计数原理.doc

1、计数原理常考要点与核心问题排列组合解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由

2、分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题解决计数(查数)问题的核心思想1数(sh)2乘法，加法原理3容斥原理(加法原理的推广)4找对应命题规律 排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属

3、中等二项式定理要求 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；命题规律 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希

4、望大家注意：几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每个因子多项式中取出一项后所作的乘积即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积.基础篇10全国 I (6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A30种B35种C42种D48种考点：分类计数原理、组合知识规律方法：分类讨论解析：可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法.所以不同的选法共有种.答案：A(09 北京理)用0到

5、9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A324B328C360D648考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解解析：法1：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有(个)，当0不排在末位时，有(个)，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有(个). 法2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为，再考虑首位是零的情况，360-32=328.答案：B10 全国II (6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的

6、卡片放入同一信封，则不同的方法共有A12种B18种C36种D54种考点：排列组合知识.解析：标号1，2的卡片放入同一封信有种方法；其他四卡片放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有18种答案：B10 北京 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为ABCD考点：排列组合规律方法：插空法解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有种排法，因此一共有种排法答案：B10 湖北8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事

7、其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A152B126C90D54考点：分类记数原理规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18108126种答案：B10 全国 I (5)的展开式中x的系数是（答案有错）A4B2C2D4考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.解析：故的展开式中含x的项为，所以x的系数为2.答案：C10全国 II (14)若的展开式中的系数是84，则

8、_考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.解析：该二项展开式的通项公式为，即，所以展开式中的系数是，.答案：110湖北 11在展开式中，系数为有理数的项共有_项.考点：二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用解析：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项. 答案：610江西6展开式中不含项的系数的和为( )A1B0C1D2考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力规律方法：赋值法解析：正难则反项是最高项，其系数为1；采用赋值法，令x1得：系数和为1，减去项系

9、数即为所求，答案为0答案：B.10四川 (13)的展开式中的第四项是_考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法解析：答案：（负号没念）提高篇10江西 14将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答) 考点：分类计数原理平均分组分配问题规律方法：归转化和应用知识解析：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组两个一人组，再全排列得：答案：108010广东 8为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.

10、记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A1205秒B1200秒C1195秒D1190秒考点：排列组合基本排列公式与计数方法。解析：需要的时间至少，即每一种闪烁没有重复的灯，一共有=5!共120种闪烁.每次闪烁时间5秒，共5120600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5(1201)595s总共就有6005951195s答案：C10浙江 (17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试

11、一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有_种(用数字作答).考点：本题主要考察了排列与组合的相关知识点规律方法：分类讨论思想和数学思维能力，属较难题解析：方法1：上午测试安排有种方法，下午测试分为(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测“握力”，则有种，其余三位同学选一人测“握力”，有种方法，则共有9种方法，因此测试方法共有种，当然，利用容斥原理可以给出更简洁的计算方法方法2：容斥原理：设，k1，2，n为n个有限集合，|A|表示集合A的元素个数

12、则这n个集合的并集满足：其中，当n2时，上一公式就是当n3时，上一公式就是：解释一下：这一公式的意思就是n个集合并的元素个数n个集合元素个数之和(这时肯定算多了，要减一下)n个集合中两两交集的个数和(这时又减多了，要加一下)n个集合中三三相交的所有交集元素个数之和(仿此继续，知道所有集合的交集)如果不理解，可以先看n2和n3时的特殊情形.如右图，将测试项目标号为1，2，3，4，5.对于甲乙丙丁四位同学，上下午不能测试相同的项目上午测试项目安排好后(共有种方法)，安排下午的测试.此时，可以设上午甲测试1，乙测试2，丙测试3，丁测试4下午测试安排的方法种数为x，(这里要求下午甲不测试1.乙不测试2

13、，丙不测试3)x(下午测试项目的全排)(下午甲测试1的安排法数)(下午测试2的安排法数)(下午丙测试3的安排法数)(下午甲测试1且乙测试2的安排法数)(下午甲测试1且丙测试3的安排法数)(下午乙测试2且丙测试3的安排法数)1(下午甲测试1，乙测试2，丙测试3的安排法数)11从而总共有种答案：264(北京20) 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；(II)对任何具有性质的集合，证明：；(III)判断和的大小关系，并证明你的结论考点：排列组合、集合解析：(I)解：集合不具有性质集合具有性质，其相应的集合和是， (II)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即(III)解：，证明如下：(1)对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，(2)对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由(1)(2)可知，