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类型03 不含参数的极值点偏移问题-2022新人教A版(2019)《高中数学》选择性必修第二册.docx

  • 上传人(卖家):Q123
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    资源描述:

    1、专题03不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题,其实是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是两个变量的不等式,还是导函数的值的不等式,解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解,途径都是构造一元函数1. 已知函数,如果,且证明:【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用导数,求得函数的单调性,由,化简得,令,整理得,进而得到,转化为证明:,构造函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】由题意,函数,可得,当时,;当时,可得函数在上单调递增,在上单调递减,因为,得,化简得,不妨设,可得,令,则,代入式,可得,解得

    2、,则,故要证,即证,又因为,等价于证明:,构造函数,则,故在上单调递增,从而也在上单调递增,即证式成立,也即原不等式成立【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题2. 已知函数,证明:当时,【答案】证明见解析.【解析】【分析】通过证明,来求证令,讨论的单调性和最值,以此来证明【详解】,所以当时,在上单调递增,当时,在上单调递减当时,由于,所以;同理,当时,当时,不妨设,由

    3、函数单调性知下面证明:,即证:,此不等式等价于令,则,当时,单调递减,从而,即,所以,而,所以,又,从而f由于,且在上单调递增,所以,即证【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题,属于难题四、招式演练:3. 已知(1)若,求的最大值;(2)若有两个不同的极值点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)当时,对函数求导,判断出函数的单调性,进而可得函数的最大值;(2)对函数求导,则,即为方程的两个不同的正根,表示出,将韦达定理代入化简,并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立【详解】(1)当时,所以,则在上是单调递减函数,且有,当时,即为上的增函数,当时,即为上的减

    4、函数,所以.(2)证明:由题意知:由,则,即为方程的两个不同的正根,故而需满足:,解得,所以令,令,所以;则为上的减函数,且,所以当时,即为上的增函数;当时,即为上的减函数,所以,所以,证毕.【点睛】本题考查导数证明不等式问题,考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查学生逻辑思维能力和计算能力,属于中档题4. 已知函数,若有两个不同的极值点,且.(1)求实数的取值范围;(2)证明:;(3)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)转化为为方程的两个不同实根,构造函数,利用导数可求得结果;(2)根据(1)知,在上递减,要证,只需证 ,构造函数,利用导数证明

    5、即可得证;(3)先利用导数证明不等式在上成立,所以,令,令为方程,即的两个实根,根据,可得,结合韦达定理可证不等式成立.【详解】(1), 则为方程,即的两个不同实根,令,令,得,令,得,则在上递增,在上递减,所以当时,取得最大值为,所以,且,(2)要证,因为在上递减,所以只需证,即,即要证,由(1)知,所以,令,则,令,则为上的增函数,所以,所以为上的增函数,所以,即在上恒成立,所以在上为增函数,所以,即,所以.(3)令,则,因为为上的增函数,所以,所以为上的增函数,所以,所以为上的增函数,所以,所以不等式在上成立,所以,且在上递增,上递减,令为方程,即的两个实根,其中.由图可知,即,所以,得

    6、证.【点睛】本题考查了根据函数的极值点个数求参数的取值范围,考查了转化化归思想,考查了数形结合思想,考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数证明不等式,属于难题.5. 已知函数有两个零点.(1)求实数的取值范围;(2)设、是的两个零点,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令可得出,构造函数,可得出直线与函数的图象有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可求得实数的取值范围;(2)依题意,设,有,构造函数利用导数研究可得,结合,即可得证.【详解】(1),当时,令,可得,令,其中,则,令,可得,列表如下:单调递减单调递减极小值单调递增所以,函数的极小值为,

    7、当时,当时,如下图所示:由图象可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,综上所述,实数的取值范围是;(2)由(1)中的图象可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,且一个交点的横坐标为正、另一个交点的横坐标为负,即当时,函数有两个零点,一个零点为正、另一个零点为负,设函数的两个零点分别为、,不妨设,有.由,令,则,所以函数在上单调递增,所以,.又,所以,即.当且时,则函数在区间上单调递增,又,所以,所以.又,所以,所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查不等式的证明,考查分类讨论思想及推理论证能力,属于中档题.6. 已知函数.(1)若,求函数的单调递增区间;(2)设

