6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ppt课件 (2)-2022新人教A版(2019)《高中数学》选择性必修第三册.pptx
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1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章第六章 计数原理计数原理 汽车号牌的序号一般是从汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、个英文字母、10 个阿拉伯数字中选出若干个,并按适当个阿拉伯数字中选出若干个,并按适当顺序排列而成顺序排列而成.随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需要扩容要扩容.那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢?这这就需要就需要“数数(shu)出出”某种汽车号牌序
2、号的组成方案下所有可能的序号数,这就是某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数,这就是计数计数.日常生活、生产中类似的问题大量存在日常生活、生产中类似的问题大量存在.例如,幼儿会通过一个一个地数的方法,统例如,幼儿会通过一个一个地数的方法,统计自己拥有玩具的数量;学校要举行班际篮球比赛,在确定赛制后,体育组的老师需要计自己拥有玩具的数量;学校要举行班际篮球比赛,在确定赛制后,体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛;用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号,颜色的不同排列表知道共需要举行多少场比赛;用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号,颜色的不同排列表示不同的信号,需要知道共可以组成多少种不同的信号示
3、不同的信号,需要知道共可以组成多少种不同的信号 如果问题中数量很如果问题中数量很少,一个一个地数也不失为一种计数的好方法少,一个一个地数也不失为一种计数的好方法.但如果问题中数量很多,我们还一个一但如果问题中数量很多,我们还一个一个地去数吗个地去数吗?在小学我们学了加法和乘法,这是将若干个在小学我们学了加法和乘法,这是将若干个“小小”的数结合成的数结合成“较大较大”的数最基本的方的数最基本的方法法.这两种方法经过推广就成了本章将要学习的这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理.这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,利用
4、两个计数原理还可以得到两这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式类特殊计数问题的计数公式排列数公式和组合数公式排列数公式和组合数公式,应用公式就可以方便地解决一,应用公式就可以方便地解决一些计数问题些计数问题.作为计数原理与计数公式的一个应用,本章我们还将学习在数学上有广泛作为计数原理与计数公式的一个应用,本章我们还将学习在数学上有广泛应用的应用的二项式定理二项式定理.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个地数是计数的基本方法计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时,列举的
5、方法效率不高但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高.能否设计巧妙的能否设计巧妙的“数法数法”,以,以提高效率呢提高效率呢?下面先分析一个简单的问题,并尝试从中得出巧妙的计数方法下面先分析一个简单的问题,并尝试从中得出巧妙的计数方法.思考思考 用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码总共能编出多少种不同的号码?因为英文字母共有因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码种不同的号码.探究探究 你能说一说这
6、个问题的特征吗你能说一说这个问题的特征吗?首先,这里要完成的事情是首先,这里要完成的事情是“给一个座位编号给一个座位编号”;其次是;其次是“或或”字的出现字的出现:一个一个座位编号用一个英文字母座位编号用一个英文字母或或一个阿拉伯数字表示一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字因为英文字母与阿拉伯数字互互不相同不相同,所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同,所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这这两类号码数相加就得到号码的总数两类号码数相加就得到号码的总数.这里的这里的“或或”代表代表分类分类.上述计数过程的基本环节是:上述计数过程的基本环节是:
7、(1)确定确定分类标准分类标准,根据问题条件分为,根据问题条件分为字母号码和数字号码两类字母号码和数字号码两类;(2)分别计算分别计算各类号码的个数各类号码的个数;(3)各类号码的个数相加各类号码的个数相加,得出所有号码的个数,得出所有号码的个数.我们把这种计数方法称为我们把这种计数方法称为分类加法计数原理分类加法计数原理.一般地,如果完成一件事有一般地,如果完成一件事有两类不同方案两类不同方案,在第,在第1类方案中有类方案中有m种不同的种不同的方法,在第方法,在第2类方案中有类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法,那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法种不同的方法.分类加法
8、计数原理:分类加法计数原理:两类不同方案中的两类不同方案中的方法互不相同方法互不相同 例例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,如下表有一些自己感兴趣的强项专业,如下表.如果这名同学只能只能选一专业,那么他共有多少种选择?如果这名同学只能只能选一专业,那么他共有多少种选择?A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学 解:解:这名同学可以选择这名同学可以选择A,B两所大学中的一所两所大学中的一所.在在A大学中有大学中
9、有5种专业选择种专业选择方法,在方法,在B大学中有大学中有4种专业选择方法种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共因为没有一个强项专业是两所大学共有的,所以根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数为有的,所以根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数为549.N 2.在例在例1中,如果数学也是中,如果数学也是A大学的强项专业,那么大学的强项专业,那么A大学共有大学共有6个专业可个专业可以选择,以选择,B大学共有大学共有4个专业可以选择,应用分类加法计数原理,得到这个专业可以选择,应用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为名同学可能的专业选择种数为6+4=10.
