林寿福老师课件.ppt

1、2011/2/171背景我國我國PISA評量成績評量成績(國際排名國際排名)閱讀科學數學200616412009231252012？以數學素養(Mathematical Literacy)為核心的評量成績退步退步2PISA 2000 PISA 2003PISA 2006 PISA 2009數學排名 暨平均分數1.日本(557)1.香港(550)1.臺灣(549)1.上海(600)2.韓國(547)2.芬蘭(544)2.芬蘭(548)2.新加坡(562)3.紐西蘭(537)3.韓國(542)3.香港(547)3.香港(555)4.芬蘭(536)4.荷蘭(538)3.韓國(547)4.韓國(546

2、)5.澳大利亞(533)5.列支敦士登(536)5.荷蘭(531)5.臺灣(543)5.加拿大(533)6.日本(534)6.瑞士(530)6.芬蘭(541)7.瑞士(529)7.加拿大(533)7.加拿大(527)7.列支敦士登(536)7.英國(529)8.比利時(529)8.澳門(525)8.瑞士(534)9.比利時(520)9.澳門(527)8.列支敦士登(525)9.日本(529)10.法國(517)9.瑞士(527)10日本(523)10.加拿大(527)2011/2/173進入主題先來素養素養一下百分比Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克。在Zedland國家是

3、需要外加5%的稅。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折，然後再算5%的稅。請問這兩種做法有何差異？現實問題的體驗：打折與加稅 消費者購買東西時 先打折，再加稅 先加稅，再打折 消費者付的錢一樣（數學結果相同）對商家呢？對政府稅捐機關呢？現實問題的體驗：聯合壟斷1 某島國只有兩家石油公司，分別是台大石油公司與中華石油公司，假設這兩家石油公司不暗中勾結聯合壟斷，而各行其市，則台大石油每年可賺 2 千億，中華石油可賺 1 千億。假設台大石油跟中華石油暗中勾結聯合壟斷，哄抬油價，每年可共同獲利 7 千億。問：若兩家石油公司暗中勾結，如何公平的瓜分這 7 千億

4、？(題目來源：作者整合Nash,J.F.1951與 Shapley L.S.兩篇文章後杜撰本題情境，若與真實世界雷同，純屬巧合。)現實問題的體驗：聯合壟斷2 答案 1：均分最公平。兩家公司各得 7/2 千億。答案 2：台大石油的獲利能力是中華石油的 2 倍，按照獲利能力分配才公平，所以台大石油應得 14/3 千億，中華石油應得 7/3 千億。答案 3：兩家石油公司勾結壟斷之後共同多出來的盈餘(邊際貢獻)是 7214 千億，所以兩家均分這多得的 4 千億才公平。因此台大石油得到 4 千億 中華石油得到 3 千億 現實問題的體驗：聯合壟斷3 答案 4：在相對於數學模型外部的真實世界，兩家石油公司可

5、採共識分錢（目前美國的公共花費問題，例如水費、電費、電話費、高速公路過路費，大都 採用此方法。答案 5：兩家公司也可採談判解決的模式（談判結局必須滿足下列條件才不算輸，同樣是在數學模型內與數學模型外的真實世界建模）。現實問題的體驗：聯合壟斷4 數學正確不代表就是真的可以解決現數學正確不代表就是真的可以解決現實生活上的問題！實生活上的問題！什麼是數學素養？了解與見解 了解：對一件事情的明白。見解：經批判、反思後進一步提出個人的看法。不是知道多少數學，而是能夠拿知道的數學處理資訊什麼是數學素養？OECD派 PISA定義的數學素養：個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問題、使用數學及詮釋

6、數學的能力。這素養包括了數學推理及使用應用數學概念、程序、事實、工具來解釋、描述及預測現象。它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色，能夠進行有根據的評斷，並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動，以成為一個有積極的、關懷的、以及反思的國民。什麼是數學素養？美國派 NRC定義的數學素養 概念的瞭解(Conceptual understanding)程序的流暢(Procedural fluency)策略的運用(Strategic competence)適當的推理(Adaptive reasoning)建設性的意向(Productive disposition)數學素養的評量以PISA為例 P

