新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册PPT课件（全册打包）.rar

微专题：构造函数在微专题：构造函数在导数中的应用导数中的应用复习回顾1.基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式 f(x)=c(c为常数为常数)f(x)=f(x)=sinxf(x)=f(x)=cosxf(x)=f(x)=exf(x)=f(x)=ax(a0,a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=f(x)=logax(a0,a1)f(x)=2.导数运算法则导数运算法则f(x)g(x)=;f(x)g(x)=;=.构造函数在构造函数在导数中的应用导数中的应用 构造函数构造函数是一种重要的解题方法，常常用于解决是一种重要的解题方法，常常用于解决比较比较大小大小、解不等式解不等式、数列数列、方程有解方程有解或或恒成立问题恒成立问题，这种方，这种方法体现了法体现了函数与方程函数与方程、转化与化归转化与化归的两大数学思想，下面的两大数学思想，下面我就导数小题中构造函数的方法和大家一起学习交流我就导数小题中构造函数的方法和大家一起学习交流.探究新知例题解析例例1 设函数设函数f(x)是奇函数是奇函数f(x)(xR)的导函数，的导函数，f(1)=0，当，当x0时，时，xf(x)f(x)0成立的取值范围是（成立的取值范围是（）A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,+)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,+)A变式1 设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)=0，当x0时，xf(x)+f(x)0成立的取值范围是（）A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,+)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,+)A变式练习导函数形如xf(x)f(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如xf(x)f(x)0时，xf(x)2f(x)0成立的取值范围是（）A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,+)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,+)A 导函数形如xf(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如xf(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=.总结：变式练习加减形式积商定加减形式积商定系数不同幂来补系数不同幂来补例题解析例例2 设设f(x)是定义在是定义在R上的可导函数，且满足上的可导函数，且满足f(x)f(x)，对于，对于任意的正实数任意的正实数a，则下列式子成立的是（，则下列式子成立的是（）A.f(a)eaf(0)C.eaf(a)f(0)A导函数形如f(x)f(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)f(x)0，f(0)=1，则不等式f(x)e2x的解集为 .x|x0导函数形如f(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)nf(x)0，f(0)=1，则不等式f(x)e2x2的解集为 .x|x0导函数形如f(x)nf(x)k0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)nf(x)k0，在在下列不等式成立的是下列不等式成立的是()A.B.C.D.BCD变式1 定义在 上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f(x)tanx成立，则（）A.B.C.D.D变式练习导函数形如f(x)sinxf(x)cosx0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)sinxf(x)cosx0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)cosxf(x)sinx 0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)cosxf(x)sinx 0，可构造函数F(x)=;总结：课堂小结构造函数的类型构造函数的类型导函数形如xf(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如xf(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=.类型一：导函数形如f(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)nf(x)0，可构造函数F(x)=.类型二：加减形式积商定加减形式积商定系数不同幂来补系数不同幂来补课堂小结类型三：导函数形如f(x)nf(x)k0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)nf(x)k0，可构造函数F(x)=.