5.1导数的概念及其意义ppt课件(2)-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、 为了描述现实世界中的运动、变化现象，为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念的概念.在对函数的深入研究中，数学家创在对函数的深入研究中，数学家创立了立了微积分微积分，这是具有划时代意义的伟大，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑创造，被誉为数学史上的里程碑.牛顿（牛顿（Isaac NewtonIsaac Newton，16431643年年17271727年），英国物理学家、数学家年），英国物理学家、数学家.莱布尼茨（莱布尼茨（Go

2、ttfried Wilhelm LeibnizGottfried Wilhelm Leibniz，16461646年年17161716年），德国哲学家、数学家年），德国哲学家、数学家.一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；在任意时刻的速度与加速度；二、求曲线的切线；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等四、求长度、面积、体积和重心等.5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢

3、程度的快慢程度 问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系）存在函数关系 h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快上升阶段运动

4、的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快.问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在在0t0.50t0.5这段时间里，这段时间里，在在1t21t2这段时间里，这段时间里，问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系）存在函数关系 h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度如何描述运动员从起跳到入水过程中运

5、动的快慢程度呢？呢？问题问题(1)(1)：如何求运动员从起跳到：如何求运动员从起跳到0.50.5秒，起跳后秒，起跳后1 1秒到秒到2 2秒秒这两段时间的平均速度？这两段时间的平均速度？问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系）存在函数关系 h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度如何描述运动员从起跳到入水过程中运

6、动的快慢程度呢？呢？问题问题(2)(2)：如何求运动员起跳后：如何求运动员起跳后t t1 1秒到秒到t t2 2秒这段时间的平均速度？秒这段时间的平均速度？注：注：运动员的平均速度，只关注了运动员的平均速度，只关注了从从初始初始到到终止终止这个时间段的这个时间段的情况情况，忽略，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态.瞬时速度 问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起跳后的时间）与起跳后

7、的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系）存在函数关系 h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？呢？问题问题(4)(4)：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在关系求运动员在t=1t=1时的瞬时速度吗？时的瞬时速度吗？平均速度平均速度v瞬时瞬时速度速度v(tv(t0 0)问题问题1 1：高台跳水运动员的速度：高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员的重心

8、相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系）存在函数关系 h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？呢？h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111 为了求运动员在为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，之后或之前，任意取一个时刻任意取一个时刻1+t，t是时间改变量，可以是正值，也可以是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为是负值，但不为0.

9、当当t 0时，时，1+t在在1之后；当之后；当t 0时，时，1+t在在1之前之前.t0,1t,1 当当时时 在在 区区 间间内内h(1)h(1t)v1(1t)ttt5)(9.424.95t 01 1 当当t t时时，在在区区间间 ，t t 内内h(1t)h(1)v(1t)1 ttt5)(9.4259.4t59.4tvvvt0-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5

10、.0000049h(1t)h(1)(1t)1 t0lim 无论无论t t的正负，只要无限趋近于的正负，只要无限趋近于0 0，也就是时间间隔不断变小，也就是时间间隔不断变小，平均速度都平均速度都无限趋近于无限趋近于5 5.因此，运动员在因此，运动员在t=1t=1时的瞬时速度时的瞬时速度v(1)=-5m/s.v(1)=-5m/s.t04.9 t5=4.9 05=5=lim （）问题问题(5)(5)：你能用上述方法，计算当你能用上述方法，计算当t t2s 2s 时的瞬时速度吗？时的瞬时速度吗？h(2t)h(2)vt 224.9(2t)4.8(2t)11(4.9 24.8 211)t 24.9(t)1

11、4.8 tt 4.9 t14.8 解：解：因为因为h(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t1111，所以运动员在时间，所以运动员在时间段段22，2 2tt（或（或22t t，22）的平均速度为）的平均速度为0(2)lim(4.914.8)tvth(t)h(t)4.9t4.9t2 24.8t4.8t11114.9 014.814.8 5.1.2 5.1.2 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义1.1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度高台跳水运动员平均速度及瞬时速度2.2.抛物线的割线及切线的斜率抛物线的割线及切线的斜率一、回顾旧知 都采用了由都采用了由“平均变化率平均变化率

