高考专题突破三 高考中的数列问题.docx

1、1(2017广州质检)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为()A. B4C2 D.答案C解析设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.2已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B.C. D.答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，Sn是数列an的前n项和，则S2 016等于()A22 0161 B

2、321 0083C321 0081 D322 0162答案B解析依题意得anan12n，an1an22n1，于是有2，即2，数列a1，a3，a5，a2n1，是以a11为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，a2n，是以a22为首项，2为公比的等比数列，于是有S2 016(a1a3a5a2 015)(a2a4a6a2 016)321 0083，故选B.4(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(

3、n1)n，所以Sn.5已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk9 (kN*)，则k的值为_答案4解析由题意，Snan，当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，an2an1，又a11，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k0，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.解(1)由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为

4、1，公比为q的等比数列从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中

5、第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，证明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.(1)解设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由a1030，a2050，得方程组解得所以an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn22n101022n4n，所以4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列(3)解由nbnn4n，得Tn14242n4n，4Tn142(n1)4nn4n1，得3Tn4424nn4n1n4n1.所以Tn.题型二数列的通项与求和例2已知数列an

6、的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这

7、是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.(1)证明a1，an1an，当nN*时，0.又，(nN*)为常数，是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得()n1，ann()n.Sn12()23()3n()n，Sn1()22()3(n1)()nn()n1，Sn()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.综上，ann()n，Sn2(n2)()n.题型三数列与其

8、他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nN*，数列an满足f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n，16n2a4nb0，a，则f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nN*)(2)bn2，Tnb1b2bn22.命题点2数列与不等式的交汇例4数列an满足a11，an12an(nN*)，Sn为其前n项和数列bn为等差数列，且满

9、足b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn.(1)解由题意知，an是首项为1，公比为2的等比数列，ana12n12n1.Sn2n1.设等差数列bn的公差为d，则b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)22n1.(2)证明log2a2n2log222n12n1，cn()，Tn(1)(1).nN*，Tn(1)0，数列Tn是一个递增数列，TnT1.综上所述，Tn，所以Tn()2.综上可得，对任意nN*，均有Tn.1(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(

10、2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由得bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前n项和为Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n)n2nn2.即数列cn的前n项和为n2.2(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.

11、62.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.3已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式2n2n30，所以不等式2n2n3，记bn，当n2时，当n2时，1，即b3b2，又b1b2b1；当n3时，b4b5bn，所以(bn)maxb3，所以.4已知正项数列an中，a11，点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上，数列bn

12、的前n项和Sn2bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和Tn.解(1)点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上，an1an1，数列an是公差为1的等差数列a11，an1(n1)1n，Sn2bn，Sn12bn1，两式相减，得bn1bn1bn，即，由S12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为1，公比为的等比数列，bn()n1.(2)log2bn1log2()nn，cn，Tnc1c2cn(1)()()()1.5(2015山东)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.由解得a11，d2，所以an2n1.经检验，符合题意(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.