不可压缩流体动力学基础要点.ppt

1、第七章第七章 不可压缩流体不可压缩流体 动力学基础动力学基础 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 有旋流动有旋流动 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程 以应力表示的粘性流体的运动微分方程式以应力表示的粘性流体的运动微分方程式 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系 纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分 流体流动的初始条件及边界条件流体流动的初始条件及边界条件不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件刚体刚体:流体流体:具有流动性，极易变形。具有流动性，极易变形。移动移动（

2、move）线速度线速度 Vx Vy Vz 转动转动(rotation)角速度角速度x y z 移动移动（move）线速度线速度 Vx Vy Vz 转动转动(rotation)角速度角速度x y z 变形变形（reform）线变形线变形 角变形角变形7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析7.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一一.流体微团的概念流体微团的概念 在连续性介质模型中，在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的可视为只有质量而无体积的“点点”，流体微团则是由流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团

3、。大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。刚体运动刚体运动:移动、转动移动、转动流体运动流体运动:移动、转动、移动、转动、变形变形流体运动方式流体运动方式a.平移b.线变形c.角变形d.转动实际流体的流动是这几种运动方式的组合控制体的选取控制体的选取:边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。xvyvzvE222dzzvdyyvdxxvvvxxxxEx222dzzvdyyvdxxvvvyyyyEy222dzzvdyyvdxxvvvzzzzEz形心处速度：形心处速度：vx,vy,vzE E点处速度：点处速度：二、流体微团上各点速度的表示二、流体微团上各点速度的表示7.

4、1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析各角点处各角点处x x方向速度：方向速度：222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuu222dzzudyyudxxuuuvwE 三三.流体微团运动分析与分解：流体微团运动分析与分解：现以二元流动情形为例进行分析。现以二元流动情形为例进行分析。假设流体在平面运动。于时刻假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选，在流场中任意选取一个方形平面流体微团取一个方形平面流体微团

5、ABCD，轴向边长分别为，轴向边长分别为dx、dy，设顶点，设顶点A坐标为（坐标为（x,y），流速分量为），流速分量为u,v。利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量。各顶点的速度分量。三、流体微团运动的分析与分解三、流体微团运动的分析与分解以平面运动为例以平面运动为例22dyyudxxuu22dyyudxxuu22dyyudxxuu22dyyudxxuu22dyyvdxxvv22dyyvdxxvv22dyyvdxxvv22dyyvdxxvvvu三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)1.1.移动移动22dyyudxxuu

6、22dyyudxxuu22dyyudxxuu22dyyudxxuu22dyyvdxxvv22dyyvdxxvu22dyyvdxxvv22dyyvdxxvvvu 各角点的速度分量中都包各角点的速度分量中都包含含u,vx方向移动速度：方向移动速度：uz方向移动速度：方向移动速度：wy方向移动速度：方向移动速度：vxudtvdtABCDy三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)1.1.移动移动22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy2

7、2dyyvdxxvvyyyyvxv 各角点的速度分量中都包各角点的速度分量中都包含含vx,vyx方向移动速度：方向移动速度：vxz方向移动速度：方向移动速度：vzy方向移动速度：方向移动速度：vyxdtvxdtvyABCDy三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)2.2.线变形运动线变形运动22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D、B和和C间的间的x向向速度分量差速度分量差:ADBCd

8、xxvxdyyvyABCDydtdxxvx2dtdyyvy2xx方向线应变速度：方向线应变速度：z方向方向线应变线应变速度：速度：y方向方向线应变线应变速度：速度：xvxyvyzvzC和和D、B和和A间的间的y向向速度分量差速度分量差:三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvA和和D、B和和C间的间的y向向速度分量

9、差速度分量差:ADBCdxxvydyyvxC和和D、B和和A间的间的x向向速度分量差速度分量差:ABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx结果结果:(1)AD边和边和BC边逆时针旋转微元角度边逆时针旋转微元角度d(2)AB边和边和DC边顺时针旋转微元角度边顺时针旋转微元角度ddtxvdxdtdxxvdyy)2/(2dtyvdydtdyyvdxx)2/(2三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转(续续)22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvyy

