多因子变异数分析课件.ppt

1、第14章 多因子變異數分析多因子變異數分析前言 在心理治療例子裡，如果這些治療都在白天進行，實驗結論未必能類推到晚上。此時可採二因子實驗設計：（1）治療方法，（2）治療時間。治療方法分為3種，治療時間分為2種，因此為32的實驗設計。後隨機將受試者分派至這六種情境裡。第一節 結構模式（1）令細格內的數值為依變項Yijk，其中i代表編號，j代表治療時間，k代表治療方法。例如Y321代表接受晚上/行為改變法治療，編號為3的數值。表示白天/行為改變細格的平均數，表示白天/認知細格的平均數。和 分別代表白天和晚上的平均數。、分別代表行為改變、認知改變、安慰丸法的平均數。代表總平均數。11 Y12Y1Y2

2、Y1 Y2 Y3 Y Y處理 編號 行為改變 認知改變 安慰丸 合計 1 白天 Y111 Y112 Y113 2 Y211 Y212 Y213 3 Y311 Y312 Y313 4 Y411 Y412 Y413 5 Y511 Y512 Y513 平均數 11 Y 12Y 31 Y 1Y 1 晚上 Y121 Y122 Y123 2 Y221 Y222 Y223 3 Y321 Y322 Y323 4 Y421 Y422 Y423 5 Y521 Y522 Y523 平均數 12 Y 22Y 23Y 2Y 平均數 合計 1 Y 2 Y 3 Y Y 第一節 結構模式（2）造成Yijk會有變異的原因：一為

3、實驗處理，另一為個別誤差。實驗處理的效果區分為三部份：（1）時間的主要效果，（2）治療方法的效果，以及（3）時間和治療方法產生的交互作用。時間的效果可以從白天的平均數和晚上的平均數差異得知。治療方法的效果也可以從行為改變的平均數、認知改變的平均數、安慰丸的平均數是否有顯著差異得知。交互作用效果是實驗的總效果減去時間的效果和治療方法的效果後，剩下就是交互作用。第一節 結構模式（3）如果將表1中的6個組視為某個因子的6個類別（就叫這個因子時/法），此時兩因子的實驗設計就變為單因子的實驗設計。時/法因子的實驗效果可從6組平均數是否有差異得知。如果6組的平均數差異不顯著，就表示時/法的實驗處理效果等於

4、0。這個時/法的實驗處理效果就是上述的總效果。第一節 結構模式（4）Yijk=mjk+eijk 由於mjk=m+(mj.-m)+(m.k-m)+(mjk-mj.-m.k+m)mj.-m反映出第1個因子（時間）的效果m.k-m反映出第2個因子（治療方法）的效果mjk-mj.-m.k+m反映出這兩個因子交互作用。第一節 結構模式（5）令aj=mj-mbk=mk-mabjk=mjk-mj-mk+m 則 Yijk=m+aj+bk+abjk+eijk 由於aj，bk，abjk均為離均差，因此JjKkkj110baJjKkjkjk110abab第一節 結構模式（6）模式假設：eijk是常態分佈，平均數為0

5、，變異數為s2。誤差之間是獨立的。如果所有的aj等於0，則第一個因子的各個組平均數都相等。因此aj反映第一個因子主要效果。如果所有的bk等於0，則第二個因子各組平均數都相等。所以bk反映出第二個因子主要效果。第一節 結構模式（7）在abjk方面，如果當j=1，m1k-m1.-m.k+m=0，則m1k-m1.=m.k-m。同樣的，當j=2，m2k-m2.-m.k+m=0。甚者對所有的j而言，都是如此。這表示第二個因子中K組平均數間差異和第一個因子沒有關連，也就是沒有交互作用效果。反之，如果K組間平均數的差異，隨著j不同而不同，就表示這兩個因子有交互作用。第一節 結構模式（8）例子1 如果心理治療