10、这种算法有什么问题?这种算法有什么问题?A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学数学数学 解:解:这种算法有问题,因为问题强调的是这名同学的专业选择,故并不需要考这种算法有问题,因为问题强调的是这名同学的专业选择,故并不需要考虑学校的差异,所以这名同学可能的专业选择种数应当为虑学校的差异,所以这名同学可能的专业选择种数应当为6419().N 种种课本课本P5特别地,如果完成一件事有特别地,如果完成一件事有n类不同方案,在第类不同方案,在第1类方案中有类方案中有m1种不同的方种不同的方法,在第法,在第2类方案中有类方
11、案中有m2种不同的方法,种不同的方法,在第在第n类方案中有类方案中有mn种种不同的方法,那么完成这件事共有不同的方法,那么完成这件事共有m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.探究探究 如果完成一件事有三类不同方案,在第如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有类方案中有m1种不同的方种不同的方法,在第法,在第2类方案中有类方案中有m2种不同的方法,在第种不同的方法,在第3类方案中有类方案中有m3种不同的方种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事有如果完成一件事有n类不同方案,在每一类方案中都有若干种不同的方类不同方案,在每一
12、类方案中都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢法,那么应当如何计数呢?根据分类加法计数原理,可知完成这件事共有根据分类加法计数原理,可知完成这件事共有m1+m2+m3种不同的方法种不同的方法.各类不同方案中的各类不同方案中的方法互不相同方法互不相同 思考思考 用前用前6个大写英文字母个大写英文字母和和19这这9个阿拉伯数字,以个阿拉伯数字,以A1,A2,A9,B1,B2,的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码?这里要完成的事情仍然是这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号给一个座位编号”,但与前一问题的要求不同,但与前一
13、问题的要求不同.在前一问题在前一问题中,用中,用26个英文字母中的任意一个个英文字母中的任意一个或或10个阿拉伯数字中的任意一个,都可以给出一个个阿拉伯数字中的任意一个,都可以给出一个座位号码座位号码.但在这个问题中,号码必须由一个英文字母但在这个问题中,号码必须由一个英文字母和和一个作为下标的阿拉伯数字组一个作为下标的阿拉伯数字组成,即得到一个号码要经过成,即得到一个号码要经过先确定一个英文字母先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字后确定一个阿拉伯数字这样这样两个步两个步骤骤.用右图所示的方法可以列出所有可能的号码用右图所示的方法可以列出所有可能的号码.A19423数字数字5768字母字母
14、得到的号码得到的号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9树树状状图图能用树状能用树状图列出所图列出所有可能的有可能的号码吗?号码吗?由此可得,能编出的不同号码共有由此可得,能编出的不同号码共有9 654().种种 上述问题要完成的一件事情仍然是上述问题要完成的一件事情仍然是“给给 一个座位一个座位编号编号”,其中最重要的特征是,其中最重要的特征是“和和”字的出现:一个字的出现:一个座位编号由一个英文字母座位编号由一个英文字母和和一个阿拉伯数字构成一个阿拉伯数字构成.因因此得到一个座位号要经过此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母先确定一个英文字母,后确后确定一个阿拉伯数字定一个阿拉伯数字这这
15、两个步骤两个步骤,每一个英文字母与不,每一个英文字母与不同的数字组成的号码是同的数字组成的号码是互不相同的互不相同的.我们把上述这种计数方法称为我们把上述这种计数方法称为分步乘法计数原理分步乘法计数原理.分步乘法计数原理:分步乘法计数原理:一般地,完成一件事需要一般地,完成一件事需要两个步骤两个步骤,做第,做第1步有步有m种不同的方法,做第种不同的方法,做第2步有步有n种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法,那么完成这件事共有 Nmn种不同的方法种不同的方法.注意:无论第注意:无论第1步采用哪步采用哪种方法,与之对应的第种方法,与之对应的第2步都有相同的方法数步都有相同的方法数.特别地,
