4.2.2第2课时　等差数列前n项和的性质及应用ppt课件（共72张PPT）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、学习目标XUE XI MU BIAO1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差 数列前n项和的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一等差数列前n项和的性质2.设等差数列an的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差数列，且公差为 .m2dS偶思考在性质3中，an和an1分别是哪两项？在性质4中，an1是哪一项？答案中间两项，中间项.知识点二等差数列an的前n项和公式的函数特征二次2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最 值，使

2、Sn取得最值的n可由不等式组_确定；当a10时，Sn有最 值，使Sn取到最值的n可由不等式组_确定.大小大小预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.在等差数列an中，若a1a22，a3a44，则a7a8等于A.7 B.8 C.9 D.10解析a1a22，a3a44，由等差数列的性质得a5a66，a7a88.2.已知数列an为等差数列，a20，a42，则其前n项和Sn的最大值为解析由a4a2(42)d，得202d，故d1，a11，所以当n1或2时，Sn的最大值为1.3.(多选)已知数列an的通项公式是an2n48，则Sn取得最小值时，n为A.22 B.23

3、C.24 D.25解析由an0即2n480得n24.所有负项的和最小，即n23或24.2 0202题型探究PART TWO一、等差数列前n项和的性质所以S偶S奇5d10，所以d2.2(2)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列.27030(S3m100)，S3m210.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2)等

4、差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.跟踪训练1(1)已知数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_.4解析设等差数列an的项数为2m，末项与首项的差为28，a2ma1(2m1)d28，S奇50，S偶34，S偶S奇345016md，由得d4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.解S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100成等差数列.S110S100S

5、10(111)d10010(22)120，S110120S100110.二、等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列an中，a125，S8S18，求前n项和Sn的最大值.解方法一因为S8S18，a125，所以当n13时，Sn有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d2.所以an25(n1)(2)2n27.因为a1250，又因为nN*，所以当n13时，Sn有最大值为169.方法三因为S8S18，所以a9a10a180.由等差数列的性质得a13a140.因为a10，所以d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和

6、Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用运用二次函数求最值.跟踪训练2在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列的公差为d，因为在等差数列an中，a1018，S515，解得a19，d3，所以an3n12，nN*.(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.解因为a19，d3，an3n12，所以当n3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3S418.例3数列an的前n项和Sn100nn2(nN*).(1)判断an是不是等差数列，若是，求其首项、公差；三、求数列|an|的前n项和解当n2时，anSnSn1(100nn2)1

7、00(n1)(n1)21012n.a1S110011299，适合上式，an1012n(nN*).又an1an2为常数，数列an是首项为99，公差为2的等差数列.(2)设bn|an|，求数列bn的前n项和.解令an1012n0，得n50.5，nN*，n50(nN*).当1n50时，an0，此时bn|an|an，数列bn的前n项和Sn100nn2.当n51时，an0；当n18，nN*时，an0，数列an的前17项和最大.(2)求|an|的前n项和Sn.解当n17，nN*时，|a1|a2|an|a1a2an当n18，nN*时，|a1|a2|an|a1a2a17a18a19an2(a1a2a17)(a

8、1a2an)核心素养之数学建模HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO等差数列前n项和公式的实际应用典例某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列an，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(

9、1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%所以实际共付1 1051501 255(万元).素养提升(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观.3随堂演练PART THREE解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列.又a124，d2，1.已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12C.13 D.12

10、或13nN*，当n12或13时，Sn最大.12345123452.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2 D.1,0.5解析由于项数为10，故S偶S奇1512.55d，3.(多选)设an是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值12345解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与S7均为Sn的最大值.S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S90，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.解析公差d0，|a5|a9|，a5

11、a9，即a5a90.由等差数列的性质，得2a7a5a90，解得a70.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正.Sn取得最小值时的n为6或7.6或7123455.已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d_.5故S偶192，S奇162，所以6dS偶S奇30，故d5.1.知识清单：(1)等差数列前n项和的一般性质.(2)等差数列前n项和的函数性质.2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想.3.常见误区：求数列|an|的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOURA.10

12、 B.100 C.110 D.120基础巩固解析an是等差数列，a11，12345678910 11 12 13 14 15 162.若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.6012345678910 11 12 13 14 15 16解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3.已知数列2n19，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值解析易

13、知数列2n19的通项an2n19，a117，d2.该数列是递增等差数列.a1a2a3a90a10S7S5，下列判断正确的是A.d0C.S12S7，a7S5，a6a70，a60，da5，则Sn取得最小值时n的值为_.6又a9a5，所以d0，a10.取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；解由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？12345678910 11 12 13

14、 14 15 16解方法一a19，d2，12345678910 11 12 13 14 15 16当n5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a19，d20；当n6时，an5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.12345678910 11 12 13 14 15 16当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，12345678910 11 12 13 14 15 1611.若数列an的前n项和是Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于A.15 B.35 C

15、.66 D.100综合运用12345678910 11 12 13 14 15 16|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0，则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.已知等差数列an的前n项和为Sn，a211，8，则Sn取最大值时的n为A.6 B.7 C.8 D.912345678910 11 12 13 14 15 16解析设数列an是公差为d的等差数列，则a1a2d13，则Snn214n(n7)2

16、49，故当n7时，Sn取得最大值.12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为b3b18b6b15b10b11，12345678910 11 12 13 14 15 16解析设S4k，S83k，由等差数列的性质得S4，S8S4，S12S8，S16S12构成等差数列.所以S8S42k，S12S83k，S16S124k.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_，项数是_.117解析设等差数列an的项数为2n1(nN*)，12345678910 11 12 13 1

17、4 15 16解得n3，所以项数2n17，S奇S偶an1，即a4443311，为所求的中间项.12345678910 11 12 13 14 15 16证明因为6Sn(an1)(an2)，所以当n2时，6Sn1(an11)(an12)，16.已知数列an的前n项和为Sn，an0，a10，所以anan13，所以数列an是公差为3的等差数列.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16证明当n1时，6S1(a11)(a12)，解得a11或a12，因为a12，所以a11，由(1)可知anan13，即公差d3，所以ana1(n1)d1(n1)33n2，