类型四：导函数形如f(x)sinxf(x)cosx0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)sinxf(x)cosx0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)cosxf(x)sinx 0，可构造函数F(x)=;导函数形如f(x)cosxf(x)sinx 0，可构造函数F(x)=;第四章第四章 数列求和数列求和微专题微专题2.等比数列等比数列前前n项和公式项和公式(错位相减法错位相减法)1.等差数列等差数列前前n项和公式项和公式(倒序相加法倒序相加法)一、公式法一、公式法3.两两类特殊数列的前类特殊数列的前n项和项和(二次幂和、三次幂和二次幂和、三次幂和)例1 数列an满足an=3n-20，求数列an的前n项和Sn的最小值.典例分析典例分析通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项.二二、裂项相消法裂项相消法典例分析典例分析例2 已知数列 是公比为4的等比数列，且满足a2,a4,a7成等比数列，求数列 的前n项和Tn.(1)使用条件:通项公式是形如anbn的形式,数列an和bn中一个是等差数列,一个是等比数列;(2)所乘系数:在等式两边同乘的是等比数列的公比;(3)书写格式:两个等式中次数一样的项对齐;(4)差的特点:相减后的差共有n+1项,去掉前后两项,中间的n-1项一定是等比数列.三三、错位相减法错位相减法典例分析典例分析例3 已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=an+1-2，求数列(2n+1)an的前n项和Tn.(1)一般情况下形如cnanbn；(2)数列an与bn是等差数列,或等比数列,或是其他已知求和方法的数列；(3)求数列cn的前n项和，分别利用已知的求和方法；如等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.四四、分组求和法分组求和法典例分析典例分析例4 已知数列an满足an=3an-1+2(n2)，a1=1，若bn=3an+2n-1，求数列bn的前n项和Tn.(1)倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).(2)如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法.五五、倒序相加法倒序相加法典例分析典例分析例5 已知函数y=f(x)满足f(x)+f(1-x)=1，若数列an满足 ，求数列an的前20项和.六六、绝对值型求和绝对值型求和实际就是一个去绝对值的过程,绝对值的临界值就是分类讨论的点.已知数列an的前n项和为Sn,求数列|an|的前n项和Tn.思路：由an0,得nn0(不妨设为n0整数)当1nn0时,an0；而当nn0+1时,an0.当1nn0时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Sn当nn0+1时,Tn=|a1|+|a2|+|an0|+|an0+1|+|an|=(a1+a2+an0)-(an0+1+an)=Sn0-(Sn-Sn0)=2Sn0-Sn综上，典例分析典例分析例6 已知数列an的前n项和为Sn=14n-n2，求数列|an|的前n项和Tn.2.适用于通项中含有(1)n的数列摆动数列，形如an=(-1)nf(n)，可采用两项合并求解3.涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性，分项数为奇数和偶数分别进行求和，最后综合.七七、并项求和法并项求和法1.求 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和典例分析典例分析例7 求12-22+32-42+(-1)n-1n2.1.求数列1,35,7911,13151719，的前n项和.这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和巩固练习巩固练习 解:(1)当x1时，Sn4n.综上可知，(2)当x1时，巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习4.求和：Sn1357(1)n(2n1).解：当n为奇数时，Sn(-13)(-57)(-911)(-2n5)(2n-3)(-2n1)当n为偶数时，Sn(1)nn(nN*).巩固练习巩固练习5.求和：Snx2x23x3nxn(x0).当x1时，Snx 2x2 3x3 4x4(n1)xn-1 nxn，xSn x2 2x3 3x4 (n1)xnnxn1，(1x)Snx x2 x3 xn nxn1巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习7.已知等差数列an中,公差d=2,a2是a1和a4的等比中项.设 ,求数列bn的前n项和Tn.1.公式法(2)四类特殊数列的前n项和4.分组求和法(1)等差、等比数列的前n项和公式；(2)数列an与bn是已知求和方法的数列；(1)一般情况下形如cnanbn；课堂小结课堂小结求数列前n项和的方法3.错位相减法2.裂项相消法(1)形如cnanbn,一个是等差数列,一个是等比数列;(2)步骤：乘公比，错位减(1)通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项；(2)记住常见的拆项公式(2)数列an与首末两端等“距离”的两项和相等,则用倒序相加法求和.5.倒序相加法(1)适用于通项中含有(1)n的数列摆动数列;7.并项求和法(2)也可分奇数项和偶数项求和课堂小结课堂小结求数列前n项和的方法6.绝对值型求和(1)将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)；实际就是一个去绝对值的过程,绝对值的临界值就是分类讨论的点.