7.1.1条件概率 ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pptx

1、2 当事件A与事件B相互独立时,两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率 如果事件A与B不独立,如何表示积事件AB的概率呢？在班级里随机选择1人做代表,(1)选到男生的概率 是多少?问题问题1 某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多少?团员非团员合计男生16925女生14620合计301545随机选择1人做代表,则样本空间包含45个等可能的样本点.A表示事件“选到团员”,n()=45,n(A)=30,n(B)=25.(1)根据古典概型知识可知,选到男生的概率P(B)=表7.1-1(单位:人)ABB表示事件

2、“选到男生”,则P(AB)=P(A)P(B)()255.()459n Bn在班级里随机选择1人做代表,(1)选到男生的概率 是多少?问题问题1 某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多少?P(B|A)=根据古典概型知识可知,(2)“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).相当于以相当于以A为样本空间来考虑事件为样本空间来考虑事件B发生的概率发生的概率,在新的样本空间中事件B就是积事件AB,它包含的样本点n(AB)=16.团员非团员合计男生16925

3、女生14620合计301545表7.1-1(单位:人)AB()()168.3015n ABn A4问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭,那么 用b表示男孩,用g表示女孩,则样本空间=bb,bg,gb,gg,且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,用B表示“选择的家庭中两个孩子都是女孩”,则A=bg,gb,gg,B=gg.所以n(A)=3,n(B)=1.(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？(1)根据古典概型知识可知,该家庭中两个都是女孩的概率P(B)=(2)

4、“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).A成为样本空间,事件B就是积事件AB,P(B|A)=()1.()4n Bn()1.()3n ABn AP(B|A)=此结论对于一般的古典概型仍然成立.一、条件概率一、条件概率上述两个问题中,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率都是如图7.1-1所示,若已知事件已知事件A发生的条件下发生的条件下,则则A成为样本空成为样本空间间.此时此时,事件事件B发生的概率是发生的概率是AB包含的样本点数与包含的样本点数与A包含的包含的样本点数的比值样本点数的比值,即P(B|A)=因为P(B

5、|A)=所以在事件A发生的条件下,事件B发生的的概率还可以通过来 计算.图7.1-1ABAB().()n ABn A().()n ABn A()()n ABn A()()()()n ABnn An()=,()P ABP A()()P ABP A条件概率的判断：条件概率的判断：(1)当题目中出现当题目中出现“在在条件下条件下”等字眼，一般为条件等字眼，一般为条件概率概率;(2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率是条件概率.ABAB一般地,设设A,B为两个随机事件为两个随机事件,且且P(A)0,我们称我们称为在事件为在事件A发生的

6、条件下发生的条件下,事件事件B发生的概率发生的概率,简称条件概率简称条件概率.()(|).()P ABP B AP A一、条件概率一、条件概率二、条件概率与事件相互独立性的关系二、条件概率与事件相互独立性的关系 在问题1和问题2中,都有P(B|A)P(B).一般地,P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等,那么事件A与事件B应满足什么条件?当事件A与B相互独立时,事件A的发生与否不影响事件B发生的概率,这时P(B|A)=P(B)成立.由事件A与B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)0,得反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)0,则P(B|A)=P(B

7、);P(B|A)=P(B)=P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.因此,当P(A)0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有()()P ABP A()()=()P A P BP A()()P ABP A若P(A)0,P(B)0时,事件A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B),8三、概率的乘法公式三、概率的乘法公式我们称上式为概率的乘法公式.对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)0,则注意：0P(B|A)1.9(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;例1 在5道试题中有3道代数题和2道几

8、何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求：(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.P(B|A)=P(AB)=因为n(AB)=32=6,所以1132CC()63=()2010n ABn.(2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下,事件B发生的概率,显然P(A)=,利用条件概率公式,得35()331=()1052P ABP A=.解：设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间包含20个等可能的样本点,即n()=

