4.3.1等比数列(第一课时)　ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.pptx

1、 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.符号表示：符号表示：2.等差中项的定义等差中项的定义 数列 a，A，b成等差数列 ，其中A叫做a与b的等差中项.2abA 3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式a1(n1)d=am(nm)d课前站读课前站读2min2min内容内容任意两个实数都有等差中项.4.3.1等比数列的概念1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义，理解等比中项的概念.2.能运用通项公式解决相应问题.3.体会等比数列与

2、指数函数的关系.4.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模.学习目标学习目标 月球车玉兔二号阿姆斯特朗课堂探究课堂探究引例引例1 1：如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折,再对折.依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？(月球与地球的平均距离是384400公里)纸的层数 2，4，8，16，,502.第1天第2天第3天第4天第n天121411618引例引例2 2：庄子 天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”从数学眼光来看，就是如果把“一尺之棰”的长度看成单位1，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是课堂探究课堂探究引例引例3.3.

3、某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是(注：)(复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)课堂探究课堂探究a(1+r)第1年末a(1+r)2a(1+r)3a(1+r)4a(1+r)5第2年末第3年末第4年末第5年末=(1)存期本利和 本金利率 a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)51 1 112 4 8 16，思考1：以上数列有怎样的取值规律？如果用an表示数列，那么有表明,数列有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于2.23501249222,aaaaaa，思考2

4、：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？课堂探究课堂探究502,4,8,16,2.一般地，如果一个数列从第二项第二项起，每一项与它的前一项前一项的比比都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 .符号表示：课堂探究课堂探究*11(0,2,)(0,)nnnnaaq qnnNq qnNaa且或(0)q 观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.概念辨析概念辨析0,0naqq0时,数列各项符号相同,当q0时,数列各项符号相反.非零常数列既是等差数列也是等比数列12q 3q 1q 分类讨论分类讨论每

5、一项与它的前一项的比都等于同一个常数.观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等比数列：（1）1，9 （2）-1，-432课堂探究课堂探究如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2=ab.（3）-1，4 同号同号的两数的等比中项的两数的等比中项有两个有两个,它们互它们互为相反数；为相反数；异号异号的两数的两数没没有有等比中项等比中项.探究1：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列 的公比为 根据等比数列的定义，可得 naq1.nnaaq21aa q，23211=()aa qa q qa q，234311=()a

6、a qa qqa q，11(2)nnaa qn所以 由此可得 又 ，这就是说，当 时上式也成立因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 01 1111aa qa q1n 1aqna11nnaa q 验证验证 n=1不完全归纳法不完全归纳法课堂探究课堂探究21321(1).nnaqaaqanaqa个 式 子11(2)nnaqna11nnaa q课堂探究课堂探究11(2)nnaa qn又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.设一个等比数列 的公比为 根据等比数列的定义，可得 即 naq1nnaaq，1nnaqa验证验证 n=1累乘法累乘法相乘得探究1：你能根据等比数

7、列的定义推导它的通项公式吗？课堂探究课堂探究11nnqaa小试牛刀小试牛刀探究2：在等差数列中，公差 的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 满足什么条件的数列可以与相应的指数函数建立类似的关系？01qq且时111nnnaaa qqq1()()xaf xqxRq()naf n即课堂探究课堂探究0d qxn当时*1()()naf nqnNq110qa且时课堂探究课堂探究 构成一个等比数列kan，首项为ka,公比为a.指数型函数f(x)=kax(k、a为常数,k0,a0且a1)f(1)=ka，f(2)=ka2，.，f(n)=kan,.探究3：类比指数函数的性质，判断公比 的

8、等比数列的单调性.0q 01q10a 1q 1q 10a 课堂探究课堂探究递增数列 递减数列 递减数列 递增数列 常数列 111nnnaaa qqq例1.若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12,求an的第5项.例题解析例题解析数列的某一项给定两个独立条件等比数列的首项和公比法二：a5是a4与a6的等比中项 =a4a6=4812=576 a5=24故an的第5项是24或2425a576例1.若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12,求an的第5项.例题解析例题解析若等比数列an的第2项和第6项分别为2和32,求an的第4项.变式练习变式练习(解法1:基本量法)解设等比数列 的首项为

9、 ,公比为q,na262,32,aa由得1512,32,a qa q 得，416.q 22.q 解得或1a2q 把 代入，得 11.a 33411 28.aa q 此时把 代入，得 2q 11.a 33411(2)8.aa q 此时 8.na因此的第四项是(解法2:等比中项法)解：24262 3264.aa a所以426aaa因为 是 与 的等比中项，4648.a 所以48.a 则 8.na因此的第四项是 又根据等比数列中的偶数项符号相同,解：由题意，得 的两边分别除以的两边，得所以，例2.已知等比数列an的公比为 ,试用an的第 项am表示an.11,mmaa q11,nnaa q,nmnm

10、aqa.nmnmaaq例题解析例题解析qm等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示 解：设前三项的公比为 ,后三项的公差为 ,则数列的各项依次为 于是得解方程组,得所以这个数列是例3.数列an共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.280 80,80,80,802.ddqq280(80)136,80(802)132.dqdq22,316,64.qqdd 或20,40,80,96,112,180,120,80,16,48.或例题解析例题解析qd课堂小结课堂小结1.知识方面知识方面(1)等比数列及等比中项的定义等比数列及等比中项的定义;2.思想方法：思想方法：类比、数形结合思想、函数与方程思想类比、数形结合思想、函数与方程思想回顾本节课的探究过程，你学到了什么？回顾本节课的探究过程，你学到了什么？(2)等比数列的通项公式等比数列的通项公式;递推公式、不完全归纳法和累乘法(3)等比数列与相应的指数型函数的关系；等比数列与相应的指数型函数的关系；(4)通项公式的应用通项公式的应用.当堂检测当堂检测0BC5作业布置作业布置题案4.3.1等比数列的概念