6.3.2 二项式系数的性质 ppt课件 (2)-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册.pptx

1、21.1.二项式定理：二项式定理：2.2.通项：通项：1,(0,1,2,)kn kkknTC abkn 3.3.二项式系数：二项式系数：注：项的系数与二项式系数是两个不同的概念注：项的系数与二项式系数是两个不同的概念 一、温故知新一、温故知新二项式系数：二项式系数：Cnk项的系数：项的系数：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积n0n1n 12n22kn kknnnnnnn(ab)C aC abC abC abC b(nN)一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:新课引入：新课引入：

2、二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么为特殊值时，二项式系数有什么特点？特点？计算计算(a+b)(a+b)n n展开式的二项式系数并填入下表：展开式的二项式系数并填入下表：通过计算填表通过计算填表,你发现了什么你发现了什么?n (a+b)(a+b)n n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15

3、 20 15 6 1 每一行的系数具有每一行的系数具有对称性对称性除此以外还有什么规律呢除此以外还有什么规律呢?二、探究新知二、探究新知1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式：上表写成如下形式：1 7 21 35 35 21 7 17()ab 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?在同一行中，每行两端都是在同一行中，

4、每行两端都是1 1，与这两个，与这两个1 1等距离等距离 的项的系数相等的项的系数相等.在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1 1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于 它它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.mnmnnCC rr 1rn 1nnCCC 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表写成如下形式：上表写成如下形式：杨辉三角：杨辉三角：这样的二项这样的二项式系数表，早在式系数表，早在我国南宋数学家我国南宋数学家杨辉杨辉12611261

5、年所著年所著的的详解九章算详解九章算法法一书里就已一书里就已经出现了，在这经出现了，在这本书里，记载着本书里，记载着类似右侧的表：类似右侧的表：展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：nba)(nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：rnC)(rfn,2,1,0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n 二项式系数的性质：二项式系数的性质：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式

6、得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 二项式系数的性质二项式系数的性质1.1.对称性对称性 2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B82.2.增减性与最大值增减性与最大值 kk 1nnn(n 1)(n2)(nk1)nk1CCk(k1)!k 所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决

7、定决定 由由n k1n 11kk2 n1k2 可知，当可知，当 时，时，Ckn1Ckn 1nkk 二项式系数是逐渐增二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的小的,且中间项取得最大值且中间项取得最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质 因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。2.2.增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系

8、数的性质1.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ；在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .510C611C511C 和3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项的系数。求系数最小的项的系数。462462C C5 51111最大的系数呢？最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查22.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解:第第8、9项的二项式系数项的二项式系数815715CC

9、与即即6435最大。最大。611462C 3.3.各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则，则 1ab 012CCCC2nnnnnn 这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系数的和的展开式的各二项式系数的和等于等于()nab 2n同时由于同时由于 上式还可以写成：上式还可以写成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 这是组合总数公式这是组合总数公式.二项式系数的性质二项式系数的性质 例例3.3.证明：在证明：在(a+b)(a+b)n n 的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和等于偶数项的二项式系数的

10、和.n0n1n-1rn rrnnnnnn(ab)C aC abC abC b a1,b1 令令，n0123nnnnnnn(11)CCCC(1)C 0213nnnn0(CC)(CC)在展开式在展开式证明：证明：得得即即赋值法赋值法中，中，0213nnnnCCCC =2=2n-1n-1121010101013579111111111111111._ CCCCCCCCC1021024 10211023知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法