第四章4.2.1第1课时　等差数列的概念及通项公式学案-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.doc

1、4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零思考你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？答案an1and(d为常数，nN*)知识点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项且2Aab

2、.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).知识点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？答案只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可知识点四从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上

3、的截距为a1d ；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.1数列4,4,4，是等差数列()2数列an的通项公式为an则an是等差数列()3若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()4若三个数a，b，c满足ac2b，则a，b，c一定是等差数列()一、等差数列的通项公式及其应用例1在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求an.反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可(2)等差数列an的通项公式ana1(n1)d

4、中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”(3)通项公式可变形为andn(a1d)，可把an看作自变量为n的一次函数跟踪训练1在等差数列an中，求解下列各题：(1)已知公差d，a78，则a1        .(2)已知a30，a72a41，则公差d        .(3)已知an的前3项依次为2,6,10，则a15 &nb

5、sp;      .二、等差数列的判定与证明已知数列an满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.延伸探究将本例中的条件“a12，an1”换为“a14，an4(n>1)，记bn”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列. (2)等差中项法2an1anan2(nN*)数列an为等差数列(3)通项公式法数列an的通项公式形如anpnq(p，q为常数)数列an为等差数列跟踪训练2已知

6、数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式三、等差中项及应用例3(1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列(2)已知，成等差数列求证：，也成等差数列反思感悟若a，A，b成等差数列，则A；反之，由A也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项A.跟踪训练3(1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也成等差数列等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获

7、利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？素养提升(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现1已知等差数列an的通项公式an32n(nN*)，则它的公差d为()A2 &nbs

8、p;B3  C2  D32若5，x，y，z，21成等差数列，则xyz的值为()A26  B29  C39  D523在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an1<0的n为( 0="" 1="" 2="" 4="" 10="" 14="" 18="" 20="" 21="" 22="" 23="" 24=&q

9、uot;" 28="" .="" n="" 2n="" b.="" a.="" c.="" d.="" 7.="" a3a6="">a4a5  Ba3a6<a4a5 a6=>a4a5  Da3a6a4a514已知数列an满足a11，若点在直线xy10上，则an       &nbs

10、p;.15已知数列an满足aa4，且a11，an>0，则an        .16若数列bn对于nN*，都有bn2bnd(d为常数)，则称数列bn是公差为d的准等差数列例如cn则数列cn是公差为8的准等差数列设数列an满足：a1a，对于nN*，都有anan12n.(1)求证：数列an为准等差数列；(2)求数列an的通项公式参考答案例1解(1)由题意知解得(2)由题意知解得所以ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*. 跟踪训练1答案(1)10(2)(3)58解析(1)由a7a16d，得8a16，故a110

11、.(2)设首项为a1，公差为d，则解得(3)由题意得，d624，把a12，d4代入ana1(n1)d，得an2(n1)44n2，a15415258.例2解(1)数列是等差数列，理由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(2)由上述可知(n1)d，an，nN*.延伸探究(1)证明bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)解由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2，nN*.跟踪训练2(1)证明，bn1bn，又b11，bn是首项为1，公差为的等差数列(2)解由(1)知bnn，an1，an.例3(1)解因为1，a，b，c，7成等差数列，所以b

12、是1与7的等差中项，则b3，又a是1与3的等差中项，所以a1.又c是3与7的等差中项，所以c5.所以该数列为1,1,3,5,7(2)证明因为，成等差数列，所以，即2acb(ac)因为，所以，成等差数列跟踪训练3(1)解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.所以m和n的等差中项为3.(2)证明因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，所以a2(bc)c2(ab)2b2(ca)故a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成

13、等差数列解设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN*)，每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损由an22020n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损1.答案C解析由等差数列的定义，得d2.2.答案C解析5，x，y，z，21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.3.答案B解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即21<n22.又nN*，n2

14、2.4.答案3解析由题意，知a，d3，所以ad3.5.答案解析设从最上至最下每节的容量构成等差数列an，公差为d，由题意知则解得故a5a14d.1.答案D解析a4a22d642.d1.a1a2d3.an3(n1)1n2.2.答案C解析设公差为d，则a3a8a12da17d2a19d10.3a5a73(a14d)(a16d)4a118d20.3.答案AB解析根据题意知，a4a8aa13da17d(a12d)2.又a12，则410d(22d)2，解得d或d0.4.答案C解析b是x，2x的等差中项，b，又x是a，b的等差中项，2xab，a，.5.答案D解析对an1取倒数得3，3，是以为首项，3为公差

15、的等差数列(n1)33n，an，a20.6.答案解析an1an，an1an(nN*)，数列an是以2为首项，为公差的等差数列7.答案ab或a3b解析由等差中项的定义知，x，x2，2，即a22ab3b20，(a3b)(ab)0，a3b或ab.8.答案23.2解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)9.解设数列an的公差为d，则解得(1)a10a19d22725

16、.(2)an2(n1)33n5，由1123n5，解得n39.所以112是数列an的第39项(3)由80<3n5<110，解得28<n<38，所以n的取值为29,30，38，共10项10.(1)证明由，得，故数列是首项为1，公差为的等差数列(2)解由(1)知(n1)，所以an，nN*.11.D若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列答案AC解析A项中，a，b，c为等差数列，2bac，2(2b)2a2c，2a，2b，2c成等差数列，故A正确C项中，a，b，c成等差数列，2bac，2(b2)(a2)(c2)，a2，b2，c2成等差数列故C正确12.答案C解析设an

17、24(n1)d，nN*，由解得<d3.13.答案B解析由通项公式，得a3a12d，a6a15d，那么a3a62a17d，a3a6(a12d)(a15d)a7a1d10d2，同理a4a52a17d，a4a5a7a1d12d2，显然a3a6a4a52d2<0. 3.="" an="">0，an，nN*.16.(1)证明因为anan12n(nN*)，所以an1an22(n1)，得an2an2(nN*)，所以数列an是公差为2的准等差数列(2)解因为a1a，anan12n(nN*)，所以a1a221，即a22a.因为a1，a3，a5，是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，是以2a为首项，2为公差的等差数列，所以当n为偶数时，an2a2na，当n为奇数时，ana2na1.所以an</a4a5>