第四章第四章 数列数列通项通项微专题微专题2.等比数列等比数列通项公式通项公式(累乘法累乘法)1.等差数列等差数列通项公式通项公式(累加法累加法)一、公式法一、公式法题型形式：题型形式：1.求（公差）公比；求（公差）公比；已知数列为等差（等比）已知数列为等差（等比）理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：2.直接应用公式直接应用公式.例1 已知数列bn中，b1=3且3bn-bn+1=0(nN*)，求数列bn的通项公式.典例分析典例分析二二、累加法累加法题型形式：题型形式：形如形如an+1 an=f(n)或或an+1=an+f(n)解题方法：解题方法：1.写出写出an+1 an=f(n)的形式的形式；4.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.3.得到得到an a1的值，解出的值，解出an；2.写出写出an an-1,an-1 an-2,a2 a1，并将它们，并将它们累加起来累加起来；典例分析典例分析例2 已知数列an满足a1=1，an+1=an+n+1(nN*)，求数列an的通项公式.三三、累乘法累乘法题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：4.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.形如形如 或或an+1=an f(n)1.写出写出 的形式的形式；2.写出写出 ，并将它们累乘起来，并将它们累乘起来；3.得到得到 的值，解出的值，解出an；典例分析典例分析例3 已知数列an 满足 ，求数列an的通项公式.四四、Sn和和an的递推关系式的递推关系式题型形式：题型形式：理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：1.当当n 2时，时，an=Sn Sn-1；2.当当n=1时，时，a1=S1；已知已知Sn=f(an)或或Sn=f(n)或或Sn=f(Sn-1)3.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.典例分析典例分析例4 已知数列an的前n项和为 ，求数列的前3项，并求它的通项公式.五五、前前n项和项和(积积)法法类推作差类推作差(商商)题型形式：题型形式：理论公式：理论公式：解题方法：解题方法：1.令题中通项和为令题中通项和为Sn；2.写出写出Sn-1的表达式的表达式；已知已知前前n项和项和，Sn Sn-1=an；已知已知前前n项积项积，具有一定通项公式的具有一定通项公式的前前n项和相加得到项和相加得到f(n).3.利用利用Sn Sn-1=an或或 求求an；4.检验检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式若不成立，则写成分段形式.典例分析典例分析例5 已知数列an 满足3a1+32a2+33a3+3nan=n(nN*)，求数列an的通项公式.数列数列通项通项之构造法之构造法第一步：利用题干中的条件将原数列第一步：利用题干中的条件将原数列构造构造成成新的特殊数列新的特殊数列；第二步：求出第二步：求出新数列新数列的通项公式；的通项公式；第三步：通过对新数列与原数列的第三步：通过对新数列与原数列的关系关系，求出，求出原数列原数列的通的通 项公式项公式.一一、构造法构造法(1)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+q(其中其中p,q为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+1+t=p(an+t)的形式的形式(将原递推将原递推公式做一个常数的配给调整公式做一个常数的配给调整)，然后将其整理成与，然后将其整理成与原递推公式的形式相同原递推公式的形式相同；2.由待定系数法由待定系数法(根据对应项相等原则根据对应项相等原则)，解得，解得 ；3.求数列求数列 的通项公式的通项公式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.加加常常数数法法典例分析典例分析例1 在数列an中，a1=2，an+1=2an+2，求数列an的通项公式.二二、构造法构造法(2)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+qn+r(其中其中p,q,r为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式的形式；2.由待定系数法由待定系数法(根据对应项相等原则根据对应项相等原则)，求出，求出x,y的值的值；3.求数列求数列an+xn+y 的通项公式的通项公式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.加加变变量量法法典例分析典例分析例2 在数列an中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，求数列an的通项公式.三三、构造法构造法(3)题型形式：题型形式：形如形如an+1=pan+qn(其中其中p,q为常数，且为常数，且pq(p1)0)解题方法：解题方法：4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.1.递推公式的两边同时除以递推公式的两边同时除以qn+1，得，得 ；3.求数列求数列bn的通项公式的通项公式；2.设设 ，则递推公式转化为，则递推公式转化为 ；典例分析典例分析例3 已知数列an满足a1=2，an+12an=2n+1，求数列an的通项公式.