    8、,是的两个不相等的正实数解,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导数,令,解出不等式即可;(2)依题意可知,是的两个不相等的正实数解,可建立不等式求出的取值范围,在利用韦达定理将化为关于的函数,再构造函数,利用导数即可证明.【详解】(1)依题意,令,故,解得,故函数的单调递增区间为.(2)依题意,所以,是的两个不相等的正实数解;则,解得,令,则,在上单调递减.,即.【点睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数证明不等式,属于较难题.7. 已知函数.(1)求的单调增区间和极值;(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围,并证明.【答案】(1)的单调增区间为,在处

    9、取得极小值,无极大值;(2),证明详见解析.【解析】【分析】(1)求函数的导数,令导函数大于0可求得单调递增区间,小于0可求得单调递减区间,从而求得极值.;(2)在(1)和题设条件使得到极小值小于0得到的范围,然后再证明在0的两端都有大于0的函数值即可,同时也找到了两个零点的范围.【详解】(1)由题意可得,令,解得,当时,单调递减;当时,单调递增.故的单调增区间为,在处取得极小值,无极大值.(2)由()可知在上单调递减,在上单调递增,若有两个零点,必有,即.检验当时,函数有两个零点.由于,则根据函数的零点存在性定理知存在唯一,使得;,令,则,当时,单调递增,所以,因此.又因为,所以根据函数的零

    10、点存在性定理知存在唯一,使得.所以当时,函数有两个零点.因为,所以,即成立.【点睛】本题考查了导数在函数中的综合应用,函数的单调性以及零点的判断,考查了逻辑推理能力与计算能力.8. 已知函数,(1)讨论函数极值点的个数;(2)若函数有两个极值点,证明:【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数,研究在上解的个数,由的正负确定的单调性,确定极值点个数;(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,且,计算并转化为关于的函数,然后求出函数的单调性证明结论成立【详解】解:(1),当时,在单调递增,没有极值点;当时,令,时,或,设当时,方程的两根为,且若,则,注意到,知的

    11、两根,满足当,单增;当,单减,所以只有一个极值点;若,则,即恒成立,在单调递增,所以没有极值点;若,则,注意到,知的两根,满足当,单增;当,单减;当,单增;所以有两个极值点综上:当时,有一个极值点;当时,没有极值点;当时,有两个极值点(2)由(1)知,当时,函数有两个极值点,且,所以,令,则,所以在单调递减,所以,所以【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题,证明有关极值点的不等式,证明有关极值点不等式的关键是问题的转化,利用极值点与题中参数关系,把问题转化为关于参数的函数,转化为确定函数的单调性9. 已知函数,其中,.(1)当时,在上是单调函数,求的取值范围;(2)若的极值点为,且,求证:.

    12、【答案】(1)或;(2)证明见解析;【解析】【分析】(1)在上是单调函数,利用其导数在此区间内的函数值恒正或恒负即可求的范围;(2)由极值点的导函数为0,有即得,又知,即可证;【详解】(1)当时,故,令,则由题意,若有对称轴,在上恒正或恒负即可,或,解得:或;(2)由题意:且,又的极值点为,且,即,故有,而知:,有即知:,即得证.【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的单调性,并由单调性恒正或恒负求参数范围,以及根据零点与导数的关系、已知等量关系证明不等关系;10. 已知函数.(,e是自然对数的底数)(1)若,当时,求实数a的取值范围;(2)若,存在两个极值点,求证:.【答案】(1);(2)证明

    13、见解析.【解析】【分析】(1)将代入,得,再按及讨论即可得解;(2)将代入,得,由题意可得,不妨设,则,运用导数并结合第一小问的结论即可得证【详解】(1)当,则,当时,在,上单调递增,;当时,在上单调递减,在上单调递增,则,不成立,实数的取值范围为(2)证明:当时,函数存在两个极值点,即,由题意知,为方程的两根,故,不妨设,则,由(1)知,当,即(当且仅当时取等号),当时,恒有,又,令,则,函数在上单调递增,(1),从而,综上可得:【点睛】本题考查导数的综合运用,考查恒成立问题及不等式的证明问题,涉及了分类讨思想、转化思想及放缩思维,属于难题11. 已知函数,(a,bR)(1)当a=1,b=0