6、的6個細格的母體平均數如表2，求各個a，b，和ab。並說明公式（14.7）和（14.8）成立。行 為 改 變 法k1 認 知 改 變 法k2 安 慰 丸 法k3 平 均 白 天j1 40 30 80 50 晚 上j2 43 60 74 59 平 均 41.5 45 77 54.5 第一節 結構模式（9）a1=m1-m=50 54.5=-4.5，a2=m2-m=59 54.5=4.5。因此a1+a2=0。b1=m1-m=41.5 54.5=-13，b2=m2-m=45 54.5=-9.5，b3=m3-m=77 54.5=22.5，因此b1+b2+b3=0。第一節 結構模式（10）不是所有a都等於

7、0，時間有主要效果。不是所有b都等於0，治療方法有主要效果。不是所有abjk都等於0，時間和治療方法有交互作用。行為改變法k1 認知改變法k2 安慰丸法k3 合計 白天j1 3-10.5 7.5 0 晚上j2-3 10.5-7.5 0 合計 0 0 0 0 第一節 結構模式（11）第一對用以檢定第一個因子的主要效果：:a1=aJ =0 :至少有一個aj不等於0。第二對用以檢定第二個因子的主要效果：:b1=bK =0 :至少有一個bk不等於0。第三對用以檢定這兩個因子間的交互作用效果：:ab11=abJK =0 :至少有一個abjk不等於0。0H1H 0H 1H 1H 0H第二節 平方和的分割（

8、1）SST=SSb+SSw(14.9)SSb=SSA+SSB+SSAB(14.10)公式（14.9）和（14.10）成立的必要條件就是細格的樣本數n都相等。KkJjniijkTYYSS11 12)(KkJjjkbYYnSS112)(KkJjnijkijkwYYSS1112)(第二節 平方和的分割（2）JjjKkJjnijAYYKnYYSS121112)()(KkkKkJjnikBYYJnYYSS121112)()(KkJjkjjkKkJjnikjjkABYYYYnYYYYSS1121112)()(第二節 平方和的分割（3）1JSSMSAA1KSSMSBB)1)(1(KJSSMSABAB)1(n

9、JKSSMSww1)(22JnKMSEjAas1)(22KnJMSEkBbs)1)(1()(22KJnMSEjkABabs2)(swMSE第二節 平方和的分割（4）當A因子主要效果為0的虛無假設成立，則 ，E(MSA)=s2，且 會服從F分佈，分子自由度為J 1，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A因子有主要效果。02jawAMSMSF 第二節 平方和的分割（5）當B因子主要效果為0的虛無假設成立，則 ，E(MSB)=s2，且 會服從F分佈，分子自由度為K 1，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即

10、B因子有主要效果。02kbwBMSMSF 第二節 平方和的分割（6）當A和B因子交互作用為0的虛無假設成立，則 ，E(MSAB)=s2，且 會服從F分佈，分子自由度為(J 1)(K1)，分母自由度為JK(n 1)。如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A和B因子有交互作用。02jkabwABMSMSF 來源 平方和 自由度 均方 F 均方期望值 A JjjYYKn12)(1J AAdfSS wAMSMS 1122JKnJjjas B KkkYYJn12)(1K BBdfSS wBMSMS 122KJnkbs AB KkJjkjjkYYYYn112)()1)(1(KJ ABAB

11、dfSS wABMSMS)1)(1(1122KJnKkJjjkabs 組內 KkJjnijkijkYY1112)()1(nJK JK wwdfSS s2 合計 KkJjniijkYY1112)(1N 第二節 平方和的分割（7）例子2 在三種心理治療法對降低憂鬱症的效果方面，經過為期四週的實驗處理後，得到如表5的結果，數字越大表示憂鬱症狀越強。這三種方法的效果是否有異？白天和晚上的效果是否有異？治療方法和時間是否有交互作用效果？處理 編號 行為改變 認知改變 安慰丸 合計 1 白天 35 36 66 2 25 45 97 3 73 22 90 4 45 33 76 5 22 14 71 平均數

12、40 30 80 50 1 晚上 31 65 90 2 55 44 77 3 36 75 55 4 49 62 72 5 44 54 76 平均數 43 60 74 59 平均數 合計 41.5 45 77 54.5 第二節 平方和的分割（8）作法 1.就時間而言，白天的平均數為50，晚上為59。就樣本數各為15人的情況下，差距只有9分，也許不會達顯著水準。2.就治療方法而言，這三種方法的平均數分別為41.5，45，77。認知改變法與行為改變法的差距很小，可能未達顯著水準。安慰丸法與其他兩種方法的差距非常大，有可能達顯著水準。第二節 平方和的分割（9）就交互作用而言 行為改變 認知改變 安慰丸