16、如果完成一件事需要特别地,如果完成一件事需要n个步骤,做第个步骤,做第1步有步有m1种不同的方法,种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法,做第,做第n步有步有mn种不同的方法,种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.12nmmm 例例2 某班有男生某班有男生30名、女生名、女生24名,从中任选男生和女生各名,从中任选男生和女生各1名代表班级参名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法加比赛,共有多少种不同的选法?解:解:第第1步,从步,从30名男生中选出名男生中选出1人,有人,有30种不同选法;种不同选法;第第2步,从步,从24名女生中
17、选出名女生中选出1人,有人,有24种不同选法种不同选法.根据分步乘法计数原理,共有不同选法的种数为根据分步乘法计数原理,共有不同选法的种数为 N3024=720.例例3 书架的第书架的第 1层放有层放有4本不同的计算机书,第本不同的计算机书,第2层放有层放有3本不同的文艺书,本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书,有多少种不同取法本书,有多少种不同取法?(2)从书架的第从书架的第1层、第层、第2层、第层、第3层各取层各取1本书,有多少种不同取法本书,有多少种不同取法?解:解:(1)根据分类加法计数原理,不同的取法种数为根据分类加法
18、计数原理,不同的取法种数为 N4329.(2)根据分步乘法计数原理,不同的取法种数为根据分步乘法计数原理,不同的取法种数为 N432=24.1.填空题填空题 (1)一项工作可以用一项工作可以用2种方法完成,有种方法完成,有5人只会用第人只会用第1种方法完成,另有种方法完成,另有4人只会用第人只会用第2种方法完成,从中选出种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种人来完成这项工作,不同选法的种数是数是_;(2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条,从条,从B村去村去C村的道路有村的道路有2条,从条,从A村经村经B村村去去C村,不同路线的条数是村,不同路线的条数是_.96课本课本P5
19、3.书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书,下层放有本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书本不同的语文书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书,有多少种不同的取法本书,有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各从书架上任取数学书和语文书各1本,有多少种不同的取法本,有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名,高二年级的学生名,高二年级的学生5名,高三年级的学生名,高三年级的学生4名名.(1)从三个年级的学生中任选从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法选法?(2)从三个年级的学生中各选从三个年级的
20、学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法选法?解:解:(1)11种;种;(2)30种种.解:解:(1)12种;种;(2)60种种.课本课本P6解:解:从从3幅画中选出幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第第1步,从步,从3幅画中选幅画中选1幅挂在左边墙上,有幅挂在左边墙上,有3种选法;种选法;第第2步,从剩下的步,从剩下的2幅画中选幅画中选1幅挂在右边墙上,有幅挂在右边墙上,有2种选法种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数为根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数为 N32=6
21、.这这6种挂法如右图所示种挂法如右图所示.例例4 要从甲、要从甲、乙、丙乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有多少种不同的挂法指定位置,共有多少种不同的挂法?.乙乙乙乙丙丙甲甲右边右边丙丙乙乙甲甲左边左边得到的挂法得到的挂法甲乙甲乙甲丙甲丙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙甲甲丙丙 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同方法种数的问题.区别在于区别在于:分类加法分类加法计数原理针对的是计数原理针对的是“分类分类”问题,其
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