2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册数列解答题专题练习-期末复习.docx

1、高二数学期末复习资料-数列专题一、解答题1已知等比数列是首项为的递减数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.2已知等比数列的前n项和为，且，等差数列满足：，.（1）求；（2）若，求数列的前项和.3设数列的前项和为，已知，（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立？若存在，求出所有值；若不存在说明理由4在，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答已知是公差不为的等差数列，其前项和为，若_，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和5已知等差数列的

2、前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为0，数列满足,求数列的前项和.6已知等差数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前n项和.7给出以下三个条件：，成等差数列；对于，点均在函数的图象上，其中为常数；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设是一个公比为的等比数列，且它的首项，（1）求数列的通项公式；（2）令，证明数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分8已知数列的前n项和满足其中.（1）证明：数列为等比数列；（2）设求数列的前n项和9数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等

3、比数列；（3）设数列满足，其前项和为，证明：.10已知二次函数，数列的前项和为，点均在函数上的图像上。（）求数列的通项公式；（）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少? . 11已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2，a5，a14成等比数列（） 求数列an的通项公式；（） 令，求数列bn的前n项和Sn12已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项；（2）求的前项和的最大值.13已知数列an的前n项和为Sn，a11，SnSn+11（1）求数列an的通项公式；（2）若bnnan，求数列bn的前n项和Tn14已知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和

4、15在等比数列an中，a21，a58，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，若Sn100，求n的最大值16已知正项数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和17设是等差数列，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.18已知是等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19已知数列，为其前n项和，（1）若是等差数列，公差，求；（2）若，求的通项公式20在数列中，（1）求证:数列是等比数列;（2）求数列的前项和.参考答案1（1）；（2）.【分析】(1)由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列

5、取舍，即可得数列的通项公式.(2)用错位相减法求和.【详解】（1）由，得，解得或.数列为递减数列，且首项为，.（2），.两式相减得，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.若数列满足且，分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.2（1）；（2）【分析】（1）首先根据已知条件得到，从而得到，再解方程组即可.（2）首先根据（1）得到，再利用分组求和求解即可.【详解】（1），所以，即.所以，所以.（2），.3（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在正整数n，理由见解析.【分析】（1）由等式可得出，可证得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，

6、可求得，再利用与的关系可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得；（3）由，可得，令，利用数列的单调性可判断等式是否有解，即可得出结论.【详解】（1），因为，所以可推出故，即为等比数列，且首项为，公比也为，即，当时，也满足此式，；（2）因为，两式相减得：，即；（3）将代入，得所以，即.令，所以，数列为单调递减数列，又，因为为单调递减数列，所以当，所以不存在正整数使得成立【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等

7、差数列，利用裂项相消法求和.4（1）；（2）【分析】(1)设是公差不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式、结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到，再由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】(1)设是公差不为的等差数列，选，可得，即，由、成等比数列，可得，即，解得，则；选，可得，即由、成等比数列，可得，即，解得，则；选，可得，由、成等比数列，可得，即，解得，则；(2)设等比数列的公比为，可得，又，解得，所以，所以，所以数列的前项和.5（1）见解析；（

8、2）.【分析】（1）利用等比数列中项的定义，等差数列的通项和等差数列的前n项和公式列出首项和公差的方程组，即可解得答案.（2）利用错位相减求和即可得到答案.【详解】（1）由成等比数列得，设等差数列的公差为d，则，化简得或d=0.当时，得，即；当d=0时，由，得，即；（2）若数列的公差不为知,，所以由可得.【点睛】本题考查等差数列通项和等比数列中项的定义的应用，考查等差数列前n项和和错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.6（1）；（2）.【分析】(1) 设公差为d，由已知可得，结合通项公式可知，解出首项和公差即可求出通项公式.(2)由(1)知，结合等比数列的求和公式即可求出.【详解】（

9、1）是等差数列，设其公差为d ，因为，所以， 所以， 解得或(舍). 所以.即的通项公式为. （2）由（1）知，即，所以. 所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的求和公式.本题的关键是求出等差数列的首项和公差.7（1）答案不唯一，见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若选第一个则可以将，转化为与进行求解；若选第二个则可以利用首项求出的值；若选第三个条件则可以利用等比数列前项和公式作答；（2）构造新的数列并利用裂项相消法证明即可【详解】（1）选进行作答因为，成等差数列，所以，解得（舍或，所以；选进行作答由题意得，因为，所以，所以，当时，当时，符合上式，所以；若选作答由，解