    14、时,求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)当b=0时,若对任意的x1,2,f(x)+g(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a=0,b0时,若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1,x2(x12.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求出的导函数,求出函数在时的导数得到切线的斜率,然后用一般式写出切线的方程;(2)对,都成立,则对,恒成立,构造函数,求出的最大值可得的范围;(3)由,得,构造函数,将问题转化为证明,然后构造函数证明即可【详解】(1)当时,时,当时,当时,曲线在处的切线方程为;(2)当时,对,都成立,则对,恒成立,令,则令,则,当,

    15、此时单调递增;当时,此时单调递减,的取值范围为;(3)当,时,由,得,方程有两个不同的实数解,令,则,令,则,当时,此时单调递增;当时,此时单调递减,又,(1),只要证明,就能得到,即只要证明,令,则,在上单调递减,则,即,证毕【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程,不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性,考查函数思想和分类讨论思想,属难题12. 已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为,求证:.【答案】(1)2个;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数可求函数的单调性,然后再结合零点判定理即可求解;(2)结合极值存在

    16、的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证【详解】(1),当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,且,故函数在,上不存在零点,存在,使得,同理使得综上,在区间上的零点有2个.(2),由(1)可得,在区间,上存在零点,所以在,上存在极值点,因为在上单调递减,则,又因为,即,又,即,由在上单调递增可得再由在上单调递减,得,所以【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性,最值与零点,同时考查了正弦函数与正切函数的性质,试题具有一定的综合性,属于难题13. 已知函数若在上不单调,求a的取值范围;当时,记的两个零点是,.求的取值范围;证明:【答案】;证明见解析.【解析】【分析】先对

    17、函数求导整理得出,结合研究的区间,对的范围进行讨论,结合函数在某个区间上不单调的条件,即既有增区间,又有减区间,即在区间上存在极值点,得到结果;将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解,构造新函数,利用导数求得结果;结合,求得两个零点所属的区间,利用不等式的性质证得结果.【详解】解:因为,所以,当,即时,可知在上恒成立,即在上单调递增,不合题意,当,即时,可知时,单调递减,当时,单调递增,所以满足在上不单调,所以的取值范围是.令,得,即有两个解,令,则,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,且当时,当时,当时,且,所以当时,记的两个零点,时,的取值范围是;证明:由知,所以,所以【点

    18、睛】本题考查函数在某个区间上不单调求参数的取值范围,利用导数结合函数的零点的个数求参数的取值范围,利用导数证明不等式,考查分析问题能力,运算能力,属于难题.14. 已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点,且不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案不唯一,具体见解析; (2).【解析】【分析】(1)求得,对的范围分类,即可解不等式,从而求得函数的单调区间,问题得解.(2)由题可得:,由它有两个极值点,可得:有两个不同的正根,从而求得及,将恒成立转化成:恒成立,记:,利用导数即可求得:,问题得解.【详解】(1)因为,所以, 则当时,是常数函数,不具备单调性;当时,由;由

    19、故此时在单调递增,在单调递减当时,由;由故此时在单调递减,在单调递增(2)因为所以, 由题意可得:有两个不同的正根,即有两个不同的正根,则, 不等式恒成立等价于恒成立又 所以,令(),则,所以在上单调递减, 所以所以【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识,考查了转化能力及函数思想,还考查了利用导数求函数值的取值范围问题,考查计算能力,属于难题.15. 已知函数()求函数的单调区间;()求函数在,上的最大值;()若存在,使得,证明:【答案】()函数的单调递增区间为,单调递减区间为,;()答案见解析;()证明见解析.【解析】【分析】()求导,再令解得,从而由导数的正负确定函数的单

    20、调区间;()讨论与,的关系,从而确定函数的单调性,由单调性确定函数的最大值即可;()可判断出,(e),;从而可得,从而证明【详解】解:()函数,令,解得,当时,此时在上单调递增,当时,此时在,上单调递减,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,;()结合()可知,需讨论与,的关系:当,即,时,在,上的最大值为;当,即,时,由的单调性可知,在,上的最大值为;当,即时,由的单调性可知,在,上的最大值为;综上所述,当,时,在,上的最大值为;当,时,在,上的最大值为;当时,在,上的最大值为;()证明:,;,(e),;,故【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法,同时考查了零点的判断与应用,

