5.3.2 函数的极值与最大（小）值（2）ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、5.3.2 5.3.2 函数的极值与函数的极值与最大最大(小小)值值(2)(2)如果在 x0 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0，那么 f(x0)为极大值；解方程 f(x)=0.当 f(x0)=0 时：如果在 x0 附近的左侧f(x)0，那么 f(x0)为极小值.1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：2.函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在 x0I，使得f(x0)=M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（2）对于任意的xI

2、，都有f(x)M;（2）存在 x0I，使得f(x0)=M那么，称M 是函数y=f(x)的最小值.复习回顾复习回顾问题问题1：找出函数找出函数y=f(x)的在区间的在区间a,b内极大值、极小值：内极大值、极小值：追问追问1：那么那么f(x)在区间在区间a,b的内最大值、最小值呢的内最大值、最小值呢?极大值：极大值：f(x2),f(x4),f(x6)极小值：极小值：f(x1),f(x3),f(x5)最大值：最大值：f(a)最小值：最小值：f(x3)探究新知探究新知xOya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6问题2：观察a,b上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在a,b上有最大值、最

3、小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？xyOaby=f(x)xyOabx2x1x3x4x5y=g(x)最大值：最大值：f(b);最小值：最小值：f(a)最大值：最大值：f(x3);最小值：最小值：f(x4)一般地，如果在闭区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.探究新知探究新知追问追问1：函数最值与极值有什么关系？函数最值与极值有什么关系？求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.2.函数

4、的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.探究新知探究新知追问追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？为什么给定函数的区间必须是闭区间？因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得).探究新知探究新知Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)例1 求 在0,3的最大值与最小值.31()443f xxx又因为f(0)=4,f(3)=1典例分析典例分析()022.fxxx=-令

5、,解得,或(),()xfxf x当 变化时，的变化情况如下表所示:解：因为2()4(2)(2)fxxxx=-=-+.x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)+单调递减单调递增34所以,当x=0，时函数f(x)在0,3上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在0,3上取得最小值 .34求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将将f(x)的的各导数值为零的点的函数值与各导数值为零的点的函数值与f(a),f(b)比较，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值方法归纳方法归纳(1)f(x)在在(a,b)内内导函数为零导函数为零的点，并计

6、算出其的点，并计算出其函数值函数值；巩固练习巩固练习1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：解:(1)因为()121,0,2fxxx=-1210，1211212骣桫，4924-xf(x)0f(x)+单调递减单调递增又因为f(0)=-2,f(2)=20所以,当x=2时，函数f(x)在0,3上取得最大值20，当x=时，函数f(x)在0,3上取得最小值 .1214924-令 解得 .()0,fx=112x=231(1)()62,0,2;(2)()612,3.3f xxxxf xxxx=-=+-巩固练习巩固练习1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：231(1)()62,0,2;(2)()61

7、2,3.3f xxxxf xxxx=-=+-x2(2,3)f(x)0f(x)22+单调递减单调递增231-，解:(1)因为21()123,33fxxx=-又因为155()(3)15327ff-=，所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20，当x=时，函数f(x)在 上取得最小值 .1,33-1,33-13-2755令 解得 .()0,fx=122()2xx=-=舍，典例分析典例分析10,1l.2nxxx 当时 证明例所以,当x=1时,f(x)取得最小值.(),()xfxf x当 变化时，的变化情况如下表所示:x(0,1)1(1,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递增0所以,f(x)f

8、(1)=0,即解：将不等式 转化为11ln xx11ln0 xx1()1lnf xxx 设 ,那么22111()xfxxxx 令 ,解得()0fx1x 11ln0 xx故当x0时,.11ln xx11yx 除点(1,0)外，曲线C1：在 y 轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.巩固练习巩固练习0,ln1.xxx1.当时 证明所以,当x=1时,f(x)取得最小值.(),()xfxf x当 变化时，的变化情况如下表所示:x(0,1)1(1,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递增0所以,f(x)f(1)=0,即xlnx10解：将不等式lnx x1转化为xlnx10令 ,解得()0fx1x

9、故当x0时,lnx x1.xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在 y 轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.设f(x)=xlnx1,那么f(x)=11x典例分析典例分析x(,2)2(2,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递增21e-因为f(x)=(x+1)ex+(x+1)(ex)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=(x+1)exxyO11-1-2-1（1）求出函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)及函数f(x)的零点；（3）用零点将f(x)定义域为若干个区间，列表给出f(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值；（4）确定f(x)

10、图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出f(x)的大致图象.方法归纳方法归纳通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象:典例分析典例分析问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？我们利用导数工具来解决这个问题.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ryO3212.求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：（1）f(x)在在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将）将f(x)的各的各导数值为零的点的函数值与导数值为零的点的函数值与f(a),f(b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值课堂小结课堂小结1.求最大（小）值的方法 只要把函数只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值较，就可以求出函数的最大值和最小值.3.解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案优化问题优化问题