四四、构造法构造法(4)题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.1.将递推公式的两边取倒数或同时除以将递推公式的两边取倒数或同时除以anan+1，得得 ；形如形如 或或qanan+1+ran+1=pan(其中其中p,q,r为常数为常数)2.设设 ，则递推公式转化为，则递推公式转化为 ；3.利用构造法利用构造法(1)可求数列可求数列bn的通项公式的通项公式；典例分析典例分析例4 在数列an中，已知a1=2，anan+1+an+1=2an，证明数列 为等比数列，并求数列an的通项公式.五五、构造法构造法(5)题型形式：题型形式：形如形如xan+2+yan+1+zan=r(其中其中x,y,z,r为常数为常数)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+2pan+1=m(an+1pan)+q的形式的形式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.2.设设bn=an+1 pan，则递推公式转化为，则递推公式转化为bn+1=mbn+q；3.利用构造法利用构造法(1)可求数列可求数列bn的通项公式的通项公式；对中间项做一个配给调整对中间项做一个配给调整典例分析典例分析例5 已知Sn是数列an的前n项和，a1=1,a2=4,an+13an+2an-1=1，求数列an的通项公式.六六、构造法构造法(6)题型形式：题型形式：形如形如xan+2+yan+1+zan=0(其中其中x,y,z为常数为常数)解题方法：解题方法：1.假设递推公式为假设递推公式为an+2+pan+1=m(an+1+pan)的形式的形式；4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.2.设设bn=an+1+pan，则递推公式转化为则递推公式转化为bn+1=mbn；3.求等比数列求等比数列bn的通项公式的通项公式；对中间项做一个配给调整对中间项做一个配给调整典例分析典例分析例6 已知数列an满足3an2an-1=an+1(n2,nN*)，且a1=0,a6=2021，求a2.七七、整体构造法整体构造法题型形式：题型形式：递推关系式一般比较大一堆，而且下标关系与递推关系式一般比较大一堆，而且下标关系与an前关于前关于n的关系相同的关系相同.解题方法：解题方法：方法方法1：递推关系式左右同时取倒数：递推关系式左右同时取倒数；方法方法3：递推关系式左右同时加一个常数再取倒数：递推关系式左右同时加一个常数再取倒数.方法方法2：递推关系式同时除以：递推关系式同时除以anan+1或者或者n(n+1)等；等；典例分析典例分析例7 已知数列an满足nan+1(n+1)an=1(nN*),且 a3=2，求a2021.八八、取对数取对数题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：1.对递推公式的两边取对数；对递推公式的两边取对数；2.令令bn=logman，转化为，转化为bn+1=pbn+q；形如形如 (n2,p0)4.求数列求数列an的通项公式的通项公式.3.求数列求数列bn的通项公式的通项公式；典例分析典例分析例6 已知数列an，a1=100,=100,(nN*)，求数列an的通项公式.九九、因式分解因式分解题型形式：题型形式：解题方法：解题方法：1.合并同类项；合并同类项；2.提取公因式提取公因式；题中涉及题中涉及 ，多数能因式分解，多数能因式分解4.得到前面构造法的形式；得到前面构造法的形式；3.约分约分；5.利用构造法求利用构造法求an.典例分析典例分析例8 设数列an是首项为1的正项数列，且 (nN*)，求数列an的通项公式.数列数列通项通项之周期数列之周期数列 对于数列an，如果存在一个常数T(TN*)，使得对任意的正整数nn0，恒有an+T=an成立，则称数列an是从第n0项起的周期为T的周期数列周期数列.(T的最小值称为最小正周期，简称周期)若n0=1，则称数列an为纯纯周周期期数数列列；若n02，则称数列an为混周期数列混周期数列.性质性质:(1)周期数列是无穷数列无穷数列，其值域是有限集；(2)周期数列必有最小正周期最小正周期(这一点与周期函数不同)；(3)如果T是数列an的周期，则对于任意的kN*，kT也是周期；(4)如果T是数列an的最小正周期，M是数列an的任一周期，则M=kT(kN*).类型一类型一题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：数列数列an是周期为是周期为3的数列的数列.数列数列周期：周期：类型二类型二题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：数列数列an是周期为是周期为3的数列的数列.数列数列周期：周期：类型三类型三题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：数列数列an是周期为是周期为6的数列的数列.数列数列周期：周期：类型四类型四题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：数列数列an是周期为是周期为4的数列的数列.数列数列周期：周期：类型五类型五题型形式：题型形式：证明过程：证明过程：数列数列an是周期为是周期为2的数列的数列.数列数列周期：周期：典例分析典例分析例1 已知数列an中，a1=b(b0),(nN*)，则能使an=b的n的值是()A.14 B.15 C.16 D.17例2 已知数列an满足，a1=2,(nN*)，则S2004=.