：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？分类加法计数原理：完成一件事,如果有n

7、类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.13【归纳总结】【归纳总结】思考4：用前6个大写的英文字母和19个阿拉伯数字，以A1，A1，A9，B1，B2，的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究点探究点2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理方法二：由于方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有码，而且它们互不相同，因此共有69=54种不同的号码

8、种不同的号码.解：方法一：解决计数问题可以用解：方法一：解决计数问题可以用“树状图树状图”列举出来列举出来思考5：你能说说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.你能举出一些生活中类似的例子吗？一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.无论第无论第1 1步采用哪种方步采用哪种方法，与之对应的第法，与之对应的第2 2步步都有相同的方法数都有相同的方法数.首先要

9、根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.注意：注意：各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理.例2 某班有男生30名，女生24名。从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解 第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.分析 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.思考6：如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步

10、有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?Nm1m2m3如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？分步乘法计数原理一般结论：Nm1m2mn例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?解（1）根据分类加法计数原理可

11、得：N43+29；（2）根据分步乘法计数原理可得：N4 3224.【归纳总结】【归纳总结】例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？分析 要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。解 从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=32=6.例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ,后两个字符要求用数字19,最多

12、可以给多少个程序模块命名？分析 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类，解 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从19中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是1399=1053,即最多可以给1053个程序模块命名.例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，

13、每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。(1)1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析(1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”，由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符因此可以用分步乘法计数原理求解；(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可解 (1)用右图表示1个字节.1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法

14、计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是22222222=28=256.(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256256=65536这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线）,以便知道需要提供多少个测试数据。一般地，一个程序模块由许多子模

15、块组成。如图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？分析 整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束，而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解 由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法计数原理，

16、整个模块的执行路径条数共为9181=7371.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为32=6.如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.显然，178与7371的差距是非常大

17、的例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为：(1)由10个阿拉伯数字和除O,1之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？分析 由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个

18、字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类。解 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为1010101010=100000.(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类。当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1

19、位，有24种选法；第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为2410101010=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定

20、一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为2424101010=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为57600010=5760000.综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.39【课堂小结】【课堂小结】40分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步方法数相乘,得到总数.两大原理妙无穷,茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧42C C【随堂训练】【随堂训练】43B B445050