13、法 合計 白天-3-10.5-7.5 0 晚上-3-10.5-7.5 0 合計-0-10.0-00 0 0102030405060708090行為改變認知改變安慰丸法治療方法憂鬱症狀白天晚上0102030405060708090白天晚上時間憂鬱症狀認知改變行為改變安慰丸第二節 平方和的分割（10）對行為改變法和安慰丸法而言，白天和晚上的效果沒有兩樣。但對認知改變法，白天的效果比晚上來得好。治療方法和時間可能有交互作用。大致可以發現治療方法會有差異，時間也許沒有顯著差異，可能會有交互作用。第二節 平方和的分割（11）來源 平方和 自由度 均方 F p 時間 607.5 1 607.50 3.23

14、 0.085 治療方法 7655 2 3827.50 20.35 710-6 交互作用 1755 2 877.50 4.67 0.019 組內 4514 24 188.08 合計 14531.5 29 第二節 平方和的分割（12）有交互作用未必是件可喜的事。如果從理論上認知治療法應該比行為改變法好，白天是如此，為何到了晚上時卻相反。這有可能是晚上的認知治療法已經產生質變。果真如此，對認知治療法的操弄已經失敗。如果能繼續探究交互作用的原因，也許可以改進實驗操弄，甚至發明更為有效的認知治療法。第三節 因子效果的分析（1）在分析兩因子的效果時，要考慮是否有交互作用，而採不同的分析方法。1.如果沒有交

15、互作用，則針對有顯著主要效果的因子，估計或檢定該因子中各組的平均數。2.如果有交互作用，針對各個細格平均數進行估計或檢定。第三節 因子效果的分析（2）沒有交互作用沒有交互作用 A因子各組平均數的估計：B因子各組平均數的估計：用MSw取代s2，因此可透過自由度為JK(n-1)的t分佈進行區間估計與假設檢定。JK(n-1)就是MSw的自由度。),(2KnNYjjsm),(2JnNYkksm 第三節 因子效果的分析（3）A因子中第j個組的平均數：是自由度為JK(n-1)的t分佈。mj.的（1-a）100%信賴區間是 KnMSYTwjjmKnMStYStYwjYjj22aa第三節 因子效果的分析（4）

16、B因子中第k個組的平均數：是自由度為JK(n-1)的t分佈。m.k的（1-a）100%信賴區間是 JnMSYTwkk mJnMStYStYwkYkk22aa 第三節 因子效果的分析（5）就某一個因子中多組平均數的對比而言，可透過對比進行區間估計和假設檢定。就A因子的對比而言，令 L的不偏估計式為 此估計式的變異數為 JjjjcL1mJjjjYcL1 JjjcKnL122 vars第三節 因子效果的分析（6）s2可用MSw代替之，即 是自由度為JK(n-1)的t分佈。L的（1a）100%信賴區間是 JjjwLcKnMSSL122 varJjjwJjjjJjjjLcKnMScYcSLLT1211

17、mJjjwLcKnMStLStL1222aa第三節 因子效果的分析（7）如果有多個比較要進行，要考慮家族第一型錯誤機會。如果在進行實驗研究之前，就決定對某些比較進行區間估計或假設檢定，就可利用Bonferroni或Holm的作法。如果是事後比較，且是兩兩平均數的差異，則可利用Tukey的作法。如果是對所有可能的對比進行區間估計或假設檢定，就用Scheff方法。第三節 因子效果的分析（8）就Tukey而言，對A因子第j 組和第j組平均數差異mj.-mj.的家族（1-a）100%信賴區間是 如果從樣本求得的 超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。)11(KnKnMSQYYwjj)1(,;121nJK

