4.4　数学归纳法ppt课件（共62张PPT）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、学习目标XUE XI MU BIAO1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点数学归纳法1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 时命题成立；(2)(归纳递推)以当“(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.nknk1nn0(n0N*)n02.数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改

2、写如下：条件：(1)为真；(2)若 为真，则 也为真.结论：为真.3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当 时结论成立，即命题 ；第二步是证明一种 关系，实际上是要证明一个新命题：.只要将这两步交替使用，就有 真，真 真，真，从而完成证明.P(n0)P(k)P(k1)P(n)nn0P(n0)为真递推若P(k)为真，则P(k1)也为真P(n0)P(n01)P(k)P(k1)1.应用数学归纳法证明数学命题时n01.()2.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.()3.推证nk1时可以不用nk时的假设.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PA

3、N DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、证明恒等式(2)假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，那么当nk1时，上式表明当nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立.反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，等式的结构.(2)nk到nk1时，两个式子的结构：nk1时的代数式比nk时的代数式增加(或减少)的项.这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.代数式相邻两项之间的变化规律.代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.跟踪训练1求证：12223242(2n1)2(2n)2n

4、(2n1)(nN*).证明(1)当n1时，左边12223，右边3，等式成立.(2)假设当nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立.综上所述，等式对任何nN*都成立.二、证明不等式例2用数学归纳法证明：(2)假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，则当nk1时，所以当nk1时，不等式也成立.综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立.反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键

5、(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，得nk1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.不等式成立.(2)假设当nk(k2

6、，kN*)时，不等式成立.当nk1时，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切nN*且n2时成立.三、归纳猜想证明下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n1,2时易知猜想正确.当nk1时猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意nN*都正确.反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.b22.B3b1b2b32b3，b33.b44.由此猜想：bnn(nN*)为数列bn的通项公式.下面用数学归

7、纳法证明.(1)当n1时，b11，等式成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时，等式成立.即bkk，则当nk1时，即当nk1时，bk1k1.由(1)(2)知，对任意nN*，都有bnn.3随堂演练PART THREEA.1 B.12C.123 D.123412345解析当n1时，左边1234.12345123453.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是A.假设n2k1时正确，再推n2k3正确B.假设n2k1时正确，再推n2k1正确C.假设nk时正确，再推nk1正确D.假设nk(k1)，再推nk2时正确(以上kN*)12345解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤

8、，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第(k1)个正奇数即n2k1正确.12345(k21)(k22)(k1)2解析nk时，左端为123k2，nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.123451.知识清单：(1)数学归纳法的概念.(2)数学归纳法的步骤.2.方法归纳：归纳猜想证明.3.常见误区：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当nk1时忽略nk时的假设.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR1.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证A.n1 B.n2 C.n3 D.n4基础巩固1234

9、5678910 11 12 13 14 15 16解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.解析因为已知n为正偶数，故当nk时，下一个偶数为k2.A.nk1时等式成立B.nk2时等式成立C.n2k2时等式成立D.n2(k2)时等式成立12345678910 11 12 13 14 15 163.某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时，该命题也成立.现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出A.当n6时命题不成立B.当n6时命题成立C.当n4时命题不成立D.当n4时命题成立12345678910 11 12 13 14 15 1612345

10、678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立.因此对于任意nN*等式都成立.以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为 .缺少步骤归纳奠基12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16123

11、45678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)假设当nk(k1，kN*)时，那么当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 16证明(1)当n2时，(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，则当nk1时，12345678910 11 12 13 14 15 16所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 16当nk1时，不等式成立，则

12、上述证法A.过程全部正确B.n1验证不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16解析在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，不是数学归纳法.12345678910 11 12 13 14 15 1612.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k).解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).12345678910 11 12 13 14 15 1614.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除，当nk1时，34(k1)152(k1)1应变形为_ .解析3

13、4(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.12345678910 11 12 13 14 15 16 81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.则这n条直线将它们所在的平面分成_ 个区域.(n2，nN*)12345678910 11 12 13 14 15 16解析(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题

14、成立.(2)假设当nk(k2，kN*)时，当nk1时，设其中的一条直线为l，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k1块.12345678910 11 12 13 14 15 16所以nk1时命题也成立.由(1)(2)可知，原命题成立.12345678910 11 12 13 14 15 1616.试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论.解当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立.12345678910 11 12 13 14 15 16当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边.(2)假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.又2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立.根据(1)和(2)，原不等式对于任意nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 16