9、54=20.1154CC(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件,那么问题(1)就是积事件的概率,问题(2)就是条件概率.也可以先求条件概率,再用乘法公式求积事件的概率.例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求：(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.P(B|A)=.因此,事件A发生的条件下,事件B发生的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=12

10、313=.5210又P(A)=,利用乘法公式可得351111求条件概率有两种方法：求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间,先计算P(A)和P(AB),再利用条件概率公式求P(B|A);另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.ABAB()(|).()P ABP B AP A 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)0,则(1)P(|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)设 和B是两个对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).B

11、B()(|).()n ABP B An A1212 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)0,则(1)P(|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)设 和B是两个对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).BB说说 明：明：概率概率P(B|A)与与P(AB)的区别与联系：的区别与联系：联系：联系：事件事件A,B都发生了都发生了.区别：区别：(1)在在P(B|A)中，事件中，事件A,B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；后；在在P(AB)中，事件中，事件A,B同时发生同时发生.(2)样本空间不同，

12、在样本空间不同，在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本空间；成为样本空间；在在P(AB)中，样本空间仍为中，样本空间仍为.因此有因此有P(B|A)P(AB).(),()AABP B AABP AB中样本点数中样本点数中样本点数中样本点数ABAB14例2.已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?分析：要知中奖概率是否与抽奖次序有关,只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张奖券有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.P(B)=事实上

13、,在抽奖问题中,无论是有放回随机抽取还是不放回随机抽取,中奖的概率都与抽奖次序无关.因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关.乘法公式P(C)=解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则B=B,C=,则AAB1211();()1(),(|),(|),3322P AP AP AP B AP B A()P AB()(|)P A P B A211,323()P AB()(|)P A P B A211.323 甲不中的条件下,还剩2张奖券,所以乙中与不中都是 .121515分析:最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先

14、把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;(2)如果记得密码的最后1位数字是偶数,不超过2次就按对的概率.解：(1)设Ai=“第i次按对密码”(i=1,2),则事件A=“不超过2次就按对”可表示为因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为(2)设B=“密码的最后1位数字是偶数”,则因此,若记得最后1位密码是偶数,则不超过2次就按对的概率为A=A1 A2.1A事件A1与 A2互斥,由概率的加法公式及乘法公式,得1AP(A)=P(A1)+

15、P(A2)1A=P(A1)+P(A2|)1A191101091.51.5P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)1A1415542.52.516 P(AB)=P(A)=0.3.由条件概率公式可得解：P(B|A)=1,P(A|B)=.P(A|B)=P(B|A)=验证：AB,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.BA12()0.3=1()0.3P ABP A.()0.31=()0.62P ABP B.由此可得，由此可得，()(|)1(|).()P AABP B AP A BP B 若若,则则,A发生，则发生，则B一定发生一定发生2.从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,

16、抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌,求第2次抽到A牌的概率.解：设“第1次抽到A牌”为事件A,“第2次抽到A牌”为事件B,则“第1次和第2次都抽到A牌”为事件AB.方法1:在第1次抽到A牌的条件下,扑克牌中还剩下51张牌,其中有3张A牌,所以在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率是P(B|A)=方法2:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为P(B|A)=方法3:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为P(B|A)=31.5117114311451()4 31.()4 5117CCn ABn ACC4 3()3152 51.4 51()511752 51P ABP A

17、设第设第1次摸到白球为事件次摸到白球为事件A，第，第2次摸到白球为事件次摸到白球为事件B，则，则解：解：()7 62(1)(|).()7 93n ABP B An A 在第在第1次摸到白球的条件下，第次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为次摸到白球的概率为2.3727(2)()()(|).10315P ABP A P B A 两次都摸到白球的概率为两次都摸到白球的概率为7.153.袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求：(1)在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;(2)两次都摸到白球的概率.()7 67().()10 915n ABP ABn或191.条件概率(P(A)0)(0P(B|A)1)3.概率的性质(P(A)0)(1)P(|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);2.概率的乘法公式(P(A)0)()()(|)=()()n ABP ABP B An AP A.(3)设 和B是两个对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).BB