10、y22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddxyvxvxydd(1)(1)角变形运动角变形运动角变形角变形角变形速度角变形速度:每秒内一个直角的角度变化量每秒内一个直角的角度变化量)(21)(21yvxvdtddtdxyz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzx三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转(续续)22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxxvvxxx22dyyvdxx

11、vvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyy22dyyvdxxvvyyyyvxvADBCyuxvdd(2)(2)旋转运动旋转运动旋转旋转旋转速度旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值直的微元线段旋转角度的平均值)(21)(21yuxvdtddtdz)(21xvzvzxy)(21zvyvyzxABCDydtdyyvx2dtdxxvy2ddx 图7-2 微团旋转运动分析液体质点运动的基本形式位置平移线变形角变形角变形旋转运动xxuxyyuyzzuzux，uy，uz1()2xzyuuzx1()2yzxuuyz1()2yxz

12、uuxy1()2xzyuuzx1()2yzxuuyz1()2yxzuuxy线变形速率角变形速度旋转角速度四、有旋流动四、有旋流动 无旋流动无旋流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动 流体微团的旋转角速度等于零的流动流体微团的旋转角速度等于零的流动有旋流动有旋流动:无旋流动无旋流动:yuxvxwzuzvyw无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动有旋流动和无旋流动的定义有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团

13、均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动它是无旋流动；在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，

14、脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。无旋流动有旋流动有旋流动有旋流动 一、涡线一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相平行。点的流体微团的角速度的方向相平行。1234涡线的微分方程涡线的微分方程),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx有旋流动有旋流动 二、涡管二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭周线，通在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭周线，通过封闭周线上每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面。过封闭周线上每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面。

15、三、涡束三、涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量四、涡通量 旋转角速度的值与垂直于角速度方旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。dAdJ2AndAJ2有旋流动有旋流动五、速度环量五、速度环量 速度在某一封闭周线上的线积分。速度在某一封闭周线上的线积分。)(dzdydxsdzyx 速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线绕行的绕行的正方向为逆时针方向正方向为逆时针方向

16、。有旋流动有旋流动六、斯托克斯定理六、斯托克斯定理 沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。面的涡通量。AnKKdAsdv2汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理用来描述旋涡运动特性的两个定理，适用条件为：用来描述旋涡运动特性的两个定理，适用条件为：1.理想流体理想流体 2.正压流体正压流体()3.在有势质量力作用下在有势质量力作用下首先引出流体线的概念。首先引出流体线的概念。流体线流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成在运

17、动过程中始终是由同样的流体质点所组成。p有旋流动有旋流动七、汤姆孙定理七、汤姆孙定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。)()2()1()1()1()()()()()(2Fzyxzzyyxxzyxzyxzyxdpdvddzzpfdyypfdxxpfdvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvdzvdyvdxvdtddtd0)2()2(22FFpvddpdvddtd有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八

18、、亥姆霍兹旋涡定理 1.1.亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接，形成一由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八、亥姆霍兹旋涡定理2.2.亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持正压性的理想流体在有势的质量

19、力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。为由相同流体质点组成的涡管。有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八、亥姆霍兹旋涡定理3.3.亥姆霍兹第三定理涡管（强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理涡管（强度守恒定理）在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。强度不随时间而变化，永远保持定值。在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能

20、在流体中产生也会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。生也会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。无旋流与有旋流无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流0有旋流01()02xzyuuzx1()02yzxuuyz1()02yxzuuxyxzuuzxyzuuyzyxuuxy即有区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动oo无旋的圆周运动有旋的圆周运动 例例39 已知流体流动的流速为 ，试判断该流动是无旋流还是有旋流？解解 所以此流动为无旋流。0,zyxubyuaxu0)/(2/1zuyuyzx0)/(2/1xuzuzxy0)/(2/1yuxuxyz控制体的选取控制体的选取:边长

21、为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标：x,y,z三方向速度：三方向速度：u,v,w密度：密度：vuwyxzo),(zyx一、微分形式的连续方程一、微分形式的连续方程x轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流左面微元面积流入的流体质量：入的流体质量：右面微元面积流右面微元面积流出的流体质量：出的流体质量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：)2(dxxyvxvzv)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx()()22xxvdxdxvdydzxxdydzdxxvvdxxxx)2)(2(dxdydzvxdydzd

