多属性效用理论课件.ppt
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- 属性 效用 理论 课件
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1、决策理论与方法决策理论与方法Decision theory and method决策理论与方法决策理论与方法第第8章多属性效用理论章多属性效用理论2 2主要内容主要内容l 1、优先序、优先序l 2、多属性价值函数、多属性价值函数l 3、多属性效用函数、多属性效用函数3 38.1 优先序优先序l 1.优先关系l ab(即aPb)读作“a优于b”(a is preferred to b)。:严格序(传递性、非对称性)l a b(即aRb)“a不劣于b”。:弱序(连通性、传递性和一致性)l ab(即aIb)“a无差别于b”(I:indifference)。:无差异(传递性、对称性和自反性)2.二元关
2、系的性质二元关系的性质l 令令R是定义在方案集是定义在方案集A上的二元关系,上的二元关系,x,y,z为行动集中为行动集中的任何行动则的任何行动则:(1)R在在A上是连通的上是连通的,当仅当对任何,当仅当对任何x,yA,xRy或者或者yRx,或者两者同时成立或者两者同时成立(2)R在在A上是传递的上是传递的,当且仅当对任何,当且仅当对任何x,y,z A,若若xRy,且,且yRz,则则xRz。(3)R在在A上是自反的上是自反的,当且仅当对所有,当且仅当对所有x A,有,有xRx。(4)R在在A上是非自反的上是非自反的,当且仅当对所有的,当且仅当对所有的x A,xRx不成立。不成立。(5)R在在A上
3、是负向传递的上是负向传递的,当且仅当对任何,当且仅当对任何x,y,z A,若非,若非xRy且非且非yRz则非则非xRz。2.二元关系的性质二元关系的性质(6)R在在A上是拟传递的上是拟传递的,当且仅当对任何,当且仅当对任何x,y,z A,若,若(xRy且非且非yRx)且()且(yRz且非且非zRy),则(),则(xRz且非且非zRx)。)。(7)R在在A上是对称的,上是对称的,当且仅当对当且仅当对A中的任何中的任何x,y A若若xRy则则yRx。(8)R在在A上是非对称的上是非对称的,当且仅当对,当且仅当对A中任何中任何x,y若若xRy,则必,则必有非有非yRz(9)R在在A上是反对称的上是反
4、对称的,当且仅当对,当且仅当对A中任何中任何x,y,若,若xRy且且yRx,则必有,则必有x=y。(10)R在在A上是非循环的上是非循环的,当且仅当,当且仅当A中不存在中不存在x1,x2xn,使使x1 Rx2,且,且x2Rx3xn-1Rxn且且xnRx1。或者。或者R在在A上非循环的,当且上非循环的,当且仅当对仅当对A中任何中任何x1,x2xn,x1Rx2且且x2Rx3且且且且xn-1Rxn推不出推不出xnRx1二元关系的性质二元关系的性质l 有传递性的二元关系才能作为次序关系,加上其它性质有传递性的二元关系才能作为次序关系,加上其它性质就能构成各种次序关系,几种常见的次序关系为:就能构成各种
5、次序关系,几种常见的次序关系为:(1)拟序拟序:具有传递性和自反性的二元关系;:具有传递性和自反性的二元关系;(2)弱序弱序:具有传递性,自反性和连通性;:具有传递性,自反性和连通性;(3)偏序偏序:具有传递性自反性和反对自反性的二元关系;:具有传递性自反性和反对自反性的二元关系;(4)线性序线性序:传递性、自反性、反对称性和连通性的二元关系;:传递性、自反性、反对称性和连通性的二元关系;(5)严格偏序严格偏序:传递且非自反的二元关系;:传递且非自反的二元关系;(6)严格序严格序(强序)传递、连通、非自反的二元关系。(强序)传递、连通、非自反的二元关系。传递关系严格偏序严格序预序(拟序)(自反
6、的)偏序弱 序线性序非自反性连通性自反性反对称性连通性反对称性连通性各次序之间的关系二元关系的性质二元关系的性质88.2 多属性价值函数多属性价值函数 多属性效用函数是单属性效用理论的推广,多属性效用函数是单属性效用理论的推广,在在确定情况下的效用理论所定义的函数通常成为价值确定情况下的效用理论所定义的函数通常成为价值函数函数,而在不确定的情况下通常称为效用函数,我,而在不确定的情况下通常称为效用函数,我们主要讨论在确定情况下的效用理论们主要讨论在确定情况下的效用理论多属性价值多属性价值函数函数。1.无差异类定义8.1:无差异类任何对象aA的无差异类I(a)是A中所有与a无差异的对象的结合,即
