2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册导数典型题型与方法专题小专练（1-4）.docx

1、导数典型题型与方法（1）切线问题1. 对于函数：曲线过原点的切线方程是_，切点坐标为_ .曲线在点处的切线是_.2. 对于函数：曲线过原点的切线方程是_，切点坐标为_ .曲线在点处的切线是_.3. 对于曲线上任意一点处的切线，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是_.4. 已知曲线上存在相互垂直的两条切线，则实数的值为（ ）A.B.C.D.5. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则（ ）A1B0C1D26. 已知曲线方程若对任意实数，直线都不是曲线的切线，则的取值范围是（ ）ABCD7. 若为曲线上一动点，为直线上一动点，则（ ）A0BCD28. 已知函数，记的图像为曲线.（1） 若

2、以曲线上的任意一点为切点作切线，求切线的斜率的最小值；（2） 以曲线上的两个不同动点为切点分别作的切线，若恒成立，问动直线是否恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3） 在（2）的条件下，当直线的斜率为时，求的面积.导数典型题型与方法（2）单调性与极值1. 已知函数(1) 若的减区间是，则=_；(2) 若在区间上单调递减，则的取值范围是_；(3) 若在区间有减区间，则的取值范围是_；(4) 若在区间上是单调函数，则的取值范围是_；(5) 若在区间上不是单调函数，则的取值范围是_；2. 已知函数(1) 若在区间上存在极值点，则的取值范围是_；(2) 若在区间上恰有一个极值点，则

3、的取值范围是_；(3) 若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是_；(4) 若在区间上有两个不同的极值点，则的取值范围是_；(5) 若在区间上有两个不同的极值点，则的取值范围是_.3. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围是_.4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.5. 若函数存在极值，则实数的取值范围是_.6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_.7. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是_.导数典型题型与方法（3）函数构造1. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是（ D ）ABCD2. 已知是函数的导数，且满足对恒成立，是锐角三角形

4、的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ C ）ABCD3. 已知是的导函数，且，则不等式的解集为（ C ）ABCD4. 已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ B ）ABCD5. 已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且.设，则（ D ）ABCD6. 以下四组不等式中正确的是（ C ）ABCD7. 已知函数的导函数为，对任意，恒有，则,的大小关系是_ab0,则的取值范围为（ A ）A（2,+）B（-,-2）C（1,+）D（-,-1）4. （2019.天津卷）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ C ）ABCD5. （多选题）已知函数，则下列结论正确

5、的是（ ABC ）A函数存在两个不同的零点B函数既存在极大值又存在极小值C当时，方程有且只有两个实根D若时，则的最小值为6. （多选题）已知函数，其中正确结论的是（ BC ）A当时，有最大值B对于任意的，函数是上的增函数C对于任意的，函数一定存在最小值D对于任意的，都有7. （多选题）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ BD ）A函数在上为增函数B是函数的极小值点C函数必有2个零点D8. （2018.新课标1）已知函数,则的最小值是_9. （2021.全国）函数的最小值为_110. （2018江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_-3导数

6、典型题型与方法（1）切线问题参考答案1.【答案】（1）y=ex，(1,e);（2）y=x+1.2.【答案】（1）y=xe，(e,1);（2）y=x-13.【答案】-1,2.【简析】f(x)=-ex-1,g(x)=a-2sinx.依题意，对任意x1R，存在x2R，使得f(x1)g(x2)=-1.即方程(-ex1-1)(a-2sinx2)=-1有解.整理得a-2sinx2=1ex1+1，从而左边值域包含右边值域.a-2sinx2a-2,a+2，1ex1+1(0,1)，所以a-201a+2，解得a-1,2.4.【答案】D.【简析】f(x)=3m+cosx.依题意，存在x1,x2R，使得f(x1)f(

7、x2)=-1.即方程(3m+cosx1)(3m+cosx2)=-1有解.整理得9m2+3(cosx1+cosx2)m+cosx1cosx2+1=0.先把上述等式看做关于m的方程，则有判别式=3(cosx1+cosx2)2-36(cosx1cosx2+1)0化简得(cosx1-cosx2)24，即cosx1-cosx2-2或cosx1-cosx22.因为cosx1-1,1,cosx2-1,1，所以只能是&cosx1=1&cosx2=-1或&cosx1=-1&cosx2=1.两种情况下都有m=0.5.【答案】C.【简析】由f(0)=g(0)=0，有a=1=m.由f(0)=g(0)，由0=b.所以a