22、xxvdxxvdydzdxxvvdxxdydzdxxvvdxxxxxxxxx)()()2)(2()2)(2(y轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：同理同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出dxdydzvyy)(z轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：dxdydzvzz)()2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzzx轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：dxdydzvxx)()2(dyy)2

23、(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzz每秒流出微元六面体的净流体质量每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化的每秒的流体质量的变化CVdvdxdydzttdxdydzvzvyvxdAvzyxCSn)()()(微分形式的连续方程微分形式的连续方程CVCSndAvdvt00)()()(zyxvzvyvxt二、其它形式的连续方程二、其它形式的连续方程矢量形式：矢量形式：可压缩流体的可压缩流体的

24、定常流动：定常流动：不可压缩流体的定不可压缩流体的定常或非定常流动：常或非定常流动：0)(vdivt0)(vt0)()()()(zyxvzvyvxv0zvyvxvvzyx二、其它形式的连续方程（续）二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体二维可压缩流体的定常流动：的定常流动：二维不可压缩流二维不可压缩流体的定常或非定体的定常或非定常流动：常流动：0)()(yxvyvx0yvxvyx例0：已知速度场 此流动是否可能出现？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现0)2(2)2(2txxt例题例题1 1 已知平面流动

25、的流速分布为 ux=kx uy=-ky其中y0，k为常数。试求：流线方程；迹线方程。解据y0知，流体流动仅限于xy半平面内，因运动要素与时间t无关，故该流动为恒定二元流。流线方程：积分得：该流线为一组等角双曲线。kyykxxddcxy 例题例题1 1迹线方程：积分得：与流线方程相同，表恒定流动时，流线与迹线在几何上完全重合。tkyykxxdddktktecyecx21,ccceeccxyktkt2121例题例题2 2假设不可压缩流体的流速场为假设不可压缩流体的流速场为u ux x=f=f(y,zy,z),u,uy y=u=uz z=0 0 试判断该流动是否存在。试判断该流动是否存在。判断流动是

26、否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。本题满足0zuyuxuzyx故该流动存在。0zuyuxuzyx例题3 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d d1 1/d/d2 2=0.5=0.5，则突扩前后断面平均流速之比，则突扩前后断面平均流速之比V V1 1/V/V2 2=?据恒定不可压缩总流的连续性方程有据恒定不可压缩总流的连续性方程有 V1/V2=(d2/d1)2=422221144dVdV例4：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz

27、。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44 积分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(422240 xyzuxyuxyu 例题5：某不可压缩液体的速度分量为试判别该流动是否连续（或该流动是否成立）？解：4,4,0yxzuuuxxxyz 0yxzuuuxyz即该液体的速度分量满足连续性方程式，故该流动是连续的（或该流动是成立的）。例题6：有一液流，已知 试分析液体运动的特征。cossin0 xyzuVuVu解：由所给流速条件可知，流速与时间无关，故液流为恒定流，流线与迹线重合。流线方程式为cossin0VVdxdydz积分得(tan)yxC0,0,0yxzuuuxyz所以液

28、体质点无线变形。111()0,()0,()0222yyxxzzxyzuuuuuuyzzxxy无角变形111()0,()0,()0222yyxxzzxyzuuuuuuyzzxxy无旋转所以该流动为恒定平面直线均匀流，液体质点无变形运动。返回无旋流与有旋流无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流0有旋流0区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动oo无旋的圆周运动有旋的圆周运动一、一、粘性流体中的应力粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。在粘性流体表面上任取一点在粘性流体表面上任取一点N，过，过N作微元面积作微元面积A，其外法

29、线方向矢量为其外法线方向矢量为 ，切线方向为，切线方向为 ，N点的表面应力点的表面应力分为法向应力分为法向应力pn和切向应力和切向应力，pn和和随微元面积随微元面积A在空在空间的位置而变化。在直角坐标系中将间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和和沿沿x，y，z三 个 坐 标 轴 分 解 成三 个 坐 标 轴 分 解 成 9 个 应 力 分 量，个 应 力 分 量，即即 。nxxxyxzyxyyyzzxxyzzppp（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线的指向。）