18、JqQa2)11()(KnKnMSYYQwjjjjmm第三節 因子效果的分析（9）以Scheff方法而言，對A因子的各組平均數的所有對比進行估計或檢定，且家族第一型錯誤機會維持在a，則L的（1-a）100%信賴區間是 ，其中 若L=0的虛無假設為真的情況下，會是F分佈。如果從樣本求得的F值超過臨界值，就拒絕虛無假設。LcSSL)1(,1;)1(nJKJcFJSa22)1(LSJLF第三節 因子效果的分析（9）例子3 以例子2的資料而言，假設交互作用不顯著，對治療方法的各組平均數進行兩兩母體平均數差異為0的假設檢定，顯著水準訂為0.05。分別以Bonferroni、Tukey、Scheff進行之

19、。作法 利用公式（11.36）得行為與認知的差異為T1，行為與安慰丸的差異為T2，認知與安慰丸的差異為T3：第三節 因子效果的分析（10）當使用Bonferroni，將T1、T2、T3和2.57比，結果發現T1無法拒絕虛無假設，其餘兩個可以。57.010110108.188455.411T79.510110108.188775.412T21.510110108.18877453T第三節 因子效果的分析（11）利用Tukey進行檢定：查附表A，q(0.95,3,24)=3.53，Q2和Q3則超過臨界值，可以拒絕虛無假設。81.025208.1882455.411Q19.825208.188277

20、5.412Q38.725208.188277453Q第三節 因子效果的分析（12）利用Scheff檢定：自由度為2和24的F分佈的0.05臨界值F0.05/2=3.40。F2和F3超過，可以拒絕虛無假設。163.010110108.188)13()455.41(21F752.1610110108.188)13()775.41(22F611.1310110108.188)13()7745(23F第三節 因子效果的分析（13）本例中Q=T ，若要比較三者的統計檢定力，必須將Tukey的臨界值3.53/2.50。Scheff的臨界值為 。由於Tukey的臨界值2.50小於Bonferroni的臨界值

21、2.57，又小於Scheff的臨界值2.61，因此本例中Tukey檢定最為有效，其次Bonferroni，再其次為Scheff。2261.240.3)13(cS第三節 因子效果的分析（14）有交互作用有交互作用 如果發現交互作用達到顯著差異，接著要問：這個顯著差異是否因為量尺的特性造成？如果將量尺加以改變，例如開跟號、對數轉換，倒數轉換等，就會使得交互作用消失，就代表交互作用並無意義。此時就可視為無交互作用。0102030405060B 1B 202468B 1B 2第三節 因子效果的分析（15）如果經過轉換之後，仍然存在交互作用，接下來就要問：這個交互作用有實際價值嗎？經過這兩個問題之後，仍

22、然有交互作用，就可以針對某些細格平均數進行差異的區間估計或假設檢定。第三節 因子效果的分析（16）若要針對所有細格平均數進行兩兩比較，可用Tukey方法。第jk 組和第jk組平均數差異mjk-mjk的家族（1-a）100%信賴區間是 ，其中如果樣本中求得的超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。)11(nnMSQYYwkjjk)1(,;121nJKJKqQa2)11()(nnMSYYQwkjjkkjjkmm第三節 因子效果的分析（17）例子4 假設例子2中的交互作用是重要的，以Tukey方法兩兩檢定這6個細格母體平均數的差異是否等於0。作法 查附表A，q(0.95,6,24)=4.37。計算之Q超

23、過4.37時，才能拒絕虛無假設。即 37.425/08.1882kjjkYY第三節 因子效果的分析（18）因此 。當兩組的樣本平均數的差異超過26.80時，才拒絕虛無假設。80.26kjjkYY第四節 無重複試驗（1）若每個細格只有一個樣本，MSw為0，就不能當作F檢定的分母。為了要解決這個問題，就要再找一個均方來當作分母。交互作用是最佳的選擇。如果可以宣稱兩個因子不會有交互作用，表4中交互作用的期望值就是s2，因此就可當作F檢定的分母。第四節 無重複試驗（2）結構模式 Yjk=m+aj+bk+ejk，其中 平方和的分割 SST=SSA+SSB+SSe，其中JjKkkj110ba KkJjjk