8、+b=1.6.【答案】B.【简析】f(x)=sin2x+2a.依题意，曲线上没有斜率为-1的切线，即f(x)=sin2x+2a=-1无解.即sin2x=-2a-1无解，其中sin2x-1,1.所以-2a-11，得a0.7.【答案】C.【简析】根据图像特征，首先必须有PQ直线y=x+1才能使PQ最小.同时，还需过P且平行于直线y=x+1的直线与曲线y=lnx相切.此时，切线为y=x-1，|PQ|min=2.8.【简析】解：（1）f(x)=3x2-12x=3(x-2)2-12-12，所以kmin=-122设Ax1,y1,Bx2,y2，x1x2，则fx1=fx2，即3x12-12x1=3x22-12

9、x2，得x1+x2=4.y1+y2=x13-6x12+15+x23-6x22+15=x1+x2x12-x1x2+x22-6x12+x22+30=4(x1+x2)2-3x1x2-6(x1+x2)2-2x1x2+30=-2(x1+x2)2+30=-2.所以线段AB的中点为2,-1，即直线AB恒过定点2,-1.3由条件，直线AB方程为：y+1=-2x-2，即y=-2x+3.原点O到直线AB的距离为d=35.kAB=-2=y2-y1x2-x1=x23-6x22+15-x13-6x12+15x2-x1=x12+x22+x1x2-6(x1+x2)，得x1x2=-6.从而|AB|=1+(-2)2(x1+x2

10、)2-4x1x2=102，所以SAOB=12|AB|d=310导数典型题型与方法（2）单调性和极值参考答案1.【简析】fx=2mx+1x-21依题意，不等式fx0，即2mx2-2x+10的解集恰好是35,3，由根与系数关系可得m=518.2依题意，不等式fx=2mx+1x-20对任意x35,3恒成立.“参变量分离”得2m-(1x)2+21x.x35,3时，1x13,53，-(1x)2+21x(59,1，所以2m59,m518.(3)依题意，不等式f(x)=2mx+1x-20在区间35,3上有解.即2m-(1x)2+21x有解，易得m0.则q(x0)递增，所以q(x0)(q(12)，q(23)，

11、即f(x0)(ln12-1,ln23-76.（4）类似（2）和（3）的分析及图像，2m(34,1)，得m(38,12).（5）由条件，2mx1+1x1-2=0，2mx2+1x2-2=0，即2mx12-2x1+1=0,2mx22-2x2+1=0则x1+x2=1m，x1x2=12m，所以1x1+1x2=2.所以f(1x1+1x2)=f(2)=4m+ln2-4.由（4）知m(38,12)，所以f(1x1+1x2)(ln2-52,ln2-2).3.【答案】a0.【简析】fx=1+ax在0,+内有“变号”零点，即a=-x有变号根，得a-1.【简析】f(x)=1x-ax-21x2-2x有解，易得a-1.7

12、.【答案】-1,7).【简析】f(x)=3x2+4x-a在(-1,1)内有且只有一个“变号”零点即方程a=3x2+4x在(-1,1)内有且只有一个“变号”根.图像法：抛物线y=3x2+4x与直线y=a在x(-1,1)范围内有且只有一个“相交”的公共点.易得a-1,7).导数典型题型与方法（3）函数构造参考答案1.【答案】D.【简析】构造函数F(x)=f(x)x,x0，则F(x)=xf(x)-f(x)x2F(1)，即f(12)12f(1)1，即2f(12)f(1).选D.2.【答案】C.【简析】构造函数F(x)=exf(x),x0,1，则F(x)=f(x)+f(x)ex0，F(x)在0,1递增.

