第八章第37节全微分与方向导数课件.ppt

1、8-38-3全微分全微分一、全微分一、全微分 我们以二元函数我们以二元函数为主，进行讲解，所为主，进行讲解，所得结论可容易推广至得结论可容易推广至三元和三元以上的函三元和三元以上的函数中。数中。回忆一元函数的微分回忆一元函数的微分若存在仅与0 x有关的实数A，使0Alim0 xxyx则称函数)(xf在点0 x处可微，xA为函数)(xf在点0 x处的微分，且,d)(dxxfyxxd可微可导运用多元函数的全增量概念，将一元函数的微分概念推广到多元函数中。应用,xy的某一个线性函数表示二元函数的全增量。z),(),(yxfyyxxf按一元函数的微分，形式上有这里应是一个无穷小量。),(),(),()

2、,(yxfyyxfyyxfyyxxfyxBA 二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义设函数)(Xfz 在点),(000yxX 的某一邻域)U(0X内有定义，当0X获得增量,),(yxX时，)U(00XXX若函数在点 X0 处的全增量可表示为xaz则称函数在点 X0 处可微。zd称为函数在点 X0 处的全微分。yb)o(22yxybxa其中，)()(00XfXXfz),(),(0000yxfyyxxf常数 a，b 与X无关，仅与 X0 有关。22yx|X全微分概念的描述可表示为极限形式0)(lim2200yxybxazyx如果函数)(Xf在区域 中的 每一点均可微，则称函数在区域 上可微。可微

3、连续可导?在多元函数中，三者的关系如何？在多元函数中，三者的关系如何？可微：xazyb)o(22yx连续：0lim00zyx可微连续可导?在多元函数中，可微在多元函数中，可微连续连续可微的必要条件可微的必要条件函数)(Xf在点 X0 处可微，则必在点 X0 处连续。可微与可导的关系可微与可导的关系(可微的必要条件)定理若),(yxfz 在点),P(yx处可微，则其两个偏导数,xzyz均存在，且zdxzxyzy可微：xazyb)o(22yx可微连续可导在多元函数中，可微在多元函数中，可微可偏导可偏导定理的证明：定理的证明：若函数可微，则xazyb)o(22yx由,xy的任意性，取0y，则xazz

4、x)|o(xaxxxax)|o(lim0即xza同理yzb从而，定理获证。xyxfyxxfx),(),(lim0？例函数0 0 0 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0,0)处连续，且有有界的偏导数，但不可微。该例留给学生课后研讨该例留给学生课后研讨 回头看定理回头看定理定理定理若),(yxfz 在点),P(yx处可微，则其两个偏导数,xzyz均存在，且zdxzxyzyxzzxdxyzzydy称为函数关于 x 的偏微分。称为函数关于 y 的偏微分。函数的全微分等于各偏微分之和：zzzyxddd这与物理中的叠加原理相符。可微连续可导？连 续可 导连续可导连续可导Ok定理定理（可微的充

5、分条件）设)(Xfz 在)U(0X内有定义,且可偏导。若xzyz，在点0X连续，则函数 f(X)在点 X0 处可微。证证要证明函数 f(X)在点 X0 处可微，即要证yyyxfxxyxfz),(),(0000)o(22yx利用微分中值定理)(,()(,(),(),(0200100yyxfxxyfyxfyxfyx由偏导数的连续性xyxfxyfyyxx),(),(lim00100故xyxfxyf),(),(001同理yyxfyxf),(),(0020其中,为该极限过程中的无穷小量。从而，函数的全增量yyyxfxxyxfz),(),(0000)o(yx又由夹逼定理220yxyx0|这一步是怎么得来的

6、？故yyyxfxxyxfz),(),(0000)o(22yx即 函数 f(X)在点 X0 处可微。二、全微分的计算二、全微分的计算全微分的计算全微分的计算设函数)(Xf)(Xg，在点 X 处可微，则)(d)(d)()(d(XgXfXgXf)(,)(d)(d(RXfXf)(d)()(d)()()(d(XgXfXfXgXgXf)()(d)()(d)()()(d2XgXgXfXfXgXgXf)0)(Xg例例设zyxu，求)1,2,2(du。解zzuyyuxxuudddd)1,2,2()1,2,2()(zyxxxu将将 y，z 看成常数看成常数1zyzxy)1,2,2(4 ,zwywxu)1,2,2(