7、ISA數學素養評量的目的 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準。提供政策制定者、教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息。14評量對象：PISA評量年輕人在未來參與社會時，是否具備所需的基礎知識和技能?學生能在真實情境中應用習得的知能之程度。PISA 稱之為素養平時考段考 面對真實生活問題挑戰的能力?學以致用完成義務教育十五歲學生 成就評量評量學校課程的精熟度PISA評量自2000年開始，每三年調查一次。PISA評量包括：閱讀素養、數學素養和科學素養。每次以一個領域為主 進 行 深 度 的 調查，另二個領域為輔。152000-閱讀2003-數學（問題解決）2

8、006-科學臺灣第一次參加2009-閱讀新增電腦化閱讀評量2012-數學（問題解決）電腦化閱讀新增電腦化數學、問題解決2015 科學預計 全面電腦化PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識(Mathematical content knowledge)情境問題解決三步驟及內蘊的數學力(Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities)情境與脈絡(Contexts)數學內容知識(Mathematical content Knowledge)變化和關係(Change and relationships)空間

9、和形(Space and shape)量(Quantity)不確定性（Uncertainty）從學生面對的數學物件關係來思考從學生面對的數學物件關係來思考涵蓋的數學內容包括 方程式、代數、坐標系、平面及立體幾何、測量、數與單位、比與比例、估測、資料收集和整理、取樣及樣本空間、機率PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識(Mathematical content knowledge)情境問題解決三步驟及內蘊的數學力(Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities)情境與脈絡(Contexts)情境問題解

10、決的三步驟 將情境問題轉化成數學問題(Formulating situations mathematically)使用數學概念、事實、步驟、和推理(Employing mathematical concepts,facts,procedures and reasoning)詮釋、應用及評鑑數學結果(Interpreting,applying,and evaluating mathematical outcomes)PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識(Mathematical content knowledge)情境問題解決三步驟及內蘊的數學力(Mathematical proces

11、ses and the underlying mathematical capabilities)情境與脈絡(Contexts)情境問題解決內蘊的數學力1.情境與數學間的溝通(Communication)2.問題數學化(Mathematising)3.使用及轉換表徵(Representation)4.推理和論述(Reasoning and argument)5.發展策略(Devising strategies)6.使用符號、形式及術語與運算(Using symbolic,formal,and technical language and operations7.使用數學輔助工具(Using m

12、athematical tools)1.情境與數學間的溝通 溝通：主要強調對情境脈絡的理解 辨識出脈絡裡存在的問題及挑戰。理解的歷程包含閱讀、解碼、理解各種呈現方式的資訊（如敘述、圖表、影像、及動畫）用來形成一個關於情境脈絡問題的心智模式。進一步形成數學問題2.問題數學化 問題數學化：主要將真實情境脈絡的問題轉化成一個數學形式。將情境結構化或概念化 找出重要的變因 澄清與定義情境中的假設、變數、關係、和限制。給出數學模式3.使用及轉換表徵 使用及轉換表徵：用數學表徵呈現真實情境脈絡。包含方程式、圖表、圖形、文字敘述、具體物，及各種表徵之間的轉化。4.推理和論述 推理和論述：主要應用邏輯思考能力

13、判斷以某種數學表徵呈現情境脈絡的合理性。包含解釋、辯駁或檢證所形成的數學表徵。5.發展策略 發展策略：發展及決定解決問題的策略。辨別或發展或給出數學形式的答案6.使用符號、形式及術語與運算 使用符號、形式、術語與運算：主要將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用辨識、符號、圖表、模型。並同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間的關係。7.使用數學輔助工具 在特定情況之下，具備使用數學工具（如測量工具、繪圖工具、Excel報表等）來辨識情境脈絡裡的數學結構或者描繪出數學關係。PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識(Mathematical content knowledge)情境問題解決

14、三步驟及內蘊的數學力(Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities)情境與脈絡(Contexts)試題的情境脈絡應該是學生世界中的一部分，且情境脈絡應該包羅萬象。學生個人生活的(Personal)教育/職業的(Occupational)社會性的(Societal)科學性的(Scientific)PISA的思考是：的思考是：15歲小孩的世界歲小孩的世界情境與脈絡：四面向在不同情境脈絡中，辨識、做及運用數學的能力。藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力。31情境脈絡個人：購物、