13、锐角ABC中，A+B2，则A2-B，且A0,2,2-B0,2，从而sinAsin2-B=cosB.同理sinBcosA.且sinA,sinB,cosA,cosB0,1.所以F(sinA)F(cosB)且F(sinB)F(cosA).即esinAf(sinA)ecosBf(cosB)和esinBf(sinB)ecosAf(cosA).也即f(sinA)ecosBf(cosB)esinA和f(sinB)ecosAf(cosA)esinB，选C.3.【答案】C.【简析】构造函数F(x)=f(x)ex,xR，则F(1)=f(1)e=1.由F(x)=f(x)-f(x)ex0，所以F(x)在R上递增.不等

14、式f(x)-ex0等价于F(x)=f(x)ex1=F(1)，所以x1.选C.4.【答案】B.【简析】构造函数F(x)=f(x)cosx,xR，由条件知，F(x)是偶函数.x0,2时，F(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2xF(6)=F(-6)F(4)=F(-4)F(3)=F(-3)即f(0)1f(6)32f(4)22f(3)12，整理得f(0)2f(6)3f(4)2f(3)1，考查各选项知选B.5.【答案】D.【简析】构造函数F(x)=f(x)sinx,x(0,)，由条件知，F(x)是偶函数.F(x)=f(x)sinx-f(x)cosxsin2xF(4)F(2)，即得f(-6)-

15、12=f(6)12f(4)22f(2)1，选D.6【答案】C.【简析】选项A.等价于(ln2.8)2f(0.3)，即0.40.20.30.2，B选项错误；选项C.等价于lneeln，构造f(x)=lnxx，f(x)=1-lnxx2，f(x)在(0,e)递增，(e,+)递减，所以f(e)f()，不等式成立，C选项正确.选项D.等价于ln33ln,等价于ln33ln，根据f(x)=lnxx的单调性，由3e,知f(3)ln.D选项错误.7.【答案】ab1,a0,所以e-x(0,1),xa(0,1)构造函数F(t)=t-lnt，01恒成立.两边同时取自然对数，得alnx-x，所以a-xlnx对任意x1

16、恒成立.构造函数G(x)=-xlnx,x1.由G(x)=1-lnx(lnx)2，知G(x)在(1,e)递减，在(e,+)递增.所以G(x)G(e)=-e，所以a-e，即a-e，即a的最小值为-e.10.【答案】4e2.【简析】依题意，k=lnx1x1=x2ex2=lnex2ex2，根据k0和结合y=lnxx的单调性和图像（证明略）得x1=ex2，从而有(x2x1)2ek=(x2ex2)2ek=k2ek.构造函数p(k)=k2ek,k0时，0aa+2b3，即0ab;当a0时，a+2b3a0，即baa2.故选D.2. 【答案】D.【简析】依题意fx0ex2x-1ax-1，设gx=ex2x-1，则g

17、x=ex2x+1，gx在-,-12上单调递减，在-12,+上单调递增，存在唯一的整数x0，使得fx00，则结合图象知g0=-11axlnx且x1，则gx=lnx-1ln2x，gx在1,e上单调递减，在e,+上单调递增，agxmin=ge=e.设x=x22x-1 x0，fx在0,+上单调递增，当a0，g0=a0，gx存在唯一零点x0，fx在0,x0上单调递减，在x0,+上单调递增，BC正确，AD错误，故选BC.7. 【答案】BD.【简析】依题意gx=fx-fxex，当x-1时，gx-1时，gx0，gx在-,-1上单调递减，在-1,+上单调递增.gx极小值=g-1，g0=1，geg2，即e2fee

18、ef2，BD正确，AC错误，故选BD.8. 【答案】-332.【简析】依题意fx=2cosx+2cos2x=4cosx+1cosx-12，fx为R上的奇函数，也为周期函数，其最小正周期T=2.取x-,，fx在0,3上单调递增，在3,上单调递减.fxmax=f3=332，fxmin=f-3=-332.9.【答案】1.【简析】依题意fx=2x-1x,x12-2x+1x,x0，则gx=2x3-1x3.gxmin=g1=3，依题意y=a与y=gx只有一个公共点.a=3，fx=2x3-3x2+1，fx=6xx-1.fx在-1,0上单调递增，在0,1上单调递减.fxmax=f0=1，又f-1=-4,f1=0.fxmin=-4，fx在-1,1上的最大值与最小值的和为-3.