6.2.4组合数ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pptx

1、6.2.4 组合数1.组合的定义2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).复习引入 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.Cmn “一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组”，它不是一个数；“

2、组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.探究新知组合数的定义和表示：23C 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为 ，34C从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为 .组合与组合数的区别：探究新知Cmn 前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？探究Amn回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙排列 23C23A2233AC2=应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 .34C组合

3、a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb探究新知 设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数 .34A24=334433AC4A=因此组合数 .以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组探究新知观察上图，也可以这样理解：求“4个元素中取出3个元素的排列数 ”.34A第1步，从4个不同元素中取出3个元素，共有 种不同的取法;34C第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法.3

4、3A根据分步乘法计数原理，有 ，333443ACA=即334433AC4A=组合a b ca b da c db c d 排列abc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb 同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：Amn第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法；Cmn第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法.Amm根据分步乘法计数原理，有ACAmmmnnm=因此，A(1)(2)(1)CA!

5、mmnnmmn nnnmm探究新知!()!Amnnnm因为 ，所以上面的组合数公式还可以写成这里n,mN*，并且mn.这个公式叫做组合数公式.!C!()!mnnmnm规定0C1n=例1 计算:(1);(2);(3);(4).310C710C1010C010C解：331010331098(1)1203!ACA创=120!38910!3!7!78910)!710(!7!10)2(710C1!10!10)3(101010101010AAC1)4(010C典例分析追问:分别观察例中(1)与(2),(3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？3710010101010 CCCC=;C C1mn mnn组合

6、数性质：C1:Cmnmnn组合数性质证明：!,()!()(!)!)nmn mnnmmnnnnnCCnmnmnmnnCCmmm直观解释：该性质反映了组合数的对称性.其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从n个不同元素中取出m

7、个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 .mn mnnCCmnCn mnC探究新知112mmmnnnCCC组合数性质:证明：11!()!(1)!(m1)!(1)!(1)!mmnnmnnnCCnmmmnnCm nm 直观解释：该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法.由分类加法计数原理，得 .1mnCmnC

8、11mmmnnnCCC探究新知98971001002._.(CC计算：结果用组合数作答）8989100993._.(CC计算：结果用组合数作答）98101C8899C小试牛刀1.计算：273232697685(1);(2);(3);(4)32CCCCCC266 5(1)15;2 1C解：7729999!9 8 79 89 8(2)36;36;7!(97)7!222CCC！或！3276(3)35 1520;CC3285(4)323 562 10148.CC (1)每个小组有多少种选法?(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每小组有多少种选法?(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二

9、、三、四辩手，那么每小组有多少种选法?412C=49541124CC=1980412A=11880例2 班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.典例分析解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理,只选不排，合理分类、分步.1.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?1117C=123761111711CC=136136巩

10、固练习解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 3100100 99 98C1617003!创=典例分析122989897CC295062!=12C298C(2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意

11、抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？典例分析3310098C-C=9604方法2:抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即1221298298CCCC9506989604+=+=解：(3)方法1:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解变式：把(3)中的“至少”改为“至多”，

12、则抽法有多少种?12329898CCC161602+=321100298 CCC=161602或(4)如果物理和化学都没被选，那么共有多少种不同的选法?(5)如果物理、化学和生物至少有2门被选，那么共有多少种不同的选法?1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)一共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?36C201224CC1212212424CCCC1634C=4213333CCC1032136333CCC-C=10或巩固练习2.按

13、下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；3239C C=360539C C=1261419C C=1261439C C=3785321239756CC C方法二：5051239666CC C方法二：课堂练习课堂小结1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.Cmn2.组合数的公式(1)(2)(1)!C!()!mnn nnnmnmmnm3.组合数的性质11 CC2 Cmmmnnn组合数性质：C C1mn mnn组合数性质: