4.3.1第2课时　等比数列的应用及性质ppt课件（共68张PPT）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、学习目标XUE XI MU BIAO1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一实际应用题常见的数列模型1.储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和ya(1r)n.2.总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值yN(1p)n.知识点二等比数列的常用性质设数列an为等比数列，则：(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则 .(2)若m，p，n成等差数列，则 成等

2、比数列.(3)在等比数列an中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 )的等比数列.2kqakalamanam，ap，anpq1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64 B.128 C.256 D.255解析某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28256.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN2.已知an，bn都是等比数列，那么A.anbn，anbn都一定是等比数列B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列C.anbn不一定是等比数列，但

3、anbn一定是等比数列D.anbn，anbn都不一定是等比数列解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.3.某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加A.24%B.32%C.1.0831 D.1.0841解析设2018年储蓄量为a，根据等比数列通项公式得2019年储蓄量为a(10.08)1.08a，2020年储蓄量为a(10.08)(10.08)1.082a，2021年储蓄量为a(10.08)(10.08

4、)(10.08)1.083a，所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了1.0831.4.已知等比数列an共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a92，2题型探究PART TWO一、数列的实际应用例1某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值；解从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列的定义，知数列an是等比

5、数列，首项a113.5，公比q110%0.9，ana1qn113.50.9n1.n年后车的价值为an1(13.50.9n)万元.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解由(1)得a5a1q413.50.948.9(万元)，用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.跟踪训练1有纯酒精a(a1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升.则第九次和第十次共取出纯酒精数量为二、等比数列的性质及其应用例2已知

6、an为等比数列.解在等比数列an中，(2)若an0，a5a72a6a8a6a1049，求a6a8；即(a6a8)249，an0，a6a87.(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值.解由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有

7、一定的思维含量.跟踪训练2(1)公比为 的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7又因为an0，所以a74，所以a16a7q932，即log2a165.(2)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.解析方法一因为an是等比数列，所以a2135 所以a81310 3111332233222528=510=50=5 2aa a三、等比数列的判定与证明例3已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；解因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)若bna

8、n1，试证明数列bn为等比数列.证明因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1n14，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列.反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列.(3)等比中项法：若 anan2(nN*且an0)，则数列an为等比数列.(4)构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x

9、即可.跟踪训练3(1)已知各项均不为0的数列an中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.证明由已知，有2a2a1a3，即a3(a3a5)a5(a1a3).又a1，a3，a5均不为0，a1，a3，a5成等比数列.12na，解依题意an2(n1)(1)3n，3随堂演练PART THREE1.在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于又因为a10，所以q0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；解a2a42a3a5a4a636，又an0，a3a56.12345678910 11 12

10、13 14 15 16(2)若数列an的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项.12345678910 11 12 13 14 15 16解设等比数列an的公比为q，a2a542，q1.a5，a7的等比中项为3.11.设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为an是首项为a1，公差为1的等差数列，12345678910 11 12 13 14 15 16代入可得(2a11)2a1(4a16)，12.等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134

11、T9，则a8a15等于A.2 B.4 C.2 D.412345678910 11 12 13 14 15 16解析T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q0，a8a152.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之积等于_.解析由于an是等比数列，213而a72.a1a2a3a13(2)13213.12345678910 1

12、1 12 13 14 15 161 02412345678910 11 12 13 14 15 16所以a1a2a3an2432(5n)2922,nn所以当n4或n5时，a1a2a3an取最大值，且最大值为2101 024.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16解析an是等比数列，a7a11a4a146，又a4a145，12345678910 11 12 13 14 15 1616.设关于x的二次方程anx2an1x10(n1,2,3，)有两根和，且满足6263.(1)试用an表示an1；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16