15、飲食職業：試算表使用社會：選舉、經濟科學：醫學、天氣內容領域改變與關係：函數、代數、方程式空間與形狀：座標系統、幾何測量數量：數與單位、四則計算、百分比不確定性：抽樣、機率、資料變異性溝通建模表徵推論策略發展符號的使用與運算工具使用真實世界數學世界形成模式使用數學詮釋答案確認答案情境脈絡裡的問題情境脈絡裡的問題數學問題數學問題情境脈絡裡的答案情境脈絡裡的答案數學解答數學解答情境與數學間的溝通問題數學化使用及轉換表徵推理及論述發展策略使用符號、形式及術語與運算使用數學輔助工具數學力數學力數學素養的展現（PISA)尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋

16、：線條）判斷校園造型之空間圖形，是否可以一筆畫完成：圖(一)圖(一)圖(二)圖(二)校園景物取境圖(三)圖(三)圖(四)圖(四)網絡12345678910111213141516171819奇點數2410142086641002242222偶點數456323124019060245327能否一筆畫？能否否否能能否否否否否能能能否能能能能督學巡堂問題（類中國郵差問題）請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度？（每間教室長約8.5公尺）督學巡堂圖?(泳池)?(電梯)?(川堂)?(特教)?2.5?2.5?2.5?4?4

17、?4?6.5?22?7?7.5?2.5?2.5?2.5?4?H?F?J?I?E?D?C?B?A?G校門口校門口 為校長設計巡堂圖請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？請你幫校長設計一條巡堂的最短路徑圖，並請算出最短的路徑長度大約需多少間教室的長度？路徑參考圖如下，圖中的數字單位是一間教室的長度（約8.5公尺）。校長巡堂圖數學內容數學內容知識知識情境脈絡情境脈絡變化和關係變化和關係Change?and?relationship空間與形空間與形Space?and?shape?量量Quantity不確定性不確定性Uncertainty1.?個人的個人的2.教育教育

18、/職業的職業的3.社會的社會的4.科學的科學的數學素養評量雙向細目表（一）數學素養評量雙向細目表（一）解題三步驟解題三步驟?數學力數學力將情境問題將情境問題轉化成數學轉化成數學問題問題?(F)使用數學概念、使用數學概念、事實、步驟、事實、步驟、和推理解題和推理解題?(E)?詮釋、應用詮釋、應用及評鑑數學及評鑑數學結果結果(I)?1.情境與數學間的溝情境與數學間的溝通通2.問題數學化問題數學化3.使用及轉換表徵使用及轉換表徵4.推理及論述推理及論述5.發展策略發展策略6.使用符號、形式及使用符號、形式及術語與運算術語與運算7.使用數學輔助工具使用數學輔助工具數學素養評量雙向細目表數學素養評量雙向

19、細目表(二）二）試題設計的要項 試題(如樣本試題)題目(組)名稱 各問題共用之脈絡情境（圖、文）問題X及其脈絡情境（圖、文）與提問 問題X的計分說明 試題內容的說明題旨、數學內容、情境脈絡、解題步驟、數學力問題與選項設計、試題來源、命題者資訊素養水準的描述45數學素養 水準六(669分以上)在此水準的學生能夠進高階的學思考和推，他們能藉由符號、學運算、關係的察和解，也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策。提供跨國間教育政策與學生表現的比較了解臺灣教育成效的趨勢提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊學校與學生方面：提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識了解與學生學習成果有關的學校和家庭資

20、源變項46PISA 模擬試卷下載網址：http:/pisa.nutn.edu.tw 最新消息 PISA模擬試卷下載PISA 電腦化樣本試題範例網址：http:/pisa.nutn.edu.tw/sample_era_tw.htm 國立臺灣師範大學 林福來教授 主編臺灣2011數學素養評量樣本試題（上、下）國立彰化師範大學 張惠博校長&林陳涌教授 主編科學素養評量47一.PISA對於數學素養之定義每個國家的國民都會碰到無數的有關數量、空間、機率或者其他數學概念的相關課題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。現在國民都會碰到全球暖

21、化與溫室效應、人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等。二.PISA數學素養的理論基礎數學化(mathematising)有五個重要的特徵：1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要的數學概念重新組織問題。3.逐漸調整現實(trimming away the reality)，轉化成數學語言4.進行問題解決5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。學生常犯錯誤不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼。沒有仔細閱讀題目。

