5.3.2第2课时　函数的最大(小)值ppt课件（共80张PPT）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一函数最值的定义1.一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.对于函数f(x)，给定区间I，若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.连续不断思考如图所示，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，找出函数f(x)在区间a，b上的最大

2、值、最小值.若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？答案函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.知识点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的 ；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值f(a)，f(b)1.函数的最大值不一定是函数的极大值.()2.函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在

3、区间端点处取得.()3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.()4.函数f(x)在区间a，b上连续，则f(x)在区间a，b上一定有最值，但不一定有极值.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、不含参函数的最值问题例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；解因为f(x)2x312x，x2,3，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思感悟求函数最值的步

4、骤(1)求函数的定义域.(2)求f(x)，解方程f(x)0.(3)列出关于x，f(x)，f(x)的变化表.(4)求极值、端点处的函数值，确定最值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练1求下列函数的最值：当f(x)0时，x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，(2)f(x)x2xln x，x1,3.x1,3，f(x)0在1,3上恒成立.f(x)在1,3上单调递增，当x1时，f(x)minf(1)0，当x3时，f(x)maxf(3)6ln 3.二、含参函数的最值问题例2已知函数f(x)x3ax2a2x.求函

5、数f(x)在0，)上的最小值.解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，当a0时，f(x)在0，a)上单调递减，在a，)上单调递增.所以f(x)minf(a)a3.当a0时，f(x)3x20，f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)minf(0)0.综上所述，当a0时，f(x)的最小值为a3；当a0时，f(x)的最小值为0；延伸探究当a0时，求函数f(x)x3ax2a2x在a,2a上的最值.解f(x)(3xa)(xa)(a0)，所以f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值

6、问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.解f(x)x22ax.令f(x)0，解得x10，x22a.令g(a)f(x)max，当2a 0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，当2a2，即a1时，f(x)在0,2上单调递减，从而g(a)f(x)maxf(0)0.当02a2，即0a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0 f(x)7abb16ab

7、由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟踪训练3已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，

8、h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，h(x)取极大值28；当x1时，h(x)取极小值4.而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.所以k的取值范围为(，3.四、导数在解决实际问题中的应用例4请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AEFBx(cm).某厂商要

9、求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0 x0；当20 x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位

10、：cm)满足关系：C(x)10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解由题设可知，隔热层厚度为x cm，再由C(0)8，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0 x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.3随堂演练PART THREE1.下列结论正确的是A.若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a

11、，b上的最大值B.若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C.若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb处取得D.若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值12345解析函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值.12345所以y的最大值为ymaxsin.3.函数f(x)x33x(|x|1)A.有最值，但无极值B.有最值，也有极值C.既无最值，也无极值D.无最值，但有极值12345解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x

12、)在(1,1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值.4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为12345解析设圆锥的高为h cm,0h20，123455.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，则a的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_.312345312345解析f(x)6x212x6x(x2).由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取得最大值3.1.知识清单：(1)函数最

13、值的定义.(2)求函数最值的步骤.(3)函数最值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR1.设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为Mm，所以f(x)为常数函数，故f(x)0，故选A.2.已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为A.f(a)g(a)B.f(

14、b)g(b)C.f(a)g(b)D.f(b)g(a)12345678910 11 12 13 14 15 16解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a).3.函数f(x)x33x1在区间3,0上的最大值和最小值分别是A.1，1 B.1，17 C.3，17 D.9，1912345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,13,0.所以函数f(x)的最大值为3，最小值为17.4

15、.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设毛利润为L(P).则L(P)PQ20Q(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去).此时，L(3

16、0)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.5.(多选)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的值可以为12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)3x23a，且f(x)0有解，ax2.又x(0,1)，0a1.解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1(舍去).又因为x0,1)时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2.又f(0)0，f(3)18，所以m18，n2.12345678910 11 12 13 14 15 166.若函数f(x)x33x在区间0,3上的

17、最大值、最小值分别为m，n，则m_，n_.18 212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16f(x)x32x21解析f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0得x10，x2a，当x1,0时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(0,1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(0)b1，12345678910 11 12 13 14 15 16所以f(x)x32x21.9.求下列函数的最值：12345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)cos xsin x.12345678910 11

18、 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16化简为x2x20，解得x12(舍去)，x21.当0 x0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，f(1)f(2).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0 x1)的最大值.解f(x)3x23a3(x2a).若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，f(x)有最大值f(0)0.12345678910 11 12

19、 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0，当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.11.已知函数f(x)exxa，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是A.(1，)B.(，1)C.1，)D.(，1综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.12345678910 11 12 13 14 15 1612.下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断

20、正确的是f(x)0的解集是x|0 x0得0 x2，故正确.f(x)(2x2)ex，12345678910 11 12 13 14 15 16结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故不正确.12345678910 11 12 13 14 15 1622令f(x)0，得x11，x21.f(x)max2，f(x)min2.12345678910 11 12 13 14 15 1614.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大.212345678910 11 12 13 1

21、4 15 16解析设OO1x m，则1x4.令V(x)0，解得x2(不合题意，舍去)或x2.当1x0，V(x)单调递增；当2x4时，V(x)1)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 164解析由题意得，f(x)3ax23，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16由f(1)0，可得a4，综上可得a4.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增.f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间.12345678910 11 12 13 14 15 16解当x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，12345678910 11 12 13 14 15 16当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，12345678910 11 12 13 14 15 16