5.1导数的概念及其意义ppt课件-2022新人教A版(2019)《高中数学》选择性必修第二册.pptx
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1、导数的概念及其意义2()()()4.94.811hmtsh ttt 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位:与起跳后的时间 单位:存在函数关系如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?124.9()4.8tt v运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述运动状态12ttt 一般地,在这段时间里9.9(/)m s 12t 在这段时间里2.35(/)m s00.5t 例如:在这段时间里一、变化率问题1.问题(0.5)(0)0.50hhv(2)(1)2 1
2、hhv2121()()h th tvtt48049t 计算运动员在这段时间里的平均速度,你发现了什么?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?1ts瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗?度我们把物体在某一时刻速度称为瞬时速的思考探究为了精准刻画运动员的运动状态,需要考虑在某一瞬间的运动速度因此,用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态显然,在这段时间内,运动员并不处于静止状态480049t 我们发现,运动员在这段时间里的平均速度为0vt那么 将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度如果不断缩短这一时间段的长度0tv设运动员在时刻附近某一段时间
3、内的平均速度是,为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格01,1tt 当,在时间段内可作类似处理1,11tvvt计算时间段内的平均速度,用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度01,1tt 当,把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动,011011tttt 当时,在 之后,当时,在 之前0t 是时间改变量,可以是正值,可以是负值,但不为111ttt为了求运动员在时的瞬时速度,在之后或之前,任意取一个时刻0tv当无限趋近于时,平均速度 有什么变化趋势?观察01115ttv我们发现,当无限趋近于,即无论 从小于 的一边,还是从大于的一边无限趋近于 时,平均速度 都无限趋近于1(1
4、)5/tsvm s 因此,运动员在时的瞬时速度|01tvt当时间间隔无限趋近于时,平均速度就无限趋近于时的瞬时速度。0(1)(1)lim5ththt 记为(1)(1)50hthtvt我们把叫做“当无限趋近于时,的极限”这与前面得到的结论一致5v无限趋近于0,4.90tt当无限趋近于时也无限趋近于4.95t 24.9()5ttt(1)(1)(1)1hthvt事实上14.8 20()()()4.94.811(1)2(2)hmtsh ttttst 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位:与起跳后的时间 单位:存在函数关系求运动员在时的瞬时速度;求运动员从起跳到入水过程中
5、在某一时刻的瞬时速度?04.89.8t4.914.8t 224.9(2)4.8(2)11 4.9 24.8 2 11ttt (2)(2)(1)hthvt解:04.94.89.8tt 2200004.9()4.8()11 4.94.811ttttttt 00()()(2)h tth tvt00lim(4.94.89.8)tvtt 0lim(4.914.8)tvt 思考0limxyxyx 第一步:求平均变化率第二步:求平均变化率的极限0lim0 xx 20lim()0 xx 0lim1 1x 0lim()(,)xa xbb a bR 2()()0.9(1)12(2)10tsmh ttts 1.火箭
6、发射后,其高度 单位:为,求:在这段时间里,火箭爬过的平均速度发射后第时,火箭爬高的瞬时速度1018/sm s发射后第时,火箭爬高的瞬时速度是0lim(0.918)18/tvtm s 0.918t 122.7/tm s 在这段时间里,火箭爬过的平均速度是2.7/m s(10)(10)(2)hthvt220.9(10)0.9 10tt220.9 20.9 12 1(2)(1)(1)2 1hhv解:练习25()()()4.91mymtsy ttts 2.一个小球从的高处自由下落,其位移单位:与时间 单位:之间的关系为,求时小球的瞬时速度19.8/tsm s 时小球的瞬时速度为9.8/m s 0li
7、m(4.99.8)tvt 4.99.8t 224.9(1)4.9 1tt(1)(1)ytyvt解:20()(1,1)f xxP如何定义抛物线在点处的切线?020()(1,1)PTf xxP这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线探究2200(,)()(1,1)P x xf xxPP P当点沿着抛物线趋近于点时,割线有什么变化趋势?观察20(1,1)(,)PP x x在点的附近任取一点00PPP P当点 从左从右无限趋近于点时,割,一个线确趋定无限近于的位置.问题2抛物线的切线的斜率2000()(1,1)f xxPPTk如何求抛物线在点处的切线的斜率?000|PPkPTkx我们可以用割线的斜率
8、近似地表示切线的斜率,并且通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,得到如下表格探究2x 2(1)1(1)1xx0()(1)1PPf xfkx割线的斜率2(1,(1)Pxx则点 的坐标为1xx 记2000()(1,1)f xxPPTPP抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系00 xP Pk当无限趋近于时,割线的斜率 有什么变化趋势?观察001112xxP Pk我们发现,当无限趋近于,即无论 从小于 的一边,还是从大于的一边无限趋近于 时,割线的斜率 都无限趋近于002PTk 因此,切线的斜率000P PPPT割线无限趋近于点处的切线0|0 xPP当横坐标间隔无限趋近于时,点就无限趋
9、近于点0(1)(1)lim2xfxfkx 记为(1)(1)20fxfxkx我们把叫做“当无限趋近于时,的极限”0,22xx 当无限趋近于时无限趋近于(1)(1)2fxfktx 事实上0000PPkPPTk这时,割线的斜率 无限趋近于点处的切线的斜率2()4.94.811(1)(1)(1)1(1)h ttththvtv 观察函数的图像平均速度的几何意义是什么?瞬时速度呢?0(1)vPT 切线的斜率0vPP 割线的斜率00PPT解:过点作抛物线的切线思考2()(1,1)f xx1.试求抛物线在点处切线的斜率2 练习0(1)(1)limxfxfkx 2x 22(1)(1)(1)(1)fxfxxx 解
10、:0lim(2)xx 2()1(0,1)f xx2.求抛物线在点处的切线方程x 0(0)(0)limxfxfkx 0limxx 0(0,1)1y在点处的切线方程为22(0)1(01)xx(0)(0)fxfx解:二、导数的概念及其几何意义0000()()()f xxf xyyf xxxxxx我们把叫做函数从到的平均变化率00()()yyf xxf x 的变化量为xx这时,的变化量为00()()yf xf xx相应地,函数值就从变化到00 xxxx设自变量 从变化到()yf x对于函数0()yf xxx则称在可导yx即有极限0yxx 如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,00000()()(
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