7、:无差异类I(a)有如下性质:()I abA ba(1)();(2)()();(3)()()()();(4)()(),.aI aabI aI bI aI bI aI babcI adI bcd 由无差异关系自反性,只要与有公共的元素则若则且有8.2.18.2.1基本概念基本概念在购买专门用于收听音乐的调频收音机时,通常只有两个重要的因素,一个是价格x,一个是信噪比y。几乎所有人都会按以下规则购买这种收音机:(1)对任意给定的价格,信噪比高比较好;(2)对任意给定的信噪比,价格低的比较好。这就是说,对决策人而言,对价格的偏好独立于对信噪比的偏好,反之亦然。这就是偏好独立(preferential
8、 indepenence)2.偏好独立偏好独立定义定义8.2:偏好独立与相互偏好独立:偏好独立与相互偏好独立,(,)(,)(,)(,)x xXaYx ax aYYxXXYx ,当设、为属性,若则称属性 偏好独立于有属性有。,(,)(,)(,)(,)y yYXyyXyyYX 则称属性 偏好独立于当有有属性若。12 相互偏好独立:相互偏好独立:如果有属性如果有属性X偏好独立于属性偏好独立于属性Y,又有,又有属性属性Y偏好独立于属性偏好独立于属性X,则称,则称属性属性X与属性与属性Y相互偏好相互偏好独立独立(mutual preferential independence)。注:注:偏好独立并不总是
9、成立的。偏好独立并不总是成立的。在很多的时候在很多的时候偏好是相关的。因此,在用偏好独立概念进行分偏好是相关的。因此,在用偏好独立概念进行分析时,首先要验证是否偏好独立。析时,首先要验证是否偏好独立。菜和汤的组合不满足相互偏好独立。菜和汤的组合不满足相互偏好独立。例例当偏好独立性成立时,可以定义单个属性的当偏好独立性成立时,可以定义单个属性的边际偏好序边际偏好序(marginal preference order);属性);属性X偏好独立于属性偏好独立于属性Y时,在属性时,在属性X上的边际偏好序为:上的边际偏好序为:同样的,属性同样的,属性Y偏好独立与属性偏好独立与属性X时,可以定义在属性时,
10、可以定义在属性Y上的边际偏好序为:上的边际偏好序为:(,)(,)xxxaYx axa(,)(,)YyyXyy 需要注意的是:需要注意的是:(1)在偏好独立性不成立时,不能定义边际偏好序。在偏好独立性不成立时,不能定义边际偏好序。(2)当)当 是定义在是定义在XY上的弱序时,上的弱序时,X 与与 Y 也是弱也是弱序。序。课堂讨论1 16 6定理定理8.1:设设 是定义在方案集是定义在方案集A上的弱序,上的弱序,A中只有可数中只有可数个无差异类,则存在实值的序数价值函数个无差异类,则存在实值的序数价值函数v,更准确的,更准确的,,()()a bAa bv av b,()()()()a bAabv
11、av babv av b8.2.28.2.2两个属性的价值函数两个属性的价值函数1.存在性定理存在性定理定理定理8.2 设设v是与是与A上的弱序上的弱序 一致,且满足式一致,且满足式(8.5)和和(8.5”)的实值序数价值函数,的实值序数价值函数,w是是v的严格单调递的严格单调递增的实值变换增的实值变换(即保序变换即保序变换),即:,即:有则且,)(8.6)()(8.6)()(21212121Avvvwvwvvvwvwbaa b)(8.6)()(baww)()(vww式中,也是实值的序数价值函数。该定理中方案的属性可以是任意多个;而且价值函数该定理中方案的属性可以是任意多个;而且价值函数v并不
12、惟一,并不惟一,v的任何严格单调递增变换仍是价值函数。的任何严格单调递增变换仍是价值函数。方案集和属性值集方案集和属性值集A为连续型时价值函数的存在性定理如下:为连续型时价值函数的存在性定理如下:定理定理8.3:,是是A上的弱序,若上的弱序,若则存在定义在则存在定义在A上的实值函数上的实值函数v 满足:满足:定理的证明参见文献(定理的证明参见文献(Fishburn 1970)或者()或者(Luce 1965)()()()()abv av babv av b(1),(2),0,1(1)a bA aba ba b cA a c bcab 则nAR条件条件为单调性为单调性(Monotonicity)
13、,即优势原则即优势原则(dominance)。它指出:如至少有一属性值增加,。它指出:如至少有一属性值增加,而任何其他属性的值都不降低,则优先也提高。如而任何其他属性的值都不降低,则优先也提高。如果方案集果方案集A为有界,这个条件可认为是合理的。为有界,这个条件可认为是合理的。条件条件为偏好空间的连续性为偏好空间的连续性(continuity)(continuity),即阿,即阿基米德性基米德性(Archimedean)(Archimedean)。该条件对于建立在函。该条件对于建立在函数数v v的存在性是必要的。这个条件确认:如果的存在性是必要的。这个条件确认:如果c c按按弱序弱序 处在处在
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