例3 已知数列an满足，则a1998=.1002C典例分析典例分析例4 已知数列an满足，xn+1=xn xn-1(n 0),x1=a,x2=b,记记 Sn=x1+x2+xn，则下列结论正确的是()A.x100=a,S100=2ba B.x100=b,S100=2ba C.x100=b,S100=ba D.x100=a,S100=ba 例5 已知数列an满足，a1=2,(nN*)，设Sn为数列an的前n项和，则S20062S2007+S2008=()A.3 B.2 C.3 D.2AA4.1 4.1 数列的概念数列的概念1.王芳从王芳从1岁到岁到17岁岁，每年生日那天测量身高每年生日那天测量身高，将这些将这些身高数据身高数据(单位单位：cm)依次排成一列数依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168 实例引入实例引入2.在两河流域发掘的一块泥版在两河流域发掘的一块泥版(编号编号 K90,约产生于公元前约产生于公元前 7 世纪世纪)上上，有一列依次表示一个月中从第有一列依次表示一个月中从第 1 天到第天到第 15 天每天月亮可见部分的数：天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240 注：把满月注：把满月分成分成240份，份，从初一到十从初一到十五每天月亮五每天月亮的可见部分的可见部分可用一个代可用一个代表份数的数表份数的数来表示来表示.910111312141512456783 你能仿照上面你能仿照上面的叙述，说明的叙述，说明也也是具有确定顺序的是具有确定顺序的一列数吗？一列数吗？归纳归纳:上面三个例子的共同特征是什么？上面三个例子的共同特征是什么？定义：定义：按照一定顺序排列的一列数叫做按照一定顺序排列的一列数叫做 数列数列数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的_.项项 数列中的数列中的每一项每一项都和它的都和它的序号序号有关，排在第一位的数称为这有关，排在第一位的数称为这个数列的个数列的第第1项项（），排在第二位的数称为这个数列的，排在第二位的数称为这个数列的第第2项项，排在第，排在第n位的数称为这个数列这个数列的位的数称为这个数列这个数列的第第n项项.首项首项探究新知探究新知数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：注注:右下角标表右下角标表示这一项在数列示这一项在数列中的中的位置序号位置序号序号项数列是特殊的函数：数列是特殊的函数：数列是自变量为数列是自变量为数列是自变量为数列是自变量为离散的数离散的数离散的数离散的数的函数的函数的函数的函数数列与函数的关系探究新知探究新知与其它函数一样，数列可以用表格和图象来表示 例如数列：思考：思考：数列中的项数列中的项的大小随序号的变的大小随序号的变化趋势如何？化趋势如何？探究新知探究新知 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 摆动数列:从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 它的前一项的数列 常数列：各项相等的数列与函数类似，我们可以定义数列的单调性：探究新知探究新知思考：思考：按数列中的项的个数如何进行分类？按数列中的项的个数如何进行分类？有穷数列：个数有限的的数列无穷数列：个数无限的的数列数 列 的 分 类说说下列数列是什么数列？说说下列数列是什么数列？小试牛刀小试牛刀(5)23,21,18,20,20,22,21,19 递减数列摆动数列(2)1，3，5，7，9，11，递增数列常数列 摆动数列 无穷数列 无穷数列 无穷数列 有穷数列 有穷数列 如果数列如果数列an的的第第n项项与与序号序号n之间的关系可以之间的关系可以用用一个公式一个公式来表示，那么来表示，那么这个公式这个公式就叫做这个数列就叫做这个数列的的通项公式通项公式注意：并不是每个数列都能写出通项公式注意：并不是每个数列都能写出通项公式通项公式探究新知探究新知意义意义：通项公式就是通项公式就是数列的函数解析式数列的函数解析式，根据通项，根据通项公式可以公式可以写出数列的各项写出数列的各项.典例分析典例分析解:(1)(2)典例分析典例分析分析：解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负,所以它的一个通项公式是分析：解:(2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0,所以它的一个通项公式是注：用注：用(1)n或或(1)n1常常用来表示常常用来表示正负相间正负相间的变化规律的变化规律.分析：1.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:解：这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是小试牛刀小试牛刀解:典例分析典例分析本质上本质上:是要回答是要回答是否存在正整数是否存在正整数n，使得，使得n2+2n=120.1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;2.由通项公式可以求出数列中的每一项；3.检验某数是否是该数列中的一项.通项公式也是数列的一种表示方法通项公式的作用：（1）数列 1，2，3，4，5，6，（2）数列 2，4，6，8，10，12，（3）数列 1，3，5，7，9，11，1.