一阶线性微分方程.课件.ppt

1、第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一一 一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法二二 一阶线性微分方程的简单应用一阶线性微分方程的简单应用三三 小结与思考题小结与思考题一一 一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法1.1.一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义在微分方程中在微分方程中,若未知函数和未知函数的导数都是若未知函数和未知函数的导数都是一次的一次的,则称其为则称其为一阶线性微分方程一阶线性微分方程.)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,)(0 0 x xQ Q当自由项当自由项上方程称为上方程称为齐次的齐次

2、的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,)(0 0 x xQ Q当当自自由由项项判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：例例1 12 22 23 3x xy yy y )(12sin1)4(xyxdxdy 22)3(xyy )sin()()(1 12 23 3 x xxyxyy y 2xyyy )5(1sin)6(2 xyxy(1)(4)(1)(4)是一阶线性的，是一阶线性的，其余的是非线性的其余的是非线性的.解解:2 2、一阶线性微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法（1 1）线性齐次方程线性齐次方程.0)(yxPdxdy使用分离变量法：使用分离变量法

3、：dxxPCe yCdxxPydxxPdyy)(ln)(ln)(1通通解解两两边边积积分分分分离离变变量量 dxxPCey)(通解公式：通解公式：（2 2）线性非齐次方程）线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 解法：使用常数变易法解法：使用常数变易法通解公式：通解公式：)()()(C Cd dx xe ex xQ Qe ey yd dx xx xP Pd dx xx xP P dxxPCe)(dxexQedxxPdxxP )()()(齐次的齐次的通解通解非齐次非齐次的特解的特解 常数变易法常数变易法:把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.下

4、面用常数变易法求非齐次线性方程的通解下面用常数变易法求非齐次线性方程的通解:将齐次方程的通解中的任意常数将齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数换成未知函数 设设,)(xu具有形如具有形如)()(xQyxPdxdy dxxpexuy)()(的解的解,代入原方程代入原方程,确定确定 便得到原方程的解便得到原方程的解.,)(xu 设设 是方程的解，是方程的解，因为因为 dxxpexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy),()()(xQexudxxP dxxPexQxu)()()(即：即：积分得积分得CdxexQxudxxP )(

5、)()(故一阶线性非齐次微分方程的通解为故一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解因为在通解中令因为在通解中令C=0,C=0,便得到原方程的一个特解为便得到原方程的一个特解为:dxexQeydxxpdxxp)()()(dxxPdxxPeCdxexQ)()()(y结论结论:一阶非齐次线性方程的解等于它所对应一阶非齐次线性方程的解等于它所对应的齐次方程的通解与它本身的一个特解之和的齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.这这是一个很重要的结论是一个很重要的结论,以后可以看到以后可以看到,凡是

6、线性非凡是线性非齐次方程都具有这个特性齐次方程都具有这个特性.常数变易法的常数变易法的实质是实质是:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数3 3、典型例题、典型例题例例2 2.sin的通解的通解求方程求方程x xx xy yx xy y 1 1解解,1)(xxP,sin)(xxxQ C Cd dx xe ex xx xe ed dx xe ex xx xe eC Ce ey yd dx xx xd dx xx xd dx xx xd dx xx xd dx xx x1 11 11 11 11 1sinsin Cdxexxexxlnlns

7、in Cxdxxsin1 .cos1Cxx 例例3 3.1123的通解的通解）（求方程求方程 xyxdxdy解：解：先求对应的齐次方程先求对应的齐次方程012 yxdxdy通解通解分离变量可得：分离变量可得：dxxdyy211 2)1(xCy再用常数变异法求原方程的解再用常数变异法求原方程的解.设设2)1)(xxuy为原方程的解为原方程的解,代入原方程并整理代入原方程并整理,得得1)(xxu两端积分两端积分,得得Cxxxu 221)(所以原方程的通解为所以原方程的通解为:)21()1(22Cxxxy 例例4 4 求方程求方程 满足初满足初始条件始条件 的特解的特解.042)1(22 xxyyx

8、351 xy解解,12)(2 xxxP,14)(22 xxxQ CdxexxedxexxeCeydxxxdxxxdxxxdxxxdxxx12221212221212222221414 Cdxxxxx)1(14112222 Cdxxx22411.341132 Cxx将将 代入上式代入上式,得得 所以所求特解为所以所求特解为:351 xy,2 C)234)(11(32 xxy二二 一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程的应用应用微分方程解决实际问题的步骤应用微分方程解决实际问题的步骤:1)1)分析问题分析问题,设出所求未知函数设出所求未知函数,确定初始条件确定初始条件2)2)建立微分方程。建立微分

9、方程。3)3)确定方程类型确定方程类型,求其通解求其通解.4)4)代入初始条件求特解代入初始条件求特解.例例5 5 一曲线通过原点一曲线通过原点,且曲线上任意一点处切线斜率且曲线上任意一点处切线斜率 为为 ,求曲线方程求曲线方程.yx 2解解:设曲线方程为设曲线方程为:)(xfy 根据导数的几何意义根据导数的几何意义,有有:0220 xyxyyyxdxdy，即即这是一阶非齐次线性微分方程这是一阶非齐次线性微分方程,其中其中,)(1 1 x xp p代入公式代入公式(5)(5)得得:,x xQ Q(x x)2 2)22()2()2(CexeeCdxxeeCdxxeeyxxxxxdxdx 将将 代

10、入通解代入通解,得得 于是所求曲线方程于是所求曲线方程为为:00 xy,2 C)1(2 xeyx例例6 6 如图所示如图所示，平行与平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf解解,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解此微分方程解此微分方程23xyy xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为:).222(32 xxey

11、x三三 小结小结 1.1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 dxxPCey)()()()(CexQeydxxPdxxP （1 1）一般式）一般式0)(yxPdxdy（2 2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式)()(xQyxPdxdy 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycosc

12、ossin2cos .cos2cosyCy 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、xexyysincos ；2 2、0)ln(ln dyyxydxy；3 3、02)6(2 ydxdyxy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy；2 2、.0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1

13、k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系.四、四、求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程,然后求出通解然后求出通解:1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12.六、六、

14、已知微分方程已知微分方程)(xgyy ,其中其中 0,010,2)(xxxg,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy ,满满足条件足条件0)0(y,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程.练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)(；2 2、Cyyx 2lnln2；3 3、2321yCyx .二、二、1 1、15sincos xexy；2 2、113322 xexxy.三、三、)1(022121tmkekmktkkv .四、四、1 1、Cxxy ；2 2、)32(ln32322 xxCyx.五、五、1 1、Cxyx 2)(2；2 2、Cxxy 1sin1；3 3、Cxxyxy 4)2sin(2.六、六、1,)1(210,)1(2)(xeexexyyxx.作 业 习题7-3 1-(2)(4)(5)(6)2(2)(3)5