10、得或，又因为，所以，所以.（2）证明：，所以，因为，所以，所以，得证【点睛】本题属于开放型题目，由我们加一条件进行补充后作答加大了学生的思维量，第二问结合对数函数构造新的数列，并利用裂项相消法证明不等式，考查知识面较为广8（1）证明见详解；（2）【分析】（1）首先利用化简递推关系，最后得到即可证明数列为等比数列；（2）根据等比数列求出数列的通项公式，进而得到，最后根据分组求和即可.【详解】（1）因为所以时，两式相减得到：即，又所以数列为公比为4的等比数列。（2）由（1）可知：，所以，所以数列的前n项和.9（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）当时，.检验，当时符合，即可得解

11、；（2）当时，根据，即可得证；（3）利用错位相减法可得：，即可得证.【详解】（1）当时，.当时，.检验，当时符合.所以.（2）当时，而，所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.（3）由（1）（2）得，所以由-得，所以.因为，所以.【点睛】本题考查了利用和的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题.10（）；（）12.【解析】试题分析：（）由点在函数上的图像上，所以点的坐标适合函数的解析式，代入求得数列的前项和为的表达式；利用数列的前项和为与通项的关系解得，验证当时也满足；所以.（）将数列代入前项和中进行化简，得；由，即，得，所以取最小正整数为12.

12、试题解析：解：（）因为点在函数上的图像上， 所以 当时， 当时， 经检验当时，也满足， 所以 （） 由，得，满足的最小正整数为12.考点：二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识.11（）2n1;（）, 【解析】试题分析：（） 利用已知条件求出数列的公差，然后求数列an的通项公式；（） 化简，通过裂项消项法求数列bn的前n项和Sn解：（）等差数列an的首项a1=1，公差d0，a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d， 且a2，a5，a14成等比数列，（1+4d）2=（1+d）（1+13d）即d=2，）an=1+2（n1）=2n1 （）， =考点：数列的求和12（1）（2）【分析】

13、（1）结合等差数列的通项公式和前项和公式求出，结合可求；（2）结合等差设数列的函数性质直接求解即可.（1）为等差数列，；（2），故当时，有最大值.13（1）an(1)n-1（2）Tn【分析】（1）n2时可得，Sn-1Sn1，和条件作差变形即可得答案；（2）先求出数列bn的通向公式，再分n为偶数和n为奇数分别求和即可.（1）对数列an而言，因为SnSn+11，当n1时可得，S1S21，即2a1a21，又a11，所以a21；当n2时可得，Sn-1Sn1，所以-得Sn+1Sn-10，即anan+10，即an+1an；又a2a1，故an+1an，nN*，所以an是首项为1，公比为1的等比数列，故an(

14、1)n-1；（2）对数列bn而言，bnnan(1)n-1n；当n为偶数时，Tn1234(n1)n；当n为奇数时，Tn1234(n1)n；所以Tn14（1）（2）【分析】（1）利用与的关系化简即可证得，根据等比数列的通项公式计算即可得出结果.（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前n项和.（1）,则，因为，所以，当时，解得：，则成立，所以，数列为等比数列，.（2），令，则，-得：，15（1）an2n2；（2）n7.【分析】（1）由已知结合等比数控的性质可求公比q，然后结合通项公式即可求解；（2）结合等比数列的通项公式，即可求解n.（1）因为a21，a58，所以q38，故q2，则（2）S

15、n100，则2n201，由于27128，28256满足条件的n7.16（1），；（2）.【分析】（1）利用递推关系式可得，即，再利用等差数列的定义及通项公式，即可求出数列的通项公式；（2）由题可得，再利用错位相减法即求.（1），当时，有，数列的奇数项是以1为首项，6为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，6为公差的等差数列，；（2）由题可知，两式相减得：故.17（1）；（2）.【分析】(1)根据给定条件列出方程组，求出公差d和首项即可计算得解.(2)利用(1)的结论求出，再利用分组求和法求出数列前n项和.（1）设等差数列的公差为d，因，则有，解得，于是得，所以数列的通项公式为.（2）由(1)得：

16、 ，则所以数列的前n项和为.18（1）；（2）.【分析】（1）由等比数列的通项公式列出方程求出公差、首项即可求解；（2）由（1）可得为等比数列，由等比数列求和公式计算即可.（1）根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，解可得或，又由，则，又由，则（2）根据题意， ， ，故数列是首项为，公比为4的等比数列，则其前n项和19（1）（2）【分析】（1）根据等差数列的前 项和公式，代入数据，可求得答案；（2）根据与的关系，套公式按步骤求解即可.（1）因为为等差数列， 所以 所以，解得（2）因为当时，当时，当时，也满足上式，所以20（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)根据递推关系及等比数列的定义证明为等比数列；(2)由(1)求出数列的通项公式，再利用分组求和法求其前n项和.【详解】由已知得，又 所以数列是公比为的等比数列，由得，所以.