观察下列数列的观察下列数列的前前几几项项，写出，写出一个通项公式：一个通项公式：（4）数列小试牛刀小试牛刀(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析观察分析，抓住以，抓住以下几方面的下几方面的特征特征：分式中分式中分子、分母分子、分母的特征；的特征；相邻项相邻项的变化特征；的变化特征；拆项拆项后的特征；后的特征；各项各项符号符号特征等，并对此进行归纳、联想特征等，并对此进行归纳、联想(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出，观察出项与序号之间项与序号之间的关系、规律的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶如自然数列、奇偶数列等数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n或或(1)n1来调整来调整方法归纳：方法归纳：1.已知数列an的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它们的图象.课堂练习课堂练习onan1234560.10.30.50.70.9我们好孤单！我们好孤单！是一些孤立点解:，数列的前5项如下表所示：数列用图象表示时的特点 一系列孤立的点123456on0.10.3-0.5-0.1-0.3an是一些孤立点，数列的前5项如下表所示：an=2nan=n22.观察下面数列的特点，用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式：课堂练习课堂练习拓展探究拓展探究1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数数列的定义：按照一定顺序排列的一列数.（离散的数的函数）（离散的数的函数）2.数列的分类：数列的分类：（1）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列（2）按项的个数：有穷数列、无穷数列）按项的个数：有穷数列、无穷数列3.数列的通项公式（不唯一）数列的通项公式（不唯一）课堂小结课堂小结4.1.2 4.1.2 数列的递推数列的递推公式公式创设情境创设情境 1202年，意大利数学家斐波那契年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci,约约1170约约1250)出版了他的算盘全书出版了他的算盘全书(Liber Abaci).他在书中他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:如果如果1对兔子每月能生对兔子每月能生1对小兔子对小兔子(一雄一雌一雄一雌)，而每，而每1对小兔子对小兔子在它出生后的第在它出生后的第3个月里，又能生个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由的情况下，由1对初生的小兔子开始，对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子个月后会有多少对兔子?在第在第1个月时，只有个月时，只有1对小兔子，过了对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，个月，那对兔子成熟了，在第在第3个月时便生下个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成个月，成熟的兔子再生熟的兔子再生1对小兔子，而另对小兔子，而另1对小兔子长大，有对小兔子长大，有3对小兔子，如对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格此推算下去，我们可以得到一个表格:时间时间/月月初生兔子初生兔子/对对成熟兔子成熟兔子/对对兔子总数兔子总数/对对11012011311245678121138135853852323 从第从第1个月开始个月开始,以后每个月的兔子总对数是以后每个月的兔子总对数是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.你发现这个数列的规律了吗？你发现这个数列的规律了吗？探究新知探究新知 如果用如果用Fn表示第表示第n个月的兔子的总对数，个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n2)这个数列称为斐波那契数列这个数列称为斐波那契数列.递推公式递推公式:如果一个数列的如果一个数列的相邻两项相邻两项或或多项多项之间的关系可以用一之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式递推公式.作用作用:知道了知道了首项首项和和递推公式递推公式，就能求出数列的每一项了，就能求出数列的每一项了.例例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形三角形.在下图四个在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，项，请写出这个数列的一个通项公式请写出这个数列的一个通项公式.(1)(2)(3)(4)典例分析典例分析解：解：在图中，着色三角形的个数依次为在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所即所求数列的前求数列的前4项都是项都是3的指数幂的指数幂,指数为序号减指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是因此，这个数列的一个通项公式是 .当不能明显当不能明显看出数列的项的看出数列的项的取值规律时取值规律时,可以可以尝试通过尝试通过运算运算未未寻找规律寻找规律,如依次如依次取出数列的某一取出数列的某一项项,减去减去或或除以除以它它的前一项的前一项,再对再对差差或或商商加以观察加以观察.典例分析典例分析例例2 已知数列的第已知数列的第1项是项是1，以后的各项由公式，以后的各项由公式 给出给出,写出这个数列的前写出这个数列的前5项项.