7、)1,2,2()(zyxyyu1lnzzyzyxx)1,2,2(2ln4)1,2,2()1,2,2()(zyxzzuyyxxzzylnln)1,2,2(2ln82将将 x，z 看成常数看成常数将将 x，y 看成常数看成常数 ,zwywxu ,zwywxu故zyxud2ln8d2ln4d4d2)1,2,2(函数22yyxz是否可微？若可微，求其全微分。解xyxz2yxyz22易知这两个偏导数在 2R中连续，故22yyxz在2R中可微。yyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22例例如果函数)(Xfz 在区域中具有连续偏导数xz和yz,则称函数。)()(1CXf)(Xf为区域1C中的类函数,记为

8、当不强调区域时，记为。1)(CXf8-7、方向导数与梯度、方向导数与梯度偏导数是方向导数吗？偏导数是方向导数吗？偏导数是偏导数是方向导数方向导数吗？吗？偏导数是偏导数是方向导数方向导数吗？吗？ABCtan|AC|BC|)(xf)(xxfxxx)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xf|)(|)()(lim0|xxxxfxxfx3R中xOyz.P0P|PP|)(P(P)lim00PP0ffl0l沿)(xf0l方向的方向导数)(Xfz.方向导数的定义方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义。若点)U(0XX 沿射线 l 趋于0X时,极限|)(

9、)(lim000XXXfXfXX存在，则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿 l 方向的方向导数。记为0XXlz|)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl 利用直线方程可将方向导数的定义tXfe tXflut)()(lim000表示为:射线 l 的方程为pzznyymxx000t则cos0txxcos0tyycos0tzz故etXX0)cos,cos,(cosecoscoscos000zzyyxx比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母0|0 XX；在偏导数中，分母x、y可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念

10、也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf看看三维空间的情形定理定理(方向导数导计算公式)若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微，则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在，且lu其中,各导数均为在点),(000zyx处的值。cosxucosyucoszu运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：l

11、ucosxucosyucoszuzuyuxu,eu grad其中，ugrad)cos,cos,(cose称为梯度在2R中lucosxucosyu在nR中lu11cosxunnxucos可统一表示为eulugradugrad),(21nxuxuxu)cos,cos,(cos21ne)2(n设xyzu,求函数在点)2,2,1P(沿方向kjil22的方向导数。解;4PPyxxu;2PPxzyu.2PPxyzu,31cos,32cos.32coslucosxucosyucoszu例例由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存

12、在，且方向导数值都等于1：10lim222200)0,0(yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。例例四四、梯梯度度一个问题：一个问题：),()(zyxfXfu在给定点0X沿什么方向增加得最快？该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义。可微函数eulugrad由前面的推导，有),gradcos(|grad|eueu现在正式给出现在正式给出的定义uegradprjgrad u),gradcos(|grad|euu由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？方向导数等于梯度在此方向上的投影定义

13、定义设,3R,)()(1CXfu,0X则称向量ixXf)(0为函数)(Xf在点0X处的梯度，记为)(grad0Xf或。)(0XfjyXf)(0kzXf)(0 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。设,52zxyzu求,gradu并求在点)1,1,0(M处方向导数的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0,1(从而例例例例设点电荷 q 位于坐标原点，在点),(zyxM处的

14、电位为,4rqv其中，为介电系数，,kzjyi xr,|rr求电位 v 的梯度。解222gradgradzyxr222zyxkzjyixrrgradgradvrq4rrqgrad42rrq34其中，负号说明离点电荷越远，电位越低，即电位梯其中，负号说明离点电荷越远，电位越低，即电位梯度的方向与电场度的方向与电场 E 的方向相反。的方向相反。关于梯度的参考书关于梯度的参考书 工程数学工程数学 矢量分析与场论矢量分析与场论谢树艺谢树艺 高等教育出版社高等教育出版社 1985年年11醉翁亭记 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3把握文章的艺术特色

15、，理解虚词在文中的作用。4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(100710

16、72)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋

17、仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1初读文章，结合工具书梳理文章字词。2朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年

18、又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏

19、划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，

20、泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容1赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，

21、作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描

22、绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这

23、样的乐。5第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：

24、赏析文本，感受文本艺术特色1在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法文本举例表并列1.蔚然而深秀

25、者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法文本举例表助词“的”1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性而不知太守之乐其乐也表代词1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁琅琊山酿泉醉翁亭风景：朝暮之景四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游太守宴众宾欢 太守醉宴游之乐(醉人)心情：禽鸟乐人之乐乐其乐与民同乐(醉情)可取之处重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。不足之处文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。会员免费下载