    21、属于难题16. 已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点、,证明:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求得函数的定义域与导数,对实数的取值进行分类讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数的单调性;(2)由韦达定理得出,将所证不等式转化为证明不等式,令,可得出要证不等式,构造函数,利用导数证明出对任意的恒成立即可.【详解】(1)函数的定义域为,.令,.当时,即当时,对任意的,则,此时,函数在上单调递增;当时,即当时,方程有两个不等的实根,设为、,且,令,解得,.解不等式,可得;解不等式,可得或.此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述,当

    22、时,函数的单调递增区间为,无递减区间;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)由(1)可知,、是关于的二次方程的两个不等的实根,由韦达定理得,要证,即证,即证,设,即证,设,即证,构造函数,其中,所以,函数在区间上单调递增,当时,即.故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调性,同时也考查了利用导数证明函数不等式,考查推理能力与计算能力,属于难题.17. 已知函数.(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;(2)当时,函数有两个零点,其中,求证:.【答案】(1);(2)证明见详解.【解析】【分析】(1)先对函数求导,根据函数单调性,得到在上恒成立,进而可求出结果;(2)

    23、先由题意,得到,两式作差整理,得到,推出,令,将证明转化为证明即可,利用导数的方法,即可证明结论成立.【详解】(1)因为,所以,因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,因为幂函数在显然单调递减,所以,因此只需;(2)当时,因为函数有两个零点,所以,两式作差可得:,因此,令,则,要证,即证,即证,即证令,则在上恒成立,所以在上单调递减,因此,即在上恒成立,所以.【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数,以及导数的方法证明不等式,属于常考题型.18. 已知函数,曲线在点处切线与直线垂直(1)试比较与的大小,并说明理由;(2)若函数有两个不同的零点,证明:【答案】(1),理由见

    24、解析;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出的导数,由两直线垂直的条件:斜率相等,即可得到切线的斜率和切点坐标,进而的解析式和导数,求出单调区间,可得,即可得到与的大小;(2)运用分析法证明,不妨设,由根的定义可得所以化简得,可得,要证明,即证明,也就是求出,即证,令,则,即证令,求出导数,判断单调性,即可得证【详解】解:(1)函数,所以,又由切线与直线垂直,可得,即,解得此时,令,即,解得;令,即,解得,所以的增区间为,减区间为所以,即即,即有:(2)证明:不妨设,因为,所以化简得,可得,要证明,即证明,也就是因为,即证,即,令,则,即证令由,故函数在是增函数,所以,即得证所以【点睛】本

    25、题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,构造函数,运用单调性解题是解题的关键,考查化简整理的运算能力,属于中档题19. 已知函数.(1)当时,证明:有唯一零点;(2)若函数有两个极值点,(),求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先对函数f(x)求导,再对a分类讨论即可判断函数f(x)的单调性,进而求得最值;(2)由函数的极值点得关于,的关系式以及参数a的范围,构造函数,将问题转化为该函数的最值问题,再进行适当放缩即可证明.【详解】(1)(),所以在,上递增,在递减,又,时,所以有唯一零点;(2)().若有两个极值点,(),则方程的判别式且,因而,又,即,

    26、设,其中,由得,由于,在上单调递增,在上单调递减,即的最大值为,从而成立.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,极值,最值,证明不等式,考查了分类讨论思想,转化思想,属于难题.20. 已知函数,曲线在点处切线与直线垂直.(1)试比较与的大小,并说明理由;(2)若函数有两个不同的零点,证明:.【答案】(1),理由见解析(2)详见解析【解析】【分析】(1)求出的导数,由两直线垂直的条件,即可得切线的斜率和切点坐标,进而可知的解析式和导数,求解单调区间,可得,即可得到与的大小;(2)运用分析法证明,不妨设,由根的定义化简可得,要证:只需要证: ,求出,即证,令,即证,令,求出导数,判断单调性,即可得证.【详解】(1)函数,所以,又由切线与直线垂直,可得,即,解得,此时,令,即,解得,令,即,解得,即有在上单调递增,在单调递减所以即(2)不妨设,由条件:,要证:只需要证:,也即为,由只需要证:,设即证:,设,则在上是增函数,故,即得证,所以.【点睛】本题主要考查了导数的运用,求切线的斜率和单调区间,构造函数,运用单调性解题是解题的关键,考查了化简运算整理的能力,属于难题.

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