12、”逼近逼近“瞬时变化率瞬时变化率”的的思想方法思想方法 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率y,x 我我们们把把比比值值即即00f(xyx)f(x)xx 2.2.导数导数说明：（1）函数）函数在点在点处可导，是指处可导，是指时，时，有极限如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点是自变量x在处的改变量，0 x，而是函数值的改变量，可以是零（2）例例1 1：解解:(1)(1)求平均变化率：求平均变化率：(2)(2)取极限，得导数：取极限，得导数：例例2 2：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

13、如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为xh2()715(08).yfxxxx计算第计算第2 h2 h和第和第6 h6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。解：解：f65.同同 理理 可可 得得00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况例例3 3：解解:1.1.导数的定义导数的定义 课堂小结：课堂小结：请看课本请看课本P66P66：练习第：练习第2 2、4 4题题(1)(1)求平均变化率：求平均变化率：(2)(2)取极限，得导数：取极限，得导数：观察函数观察函数y=f(x)y=

14、f(x)的图象，平均变化率的图象，平均变化率 表示什么表示什么?1212 2f(x)f(x)f(x)f(x)y yxxxxxx OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2x1f(x2)f(x1)直线直线ABAB的的斜率斜率思考思考?xyC1212 2y yy yx xx x (x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)=x=y|AC|=|BC|=A AB Bk k 曲线越曲线越“平缓平缓”，说明变量变化越，说明变量变化越f(x2)f(x1)x2x1yx0)(xfy 曲线越曲线越“陡峭陡峭”，说明变量变化越，说明变量变化越 ；)(,(22xfxB)(,(11xfxA2.2.平均变化率的

15、几何意义：平均变化率的几何意义：过曲线上过曲线上A A、B B两点的直线的斜率两点的直线的斜率.3.3.用平均变化率来近似地量化曲线在用平均变化率来近似地量化曲线在某区间上某区间上的陡峭程度的陡峭程度f(x2)f(x1)x2x11x2x快快慢慢 .)(xf1.一般地，函数一般地，函数在区间在区间 上的上的平均变化率平均变化率为为12,xx12,xxyxyxC1212 2y yy yx xx x A AB Bk k 平均变化率平均变化率P PQ Qo ox xy yy=f(x)y=f(x)割割线线切线切线T T 我们发现，当点我们发现，当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0

16、 x0时，割线时，割线PQPQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线.我们发现我们发现,当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时，时，割线割线PQPQ有一个极限位置有一个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为，那么当，那么当x0 x0时，割线时，割线PQPQ的斜率，称为曲线在点的斜率，称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切线的斜率.00000 切切线线xxxxf(xx)f(x)f(x

17、x)f(x)y yklimlimf(x)klimlimf(x)xxxx f(x2)f(x1)x2x1yx1212 2y yy yx xx xk k 函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的处的导数的几何意义几何意义，就是曲线，就是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0，f(xf(x0 0)处的切线的处的切线的斜率斜率.函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的处的导数的几何意义几何意义，就是曲线，就是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0，f(xf(x0 0)处的切线的处的切线的斜率斜率.00000 切切线线x xx xf f(x xx x)f f(x x)y yk kf f(x x)l li im ml li im mx xx x 用导数求切线方程的步骤：用导数求切线方程的步骤：（1 1）求出函数在）求出函数在x=xx=x0 0处的导数处的导数 ，得到曲线在点，得到曲线在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2 2）由直线的点斜式写出切线方程）由直线的点斜式写出切线方程000yf(x)f(x)(xx)请看课本请看课本P70P70：练习第：练习第3 3题题3.3.求曲线求曲线y y2x2x2 21 1在点在点(1(1，1)1)处的切线方程处的切线方程.