24、TYYSS112)(JjjAYYKSS12)(KkkBYYJSS12)(KkJjkjjkeYYYYSS112)(來源 平方和 自由度 均方 F 均方期望值 A JjjYYK12)(J-1 AAdfSS eAMSMS 1122JKJjjas B KkkYYJ12)(K-1 BBdfSS eBMSMS 122KJkbs 誤差error KkJjkjjkYYYY112)(J1)(K1)eedfSS s2 合計 KkJjjkYY112)(N-1 第四節 無重複試驗（3）例子5 有位便利商店的行銷主管，想瞭解貨品陳架的高度和位置兩個因子對銷售量的影響。高度 低 中 高 位 前面 35 95 60 置 後

25、面 30 90 50 第四節 無重複試驗（4）高度的p值小於0.05，故拒絕虛無假設。應有理論支持位置和高度不會產生交互作用，否則不宜貿然使用這種無重複試驗的設計方式。來源 平方和 自由度 均方 F p 位置 66.67 1 66.67 16.00 0.057 高度 3675.00 2 1837.50 441.00 0.002 誤差 8.33 2 4.17 合計 3750 5 第四節 無重複試驗（5）一因子重複測量實驗設計一因子重複測量實驗設計 在實驗設計裡，有的時候，為了節省受試者，所以讓每個受試者重複經歷每一個實驗處理，即重複測量（repeated measure）。假設有三種料理，中國、

26、日本、和法國料理。找來10位評審，每位評審均先後品嚐了這三種料理，並評定分數。這是一個典型的單因子重複測量的實驗設計。數字越大表示越受喜愛。評審 中國料理 日本料理 法國料理 A 85 65 80 B 55 60 75 C 50 45 50 D 65 60 75 E 85 80 75 F 85 65 85 G 75 70 75 H 90 55 70 I 85 60 70 J 65 60 75 第四節 無重複試驗（6）上表可視為有兩個因子：評審和料理。評審有10個水準，屬於受試者間（between-subject）的設計，因為每個評審只能出現一次。料理有3個水準，屬於受試者內（within-su

27、bject）的設計，因為每個受試者（評審）均歷經3種料理。上表每個細格內的資料點也只有1個。因此屬於單因子重複測量的實驗設計，但可當作二因子變異數分析：無重複試驗來進行分析。第四節 無重複試驗（7）料理的p值小於0.05，可以拒絕虛無假設，即三種料理受歡迎的程度也不同。在此不能對受試者間的因子（評審）進行F檢定，因為誤差項的均方不能當作它的分母。來源 平方和 自由度 均方 F p 評審 2296.67 9 255.19 料理 886.67 2 443.33 7.50 0.004 誤差 1063.33 18 59.07 合計 4246.67 29 第五節 多因子設計（1）二因子變異數分析可以類推

28、至更多因子的變異數分析。以三因子的設計而言，以心理治療為例，除了治療時間、治療方法兩個因子外，可以再有第三個因子，如受試者的原先症狀嚴重程度（分為輕度、中度、重度）。治療時間有兩個類別，治療方法有三個類別，症狀嚴重度有三個類別，總共形成18（=2 3 3）個細格，又稱233的實驗設計。第五節 多因子設計（2）結構模式 Yijkl=m+aj+bk+gl+abjk+agjl+bgkl+abgjkl+eijkl 這個模式也假設：eijkl是常態分佈，平均數為0，變異數為s2。誤差之間是獨立的。第五節 多因子設計（3）平方和的分割 SST=SSb+SSw SSb=SSA+SSB+SSC+SSAB+SS

29、AC+SSBC+SSABC 來 源 平 方 和 自 由 度 均 方 F 均 方 期 望 值 A S SA J-1 AAdfSS eAMSMS 1122JnKLJjjas B S SB K-1 BBdfSS eBMSMS 1122KnJLKkkbs C S SC L-1 CCdfSS eCMSMS 1122LnJKLlks A B S SA B (J-1)(K-1)ABABdfSS eABMSMS)1)(1(1122 KJnLJjKkjkabs A C S SA C (J-1)(L-1)ACACdfSS eACMSMS)1)(1(1122 LJnKJjLljlags B C S SB C (K-1)(L-1)BCBCdfSS eBCMSMS)1)(1(1122 LKnJKkLlklbgs A B C S SA B C (J-1)(K-1)(L-1)ABCABCdfSS eABCMSMS)1)(1)(1(11122 LKJnJjKkLljklabgs 組 內 S Sw J K L(n-1)wwdfSS 2s 合 計 SST N-1