解：解：由题意可知由题意可知总结：总结：递推公式也是给出递推公式也是给出数列的一种方法，根据数数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项写出数列的所有项.通项公式和递推公式之间的差别与联系：通项公式和递推公式之间的差别与联系：回顾：回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？到目前为止，数列一共有多少种表示方法？探究新知探究新知1.已知数列已知数列an满足满足 a1=1，an=an11(n 2)，写出这个数列写出这个数列的通项公式的通项公式.解：解：（1）由递推式可得，）由递推式可得，a2a1=1，a3a2=1，anan1=1巩固练习巩固练习把以上把以上 n-1 个式子相加个式子相加,得得 an a1=n 1 数列的通项为数列的通项为 an=n.总结：一般递推关系为总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即，即an+1-an=f(n)时，时，可用可用累加法累加法求通项公式求通项公式.又又 a1=12.已知数列已知数列an满足满足 写出这个数列的通项公式写出这个数列的通项公式.解：解：由递推式可得由递推式可得巩固练习巩固练习数列的通项为数列的通项为 .把以上把以上n-1个式子相乘得个式子相乘得 又又 a1=1总结：一般递推关系为总结：一般递推关系为an+1=f(n)an,即即 时，时，可用可用累乘法累乘法求通项公式求通项公式.在对数列的研究中，求在对数列的研究中，求数列某些项的和数列某些项的和是主要问题之一是主要问题之一.我们把数列我们把数列an从从第第1项起项起到到第第n项止项止的各项之和，称为数列的各项之和，称为数列an的的前前n项和项和，记作，记作Sn,，即，即Sn=a1+a2+.+an 如果数列如果数列an的的前前n项和项和Sn与与它的序号它的序号n之间的对应关系可以用一个之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式项和公式.显然显然S1=a1,而而Sn-1=a1+a2+an-1(n2),于是我们有于是我们有探究新知探究新知Sn 与与an的关系式的关系式例例3 已知数列已知数列an的前几项和公式为的前几项和公式为Sn=n2+n,你能求出你能求出an的通项公式吗？的通项公式吗？解：解：因为因为a1=S1=2，an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)+(n-1)=2n(n2),并且当并且当n=1时，时，a1=21=2依然成立依然成立.所以所以an的通项公式是的通项公式是an=2n.典例分析典例分析由由Sn 求求an需要检验需要检验3.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和公式项和公式 Sn，求数列，求数列an的通项公式的通项公式.（1）Sn=2n2n1，（2）Sn=log2(n1)解：解：（1）当）当 n 2 时，时，巩固练习巩固练习故数列故数列an的通项公式为的通项公式为当当n=1时，时，不符合上式不符合上式3.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和公式项和公式 Sn，求数列，求数列an的通项公式的通项公式.（1）Sn=2n2n1，（2）Sn=log2(n1)解：解：（2）当）当 n 2 时，时，当当n=1时，时，符合上式，符合上式巩固练习巩固练习故数列故数列an的通项公式为的通项公式为总结：已知总结：已知Sn求出求出an依据的是依据的是Sn的定义：的定义：Sn=a1+a2+an，分段求解分段求解，然后检，然后检验结果验结果能否统一形式能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成，能就写成一个，否则只能写成分段函数的分段函数的形式形式.1.递推公式：（递推公式：（1）初始值；）初始值；2）递推关系式）递推关系式（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式（2）已知数列的递推公式，用累加法求通项公式已知数列的递推公式，用累加法求通项公式（3）已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式课堂小结课堂小结4.2.4.2.1 1 等差数列的等差数列的性质性质 函数图象上所有的点在函数图象上所有的点在同一条直线同一条直线上：上：d0 0,等差数列单等差数列单调调递增递增；d0 0,等差数列单调等差数列单调递减递减；d0 0,等差数列为等差数列为常数列常数列.如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a,A,b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项.复习引入复习引入 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义4.等差数列的函数特征 3.等差数列的通项公式2A=a+b探究：探究：观察等差数列观察等差数列:2,4,6,8,10,12,14,16,说出说出8是是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？思考：思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？定的结论吗？探究新知探究新知证明：证明：探究新知探究新知推广：推广：反例：反例：常数列常数列探究新知探究新知等差数列的性质CB典例分析典例分析24C小试牛刀小试牛刀4.已知数列已知数列an是等差数列，若是等差数列，若a1+a3+a5105，a2+a4+a699，则则a20=3.已知数列已知数列