22、不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點的作答方式。粗心、計算錯誤。主觀的陳述自己對問題的看法，忘記或忽略使用題目中的資訊。60學生常犯錯誤比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數值。未注意單位不同或忘記換算。未注意xy座標軸的單位，及其代表的意義。沒有作答。l這些錯誤有時是可以避免的，若能避免則可讓具有能力的學生獲得應有的分數，而不會低估了學生的成績。61學生作答常犯錯誤示例未能答對的原因M148Q02M148Q02 大陸面積大陸面積M159Q01M159Q01 賽車速度賽車速度M159Q04 M159Q04 賽車速度賽車速度M179Q01M179Q01 搶劫搶劫國際答對率0.190.670.2

23、80.26(0.30)(0.30)此次測驗答對率0.180.570.410.33 1.課程未包括、已刪除或只有粗淺的介紹。課程未包括、已刪除或只有粗淺的介紹。論證式的作答 概數 比例尺2.有能力，但無法答對，有能力，但無法答對，?Find?out?範例範例?CHECK?註：註：綠色綠色為為PISA?2000的國際答對率的國際答對率；藍色藍色為為PISA?2003的國際答對率的國際答對率常見的學生作答方式-1將不規則面積補成 1個或多個 長方形公里孟席斯山南極南極洲公里孟席斯山南極南極洲常見的學生作答方式-2公里孟席斯山南極南極洲全部的面積（2個長方形相加）2個三角形 1個梯形答題統計1.3%1

24、4.4%9.2%2.0%9.2%2.0%0.7%0%5.2%1.3%0%54.9%0.0%10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%1211121314212223242599M148Q02M148Q02 大陸面積大陸面積學生常犯的錯誤1.計算錯誤、比例尺用錯或未使用比例尺。14400km平方，以一個矩形把整個南極洲圍住，再計算矩形的面積就大約是整個南極洲的面積。將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形，用尺量出大約長度再用比例尺計算【2(5+2)/2+(5+2)/2+2*2】*400=5000。先畫一個長方形，再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘述，沒有計算過程，也沒使用比例尺

25、）。2.沒有作答。作答建議比例尺的問題，在真實生活中經常使用，在PISA數學試題也很經常出現。此類型試題的答案通常是一個範圍或區間，因此，作答時建議使用測量工具使用測量工具，例如：尺。，例如：尺。要記得將計算結果依比例尺要記得將計算結果依比例尺轉化轉化成實際值。另外，因為成實際值。另外，因為轉化轉化後的實後的實際值通常比較大，建議使用計算機以避免計算錯誤。際值通常比較大，建議使用計算機以避免計算錯誤。正確使用比例尺。比例尺並不是都以正確使用比例尺。比例尺並不是都以1 1公分：公分：5050公里（或公里（或100100公里）公里）的換算方式。在本例題中的比例尺的換算方式。在本例題中的比例尺比較特

26、殊比較特殊是是0.70.7公分：公分：200200公里，公里，換算時要特別注意。換算時要特別注意。儘量作答。多數開放性問題雖然都會要求計算過程，但儘量作答。多數開放性問題雖然都會要求計算過程，但PISAPISA數學試數學試題的題的評分規準評分規準有明確提及，答案對但沒有計算過程，仍可獲得滿分有明確提及，答案對但沒有計算過程，仍可獲得滿分。答題統計17.6%57.1%12.7%5.4%7.3%0.0%10.0%20.0%30.0%40.0%50.0%60.0%ABCD9M159Q01M159Q01賽車速度賽車速度正確答案正確答案學生常犯的錯誤1.誤認為賽道一開始一定是最長且平直的地方。(17.6

27、%選A)2.誤認為減速最少的就是最長且平直的地方。(12.7%選C)3.不清楚賽車在直線區(1.5km2.3km)，不但可以加速，還可維持高速行駛。作答建議：要能將速度變化圖與可能的賽車跑道作連結和對照。答題統計19.5%41.0%8.8%2.9%17.6%2.0%8.3%0.0%5.0%10.0%15.0%20.0%25.0%30.0%35.0%40.0%45.0%ABCDE89M159Q04M159Q04 賽車速度賽車速度 註：註：8學生圈選二個以上選項。學生圈選二個以上選項。正確答案正確答案學生常犯的錯誤1.直接將題目中的速度變化圖當成軌道圖(17.6%選 E)。2.錯誤的認知。誤認為速

