4.2.2（第二课时）等差数列的前n项和性质及应用ppt课件-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.ppt

1、新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.巩固等差数列的前n项和公式2.等差数列前n项和的最值问题解法3.掌握等差数列前n项和的性质及其应用1.数学运算：公式巩固2逻辑推理、数学建模：求前n项和最值，求解相关问题等差数列前n项和的性质设等差数列 an前n项和为Sn，则性质1：数列an是等差数列 SnAn2Bn(A、B为常数)若an是等差数列，则 也成等差数列性质2：若an是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列性质3：在等差数列an中，a1a2，a2a3，a3a4，也成等差数列，a1a2a3，a2a3a4，a3

2、a4a5，也成等差数列性质4：关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(1)若项数为2n，则S偶S奇nd，(2)若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，Sn=a1+a2+a3+a2n-2+a2n-1+a2nS奇=a1+a3+a5 +a2n-3+a2n-1S偶=a2+a4+a2n-2+a2nS偶-S奇=ndS奇S偶=(a1an-1)(a2an)n2n2=na1n(n-1)dna1n2d=anan+11等差数列的前等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列an，如果a1，d是确定的，前n项和()上式可写成SnAn2Bn.当A0(即d

3、0)时，Sn是关于n的二次函数，那么(n，Sn)在二次函数yAx2Bx的图象上因此，当d0时，数列S1，S2，S3，Sn的图象是抛物线yAx2Bx上的一群孤立的点2等差数列的前等差数列的前n项和的最值项和的最值解决等差数列的前n项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是nN*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值(3)通项法：当a10，d0时，SnSn1，即递增；当an0时，SnSn1，即递减类似地，当a10，则n为使an0成立的最大自然数时，Sn最小题型一题型一 等差数列前等差数列前n项和性质的应用项和性质的应用

4、例1等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和记数列an的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，则2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又Sm30，S2m100，所以S2mSm1003070，所以S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以S3m110100210.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为3227，则该数列的公差为_利用等差数列前n项和的性质求解记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇由已知条件，(1)在等差数列an中，a1a2a324，a18a19a

5、2078，那么此数列前20项的和为()A160 B180 C200 D220由a1a2a33a224，得a28，由a18a19a203a1978，得a1926，于是S2010(a1a20)10(a2a19)10(826)180.(2)一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则该数列的前110项和为_法一：设SnAn2Bn(A，BR)，方法二：由题意知数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100成等差数列设其公差为d，前10项和为解得d22，所以S110S100S10(111)d10010(22)120，所以S110120S100110.方法三：方法三：

6、因为数列an为等差数列，所以数列也是等差数列，三点共线，即得S110110.题型二 等差数列前n项和的最值问题例2等差数列an中，a125，S17S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为即S13最大如右图所示，最大值为169.nSnO13917由题意，可知a125，S17S9，d2.故前13项之和最大，最大值是169.S17S9，a10a11a170.a10a17a11a16a13a140.a1250，a130，a140，()当n13时，Sn有最大值169.求解等差数列前n项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得Sn的表达式

7、，然后配方若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时可能为1个(2)不等式法 当a10，d0时，Sm为最大值；当a10，d0时，Sm为最小值(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定Sn的最值设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S120，S130，S130，S130，又由(1)知d0.数列前6项为正，从第7项起为负数列前6项和最大.题型三 等差数列求和的实际应用例3一支车队有15辆车，某天依次

8、出发执行任务第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列an，其中a1240，公差d10，则an24010(n1)10n250.(1)因为a151015250100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为所以这支车队当天一共行驶的路程为某单位用分期付款的方

9、式为职工购买40套公寓，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？由于购房时先付150万元，则欠款1 000万元依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列an，所以an501 00050(n1)1%所以an是以60为首项，10(6050.5)1 105.买这40套公寓实际花了1 255万元题型四 等差数列的综合应用例4(1)冬春季是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且满足an

10、2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗流感的共有()A225人 B255人C365人 D465人(1)当n为奇数时，an2an，当n为偶数时，an2an2，所以a1a3a291，a2，a4，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，S30(a1a3a29)(a2a4a30)255(2)(2021湖南怀化高一联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200()A100 B101 C200 D201(2)因为A，B，C三点共线，所以a1a2001，100，1在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列前10项和S1036，前18项和S18

11、12，则数列|an|的前18项和T18_由a10，a10a110知d0，且a100，a110，所以T18a1a2a10a11a12a182S10S1860.2在等差数列an中，a10，3a85a13，则Sn中最大的是()AS21BS20 CS19 DS18设等差数列的公差为d.由3a85a13，得3(a17d)5(a112d)，d0，2(2021山东日照高二期末)我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为()A75斤 B70斤C65斤 D60斤设第一个孩子分到a1斤棉花，则由题意，解得a165，