5.2.3 简单复合函数的导数ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、5.2.3 5.2.3 简单复合函数的简单复合函数的导数导数(2)()()()()()()f x g xf x g xf x g x2()()()()()(3)()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x导数的四则运算法则(1)()()()()f xg xfxg x ()()cf xcfx特别地，复习回顾复习回顾探究新知探究新知探究1 如何求函数 yln(2x-1)的导数？现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.追问1 函数 yln(2x-1)可

2、以用基本初等函数表示吗？它的结构特点是什么？探究新知探究新知若设 u=2x-1 ,则 y=lnu.1()2x 如果把 y 与 u 的关系记作 y=f(u)和，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f(u)=f(g(x)=ln(2x-1).从而，yln(2x-1)可以看成是由 ylnu 及u2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.1()2x 复合函数的概念复合函数的概念 一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y

3、f(g(x).概念形成概念形成以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）ylog2(x1)（2）y(3x+5)3（3）ye0.05x1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=0.05x+3小试牛刀小试牛刀探究新知探究新知探究2 如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.(1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关.以 yx 表示 y 对 x 的导数,以 yu 表示 y 对 u 的导数,以 ux 表示 u 对 x 的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 yu=cosu,ux=2 (2)可以换个角度来求 yx：yx=(

4、sin2x)=(2sinxcosx)=2cos2x-sin2x=2cos2x可以发现，yx=2cos2x=cosu2=yu ux复合函数的求导法则 一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.概念形成概念形成yxyu ux f(g(x)=f(g(x)g(x)结构特点结果显示探究新知探究新知思考：现在可以用复合函数的求导法则来求函数 yln(2x-1)的导数了吗？函数 yln(2x-1)可以看成是由 ylnu 和 u2x-1 复合而成以yu 表示对 u 求导,以ux

5、表示对x求导u1因为yu(lnu),ux2,u1所以yx yu ux 2=2u2=21x例1 求以下函数的导数（1）y(3x+5)3;（2）ye0.05x1解：(1)y(3x+5)3可以看作函数yu3及u3x+5的复合函数 根据复合函数求导法则，有 yxyuux=(u3)(3x+5)=3u23=9(3x+5)2.(2)ye0.05x1可以看作函数yeu及u0.05x1的复合函数 根据复合函数求导法则，有 yxyuux=(eu)(0.05x1)=0.05eu=0.05e0.05x1.典例分析典例分析(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式

6、与复合函数的求导法则运算；(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.方法归纳方法归纳探究3 你能总结求复合函数yf(g(x)的导数的一般步骤吗？分 解求 导回 代解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数则当t=3时，它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.)232sin(18ty)232cos(1232cos18)232()sin18(tutuy232tu0)23cos(12y典例分析典例分析)232sin(18ty例2 某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际

7、意义.12133222(1)31,21(2)(31)2()33(31)2 xuxuxyuyyuuxux令则解：33222(2)1 2,()(1 2)3(2)66(1 2)xuxuxyuyyuuxuux令则 巩固练习巩固练习32211.2(1);(2)=(1-2);(3)=log(21);313(4)cos;(5)=sin(-3);(6)=2.32xyyxyxxxyyxy求下列函数的导数：22(3)21,log122(log)(21)2ln2ln2(21)ln2xuxuxyuyyuuxuux令则3sin3131sin)3()(coscos,3)4(xuxuuyyuyxuxux 则令3(5)3,sin233(sin)(3)cos(3)3cos(3)22xuxuxyuyyuuxux令则 2122(6)21,2(2)(21)2ln2 2ln2 2 2ln2 2uuuxxxuxuxyyyux令则 小结1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).2.复合函数的求导法则 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积3.复合函数求导的步骤：分解求导回代课堂小结课堂小结