28、度增、減變化的地方軌道也要有凹、凸的情況(19.5%選 A)。3.未考慮轉彎處(速度遞減後又增加)與直線區(加速並維持高速行駛)的相對位置(選B 或D)。作答建議：要仔細比對轉彎處和直線區與速度變化圖之間的關係。注意：注意：以下代號中，答案否包括所有認為該詮釋是合的的子，而答案是則包括所有認為該詮釋是合的的子。請要單憑是或否計分，而應看看答案解釋是否合。只有只有討論搶劫案的實際增加數字，但沒有將它與總數比較。不合理。搶劫案數目大約增加了10宗。用巨幅一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確。搶劫案數目只大約增加了10宗，我不會稱之為巨幅。不合理，須顯示整個圖表。我不認為那是合理的詮釋，因為如果

29、顯示全圖的話，便能看到搶劫案的數目只是輕微上升。有點不合理。由508至515是有增加，但不是巨幅的增加。主播不應用巨幅這個字眼。不，這是不合理的。主播（記者）經常喜歡誇大。是，搶劫案數字差不多雙倍增加。我們不能說增加是否巨幅。若1997年的搶劫案數目與1998年的相同，那麼我們可以說1999年有巨幅增加。不，不合理。計算百分比，約只有2%的增加。答題統計14.1%12.2%16.6%5.9%16.1%0.5%9.3%12.7%2.9%9.8%0.0%2.0%4.0%6.0%8.0%10.0%12.0%14.0%16.0%18.0%1234111221222399M179Q01M179Q01 搶

30、劫搶劫學生常犯的錯誤1.主觀的陳述自己對問題的看法，忘記或忽略使用題目中圖表提供的資訊。是，對我來說，超過一個都算多。是，現在科技越來越發達。是，因為這幾年來經濟不景氣，有人為了生活做出做壞的打算，所以才會搶劫。合理，因為每一年的治安越來越亂了!。2.只注意到題目中的部分資訊，未能掌握所有（或關鍵）的資訊。當然合理，圖表上升那麼多怎麼不合理呢！因為犯罪的長條圖，是越長條，數量越多。是，因為圖表表達得很清楚，1999比1998確實多很多。否，並沒有巨幅上升。作答建議利用圖形或表格的資料為依據進行推論、獲得結果，是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一。這類型的試題在題目中一定有請依據上圖或

31、請根據表格中的數據字句，提示學生應以圖表的資料做為作答的依據。作答時不要以主觀的意識來回答問題，請務必使用圖、表中的資不要以主觀的意識來回答問題，請務必使用圖、表中的資訊，。訊，。注意圖形注意圖形(x(x軸、軸、y y軸軸)或表格或表格(公里小時或公尺秒公里小時或公尺秒)中所中所使用使用的單位，才不會遺漏資訊。的單位，才不會遺漏資訊。問題問題 1 1：廢棄物：廢棄物 M505Q01-0 1 9M505Q01-0 1 9為了做環境的回家功課作業，學生收集了幾種廢棄物所需分解時間的資料：廢棄物種類廢棄物種類 分解時間分解時間香蕉皮 13年橘子皮 13年瓦楞紙箱 0.5年口香糖 2025年報紙 幾天

32、塑膠杯 超過100年有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果。寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結果。評分你無法驗證這些資。因為這是可的。長條圖中長條長度的差會很大。假如用一條長10公分的長條代表塑膠杯，代表瓦楞紙箱的長條就只有0.05公分。因為表內的字只是近似值。塑膠杯長條的長無法確定。你能做出一個表示1-3的長條或者一個表示20-25的長條。用插圖說明會比較好。數學素養評量的應試注意事項91一、使用輔助工具1.善用題本提供的公式題本（封面內頁）有提供部分公式。例如體積、面積的公式、圓周率（22/7）。2.運用測量工具與計算機PISA評量可以使用各種測量工具解決問題，例如長度、面積等的計算與估測。因此，作答時建議使用測量工具（例如：直尺、圓規與量角器），可以提高測量的準確性。此外，遇到大數或比較繁複的計算，可以使用計算機作為輔助，以避免計算錯誤或誤差過大。92