30、的指向。）在这在这9个分量个分量中，中，因，因此只有此只有6个独立分量。个独立分量。yxxyzxxzzyyz二二 粘性流体的运动方程粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行附近，取一棱边平行于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、dy、dz，表面应力在，表面应力在y轴上分量如图。轴上分量如图。y轴上合力为：轴上合力为：（1）()()()()yyxyyyyyxyxyzyzyzyxyyyzypp dxdzpdy dxdzdydzdx dydzyxdxdydz dxdyYdxdydzzpdxdydzYdxdydzxyz 流

31、体微团质量与流体微团质量与y y轴加速度的乘积为轴加速度的乘积为 （2 2）由牛顿第二定律（由牛顿第二定律（1 1）=（2 2），化简），化简ydvYdxdydzdt对于对于x、z轴同理有轴同理有 （3）方程（方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通常常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程个未知数。而方程（3）加上连续性方程也只有）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。找

32、出新的补充关系式。1()xyyyzyxpdvYxyzdt1()1()yxxxzxxyxxzzzzpdvXxyzdtpdvZxyzdt应力与变形速度的关系应力与变形速度的关系由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 在层流中取正方形流体微元面积在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间，流层间存在相对速度，在运动中必然变形，经时间存在相对速度，在运动中必然变形，经时间dt后 变 成后 变 成 abcd，a b 边 线 的 转 角边 线 的 转 角为为 ，那么角变形速度为，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成，牛顿内摩擦定律也可以写成 dvdn

33、 ddvdtdtgddnddvdtdnddt 流体微团绕流体微团绕z轴的剪切角速度为轴的剪切角速度为 流体微团各表面上的切应力为流体微团各表面上的切应力为 法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力用平均值法向应力用平均值p作为某点的压力作为某点的压力 可可认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加压应力，即压应力，即 ，2yxxyvvdyx（）()2()2()2yxxyyxxyyzyzzyyzxzxzzxxzvvyxvvzyvvzx 1()3xxyyzzppppxxxxpppy

34、yyypppzzzzppp附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:上式称为广义牛顿内摩擦定律。上式称为广义牛顿内摩擦定律。因此因此由不可压缩流体的连续性方程由不可压缩流体的连续性方程，将该方程中三个式子相，将该方程中三个式子相加后平均得到，正好验证了前面的论述。加后平均得到，正好验证了前面的论述。222xxxyyyzzzvpxvpyvpz 222xxxyyyzzzvppxvppyvppzNavier-Stokes方程方程将方程（将方程（5）、）、(7)代入方程（代入方程（3），对于），对于x轴方向的方轴方向的方程为：程为：化 简 方 程 右 边 第 三 项 引 入

35、化 简 方 程 右 边 第 三 项 引 入 L a p l a c e 算算子子 ，第四项由连续性方程判断应该等于第四项由连续性方程判断应该等于0，最后得到，最后得到1(2)()()yxxxxzvvvvdvvXpxxyyxzzxdt2222221()()yxxxxxzvvvvvdvpvXxxyzxxyzdt2222222xyz 222111xxyyzzdvpXvxdtdvpYvydtpdvZvzdt222111xxyyzzdvpXvxdtdvpYvydtpdvZvzdt上式就是不可压缩流体的上式就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称方程，简称N-S方程。该方程方程。该方程是一个

36、二阶非线性偏微分方程组，目是一个二阶非线性偏微分方程组，目前尚无普遍解，但对于一些简单流动前尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解。可化成线性方程求解。7.77.7 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程及其积分及其积分流体为理想流体时，运动粘度，流体为理想流体时，运动粘度，NS方程简化为方程简化为111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuuupXuuuxtxyzuuuupYuuuytxyzpuuuuZuuuztxyz如流体处于静止状态，则101010pXxpYypZz一、两个积分方程式的前提条件一、两个积分方程式的前提条件(1)(1)流动是定常的流动是定常的(2)(2)

37、质量力是有势的质量力是有势的(3)(3)流体不可压缩，流体不可压缩，流体是正压流体流体是正压流体0tvtvtvtzyxzfyfxfzyxzpzpypypxpxpFFF111)(pdppF1.1.前提条件前提条件一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件(续续)2.2.常见的正压流体常见的正压流体(1)(1)等温流动的可压缩完全气体等温流动的可压缩完全气体(2)(2)绝热流动的可压缩完全气体绝热流动的可压缩完全气体(3)(3)不可压缩流体不可压缩流体RTp/pRTpFln11CpppF1ConstppF一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件(续续)3.3.前提条件下的兰姆方程前提

38、条件下的兰姆方程)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx)2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx二、欧拉积分式二、欧拉积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx无旋流动无旋流动0zyx0)2(0)2(0)2(222vpzvpyvpxFFF二、欧拉积分式二、欧拉积分式(续续)0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程组三式分别乘以任意微元线段的三个

39、轴向分量方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加后再相加0)2(2vpdF常数22vpF欧拉积分式欧拉积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作作用下作无旋流动无旋流动，流场中，流场中任一点任一点的的单位质量流体质量力的位势能、压强单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。种机械能可以相互转换。三、伯努利积分式三、伯努利积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyy

40、zFvvvpzvvvpyvvvpx有旋流动有旋流动0三、伯努利积分式三、伯努利积分式(续续)0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个的三个轴向分量轴向分量dx,dy,dzdtvvvdzvvdzvpzdtvvvdyvvdyvpydtvvvdxvvdxvpxzyxxyyxxyFyxzzxxzzxFxzyyzzyyzF)(2)(2)2()(2)(2)2()(2)(2)2(222三式相加三式相加三、伯努利积分式三、伯努利积分式(续续)0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpx

41、FFF0)2(2vpdF常数22vpF伯努利积分式伯努利积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和可非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在压缩的正压流体，在 有势的质量力作有势的质量力作用下作用下作有旋流动有旋流动时，时，沿同一条流线沿同一条流线上各上各点单位质量流体质量力的位势能、压强点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。机械能可以相互转换。三、伯努利方程三、伯努利方程伯努利方程伯努利方程质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力不可压缩流体不可压缩流体gz/ppF常数，常数22vpgz2W2Fvp常数物理意

42、义物理意义：在重力作用下不可压缩理想：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于流体作定常流动时，对于有旋流动，沿有旋流动，沿同一条流线同一条流线单位质量流体的位势能、压单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于强势能和动能的总和保持不变；对于无无旋流动，在整个流场旋流动，在整个流场中总机械能保持不中总机械能保持不变变.初始条件初始条件：给定初始时刻的流动状态参数的：给定初始时刻的流动状态参数的初始值。定常流动不需要。初始值。定常流动不需要。边界条件边界条件：流场边界上物理量满足的条件。：流场边界上物理量满足的条件。1.无穷远处条件无穷远处条件2.固壁处条件固壁处条件3.两种

43、流体的分界面处条件两种流体的分界面处条件4.自由面处条件自由面处条件理想流体流动的定解条件起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。),()0,(),()0,(),()0,(),()0,(),()0,(54321zyxfzyxzyxfzyxpzyxfzyxvzyxfzyxvzyxfzyxvzyx 定常流动：无需起始条件。非定常流动：必须起始条件。理想流体流动的定解条件边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件。wnnvv 固体壁面静止，0nv举例：固体壁面上的运动学条件：nnvv21 不同流体交界面上的运动学条件：ppamb 不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：理想流体

44、流动的定解条件表述流动的方程表述流动的方程(4(4个个)zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx1110)()()(zyxvzvyvxt方程中的未知量方程中的未知量(5(5个个)pvvvzyx,补充方程补充方程:Const)(p或或一、初始条件一、初始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。),()0,(),()0,(),()0,(),()0,(),()0,(54321zyxfzyxzyxfzyxpzyxfzyxvzyxfzyxvzyxfzyxvzyx定常流动：定常流动：无需初始条件。无需初始条件。非定常流动：非定常流动：必须初始条件。必须初始条件。二、边界条件二、边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件固体壁面上的运动学条件固体壁面上的运动学条件:不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：wnnvv 0nvnnvv21ppamb固体壁面静止固体壁面静止